Đề bài - câu 38 trang 68 sgk hình học 11 nâng cao

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC\cos B\\B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD\cos A\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = A{B^2} + B{C^2} + 2AB.BC\cos B\end{array}\)

Đề bài

Chứng minh rẳng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất: Trong một hình bình hành, tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh.

Chứng minh:

Đề bài - câu 38 trang 68 sgk hình học 11 nâng cao

Ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC\cos B\\B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD\cos A\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = A{B^2} + B{C^2} + 2AB.BC\cos B\end{array}\)

Vì \(AD = BC\) và \(\cos A = - \cos B\) (hai góc bù nhau thì cos đối nhau)

\( \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2A{B^2} + 2B{C^2}\) \( = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right)\).

Lời giải chi tiết

Đề bài - câu 38 trang 68 sgk hình học 11 nâng cao

Đặt AB = a, BC = b, AA = c ( đó là 3 kích thước của hình hộp).

Trong hình bình hành ABCD ta có:

\(AC'{^2} + BD{'^2} = 2\left( {{a^2} + BC'{^2}} \right)\) (1)

Trong hình bình hành ABCD ta có:

\(A'{C^2} + B'{D^2} = 2\left( {{a^2} + B'{C^2}} \right)\) (2)

Cộng (1) và (2) ta được :

\(AC'{^2} + BD'{^2}+A'{C^2} + B'{D^2} \)\(= 2\left( {2{a^2} + BC{'^2} + B'{C^2}} \right)\) (3)

Mặt khác trong hình bình hành BBCC ta có:

\(BC{'^2} + B'{C^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\) (4)

Thay (4) vào (3) ta được :

\(AC'{^2} + BD'{^2} + A'{C^2} + B\,'{D^2}\)\( = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) (đpcm).