Khi các em học tới phương trình bậc 2 một ẩn, thì việc ghi nhớ cách tính biệt thức delta là điều tất nhiên có vai trò chính để giải được phương trình bậc 2, cách tính biệt thức delta này các em đã ghi nhớ nằm lòng chưa?
Bài viết này sẽ trả lời cho các em câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta thỏa điều kiện gì?.
Đang xem: điều kiện để phương trình có 2 nghiệm thực
I. Phương trình bậc 2 – kiến thức cơ bản cần nhớ
• Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 [a≠0]
• Công thức nghiệm tính delta [ký hiệu: Δ]
Δ = b2 – 4ac
+ Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ 2 – ac với b = 2b”.
+ Nếu Δ” > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ” = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ” Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào?
– Trả lời: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi biệt thức delta ≥ 0. [khi đó phương trình có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt].
> Lưu ý: Nếu cho phương trình ax2 + bx + c = 0 và hỏi phương trình có nghiệm khi nào? thì câu trả lời đúng phải là: a=0 và b≠0 hoặc a≠0 và Δ≥ 0.
• Thực tế đối với bài toán giải phương trình bậc 2 thông thường [không chứa tham số], thì chúng ta chỉ cần tính biệt thức delta là có thể tính toán được nghiệm. Tuy nhiên bài viết này đề sẽ đề cập đến dạng toán hay làm các em bối rối hơn, đó là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có chứa tham số m có nghiệm.
II. Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm
* Phương pháp giải:
– Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, đặc biệt là hệ số a. Phương trình ax2 + bx + c = 9 là phương trình bậc 2 chỉ khi a≠0.
– Tính biệt thức delta: Δ = b2 – 4ac
– Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm, hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm.
* Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình: 2×2 – [1 – 2a]x + a – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
* Lời giải:
– Xét phương trình: 2×2 – [1 – 2a]x + a – 1 = 0 có:
a = 2; b = -[1 – 2a] = 2a – 1; c = a – 1.
Δ = [2a – 1]2 – 4.2.[a – 1] = 4a2 – 12a + 9 = [2a – 3]2.
– Vì Δ ≥ 0 với mọi a nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a.
Xem thêm: Diện Tích Xây Dựng Chung Cư Theo Tt Bxd Mới Nhất, Cách Xác Định Diện Tích Sàn Căn Hộ Chung Cư
* Bài tập 2: Cho phương trình mx2 – 2[m – 1]x + m – 3 = 0 [*]. Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm.
* Lời giải:
– Nếu m = 0 thì phương trình đã cho trở thành: 2x – 3 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm x = 3/2.
– Xét m ≠ 0. Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc 2 một ẩn, khi đó, ta có:
a = m; b = -2[m – 1]; c = m – 3.
Và Δ = 2 – 4.m.[m-3] = 4[m2 – 2m + 1] – [4m2 – 12m]
= 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 12m = 4m + 4
– Như vậy, m = 0 thì pt [*] có nghiệm và với m ≠ 0 để phương trình [*] có nghiệm thì Δ≥0 ⇔ 4m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1.
⇒ Kết luận: Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -1.
* Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình x2 – 2[m + 4]x + 2m + 6 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
* Bài tập 4: Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: x2 – mx – 1 = 0.
* Bài tập 5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 3×2 + [m – 2]x + 1 = 0.
* Bài tập 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: x2 – 2mx – m + 1 = 0.
* Bài tập 7: Với giá trị nào của m thì phương trình sau: mx2 – 4[m – 1]x + 4m + 8 = 0 có nghiệm.
Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Chung Của 2 Đồ Thị Hàm Số
Như vậy với bài viết đã giải đáp được thắc mắc: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta cần thỏa điều kiện gì? cùng các bài tập về tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm ở trên đã giúp các em dễ hiểu hơn hay chưa? Các em hãy cho góp ý và đánh giá ở dưới bài viết để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé, chúc các em học tốt.
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách giải phương trình logarit - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Bài 1: Với giá trị m bằng bao nhiêu thì phương trình log[2+√3] [mx+3]+log2-√3 [m2+1]=0 có nghiệm là -1?
Quảng cáo
Đáp án :
Giải thích :
Thay x=-1 vào phương trình ta có
log[2+√3] [-m+3]+log2-√3[m2+1]=0 ⇔ log[2+√3] [-m+3]+log[2+√3]-1 [m2+1]=0
⇔ log[2+√3] [-m+3]-log2+√3[m2+1]=0
⇔ log[2+√3] [-m+3]=log2+√3[m2+1]
⇔ -m+3=m2+1 ⇔ m2+m-2=0 <
Bài 2: Với giá trị nào của m thì phương trình log2 [4x+2m3]=x có hai nghiệm phân biệt?
Đáp án :
Giải thích :
log2 [4x+2m3]=x ⇔ 4x+2m3=2x ⇔ 4x-2x+2m3=0
Đặt 2x=t [t > 0]. Khi đó phương trình trở thành t2-t+2m3=0 [*]
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình [*] có hai nghiệm dương phân biệt :
Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: 0 < m < 1/2.
Bài 3: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm trên 1;3 .
Đáp án :
Giải thích :
Điều kiện: x > 0.
Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2+t-1=3m [*] .
Yêu cầu bài toán tương đương với [*] phải có nghiệm thuộc đoạn [1;√2].
Xét hàm số f[t]=t2+t-1 trên đoạn [1;√2]. Ta có f'[t] =2t+1 > 0, ∀ t ∈ [1 ;√2]
Để [*] có nghiệm thuộc đoạn [1;√2] thì
Bài 4: Tìm m để phương trình log2 [x3-3x]=m có ba nghiệm thực phân biệt.
A. m < 1. B.0< m < 1 C. m > 0. D. m > 1.
Đáp án :
Giải thích :
PT ⇔ x3-3x=2m < 1
f[x]=x3-3x; f'[x]=3x2-3; f'[x]=0 ⇔ x=±1
BBT
Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi -2 < 2m < 2 ⇔ m < 1
• Trắc nghiệm PT ⇔ x3-3x=2m ⇔ x3-3x-2m=0
Bấm máy tính giải phương trình bậc 3:
Thay m=0,5. Giải pt x3-3x-20,5=0 có ba nghiệm phân biệt. Loại D
Thay m=-1. Giải pt x3-3x-2-1=0 có ba nghiệm phân biệt. Chọn A.
Bài 5: Tìm m để phương trình log2 [4x-m]=x+1 có đúng hai nghiệm phân biệt.
A. 0< m < 1 B. 0< m < 2 C. -1< m < 0. D. -2< m < 0.
Đáp án :
Giải thích :
• Tự luận: PT ⇔ 4x-m=2x+1 ⇔ 22x-2.2x-m=0
Đặt ẩn phụ t=2x, t > 0. Yêu cầu bài toán tương đương pt t2-2t-m=0 có hai nghiệm dương phân biệt
• Trắc nghiệm PT ⇔ 4x-m=2x+1 ⇔ 22x-2.2x-m=0
Đặt ẩn phụ t=2x,t > 0. Yêu cầu bài toán tương đương pt t2-2t-m=0 có hai nghiệm dương phân biệt .
Thấy pt có hai nghiệm dương thì a.c > 0⇒-m > 0⇒m < 0. Nên loại A,B
Thử m=-1,5 thấy phương trình t2-2t+1,5=0 vô nghiệm. Nên loại D, chọn C.
Bài 6: Cho phương trình sau với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1 x2=3. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 1< m < 2. B.3< m < 4. C. 0< m < 3/2. D. 2< m < 3.
Đáp án :
Giải thích :
PT được viết lại: 9log32 x-[9m+3]log3 x+9m-2=0 .
Nếu đặt t=log3 x ,khi đó ta tìm
[Chú ý trong các trường hợp tổng quát cần điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2].
Quảng cáo
Bài 7: Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình logm [2x2+x+3] ≤ logm [3x2-x]. Biết rằng x = 1 là một nghiệm của bất phương trình.
Đáp án :
Giải thích :
x=1 là nghiệm nên logm 6 ≤ logm 2 ⇔ 0< m < 1 . Khi đó ta có BPT:
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x.log2 [x-1]+m=m.log2 [x-1]+x có hai nghiệm thực phân biệt thuộc [1;3] .
A. m > 3. B. 1< m < 3. C. m ≠ 3. D. Không có m.
Đáp án :
Giải thích :
ĐK: x > 1
x.log2 [x-1]+m=m.log2 [x-1]+x ⇔ [x-m]log2 [x-1]=x-m <
⇔ [x-m][log2 [x-1] - 1] = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc [1;3] khi 1< x=m < 3.
Bài 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log32 x-[m+2].log3 x+3m-1=0 có 2 nghiệm x1,x2 sao cho x1 x2=27.
A. m=4/3. B.m=25. C.m=28/3. D.m=1.
Đáp án :
Giải thích :
Nếu đặt t=log3 x, khi đó ta tìm t1+t2=log3 x1+log3 x2=log3 x1.x2=3 ⇔ m+2=3 ⇔ m=1.
Bài 10: Định điều kiện cho tham số m để: logx m+logmx m+logm2 x m=0 có nghiệm .
Đáp án :
Giải thích :
ĐK: m > 0.
Với m=1. Phương trình: logx 1=0 nghiệm đúng mọi 0 < x ≠ 1 .
Với 0 < m ≠ 1. Phương trình:
Đặt logm x=t [t ≠ 0; t ≠ -1; t ≠ 2].
Khi đó có phương trình:
Vậy m > 0.
Bài 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương trình log3 x-log3 [x-2]=log√3 m có nghiệm?
A. m > 1. B. m ≥ 1. C. m < 1. D. m ≤ 1.
Đáp án :
Giải thích :
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện x > 2; m > 0
Phương trình có nghiệm x > 2 khi m > 1,chọn đáp án A
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay m=0 [thuộc C, D] vào biểu thức log√3 m không xác định, vậy loại C, D
Thay m=1 [thuộc B] ta được phương trình tương đương x=x-2 vô nghiệm
Vậy chọn đáp án A.
Quảng cáo
Bài 12: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau vô nghiệm?
Đáp án :
Giải thích :
x2-mx+4=0 vô nghiệm ⇔ x2-mx+4 < 0 ∀ x ∈ R ⇔ Δ < 0 ⇔ -4 < m < 4
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-logarit.jsp