Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán tphcm 2010 năm 2024
|
S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO K Ỳ THI TUY ỂN SINH LỚP 10 THÀNH PH Ố HỒ CHÍ MINH TRUNG H ỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2009 –2010 KHÓA NGÀY: 24-6-2009 MÔN THI: TOÁN (150 PHÚT) Câu 1: (4 điểm)
ải hệ phương tr ình 22 12 x y xy x y xy .
ình x 2 – 2mx – 16 + 5m 2 \= 0 (x là ẩn số).
để phương tr ình có nghi ệm.
ọi x 1 , x 2 là các nghi ệm của phương tr ình. Tìm giá tr ị lớn nhất v à giá tr ị nhỏ nh ất của biểu thức A = x 1 (5x 1 + 3x 2 – 17) + x 2 (5x 2 + 3x 1 – 17). Câu 2 : (4 điểm)
ọn biểu thức A = 452724527232325325323232 . 2) Cho x, y, z là ba s ố dương thỏa điều kiện xyz = 2. Tính giá trị của biểu thức: B = 22122 x y z xy x yz y zx z . Câu 3: (2 điểm)
ố thực a, b, c. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca + 222 ()()()2662009 a b b c c a . 2) Cho a > 0 và b < 0. Ch ứng minh: 1282 a b a b . Câu 4: (2 điểm)
ệ phương tr ình 55 ax bybx ay (a, b nguyên dương và a khác b). Tìm a, b để hệ có nghiệm (x; y) với x, y l à các s ố nguyên dương.
ứng minh rằng không tồn tại các số nguy ên x, y, z th ỏa hệ: 22222 33318100 x xy y z x xy z . Câu 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD (M, D thu ộc BC). Đường tr òn ngo ại tiếp tam giác ADM cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E v à F. Ch ứng minh BE = CF. Câu 6: (3 điểm) Cho ABCD là hình thoi có c ạnh bằng 1. Giả sử tồn tại điểm M thuộc cạnh BC v à N thu ộc cạnh CD sao cho tam giác CMN có chu vi b ằng 2 v à 2 BAD MAN . Tính các góc c ủa h ình thoi ABCD. Câu 7: (2 điểm) Cho a, b là các s ố dương thỏa 2111 a ba b . Ch ứng minh ab 2 ≤ BÀI GI ẢI GỢI Ý Câu 1 : 1) 22 12 x y xy x y xy 22 (1)102 x y y x y xy 22 (1)(1)02 x y x y xy 22 12 x x y xy hay 22 12 y x y xy 2 120 x y y hay 2 120 y x x 112 x y y hay 112 y x x . V ậy hệ có 3 nghi ệm l à (–1; 1), (–1; –2), (2; 1). 2) Cho phương tr ình x 2 – 2mx – 16 + 5m 2 \= 0 (1) (x là ẩn số). a. Tìm m để phương tr ình có nghi ệm. Ta có: ' = 16 – 4m 2 . Phương tr ình (1) có nghi ệm ' 0 16 – 4m 2 0 –2 ≤ m ≤ 2. b. G ọi x 1 , x 2 là các nghi ệm của phương tr ình. Ta có: x 1 + x 2 \= 2m và x 1 x 2 \= 5m 2 – 16. Do đó A \= x 1 (5x 1 + 3x 2 – 17) + x 2 (5x 2 + 3x 1 – 17) \= 22121212 5()617() x x x x x x \= 5[(x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 ] + 6x 1 x 2 – 17(x 1 + x 2 ) \= 5(x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 x 2 – 17(x 1 + x 2 ) \= 20m 2 – 4(5m 2 – 16) – 17.2m \= –34m + 64. Vì –2 ≤ m ≤ 2 nên –4 ≤ A ≤ 132. Khi m = 2 thì A = –4 và khi m = –2 thì A = 132. V ậy giá trị nhỏ nhất của A l à –4 và giá tr ị lớn nhất của A l à 132. Câu 2 : 1) Thu g ọn biểu thức A = 452724527232325325323232 . Ta có: 4527245272 \= 3 532532 . Do đó: A = 353253232325325323232 \= 22 353253232326222 \= 10276272222222 . 2) Cho x, y, z là ba s ố dương thỏa điều kiện xyz = 2. Ta có: B \= 2222 x xy xyz xy x xyz xy x xyzx xyz xy \= 2.22222.22 x xy xy x xy x x xy \= 2212222 x xy x xy xy x xy x x xy xy x . Câu 3 : 1) Cho ba s ố thực a, b, c. Ta có: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca + 222 ()()()2662009 a b b c c a 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 2ab + 2bc + 2ca + 222 ()()2()1332009 a b b c c a 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 – 2ab – 2bc – 2ca 222 ()()2()1332009 a b b c c a (a – b) 2 +(b – c) 2 + (c – a) 2 222 ()()2()1332009 a b b c c a 222 12()2()2007()01332009 a b b c c a (luôn đúng).
a b a b 12802 a b a b 2802 b aab a b 2 (2)80(2) b aab a b (Đúng v ì t ử luôn âm v à m ẫu cũng luôn âm, do a > 0 v à b < 0). Câu 4 : 1) Cho h ệ phương tr ình 5(1)5(2) ax bybx ay L ấy (1) – (2) ta được (a – b)(x – y) = 0 x = y (do a ≠ Thay vào (1) ta được: x = 5 a b y = 5 a b . Do x là s ố nguyên và a, b nguyên dương nên a + b là ước nguyên dương 2 c ủa 5. Suy ra a + b = 5 14234132 a a a ahay hay hayb b b b . 2) 22222 3331(1)8100(2) x xy y z x xy z (*) Giả s ử r ằng tồ n tạ i các s ố nguyên x, y, z thỏ a (*). Nhân hai v ế củ a (1) v ớ i 8 r ồ i c ộ ng và o (2) ta được: 9x 2 – 23xy + 24y 2 \= 348 5(2x 2 – 5xy + 5y 2 ) = (x – y) 2 + 348 (3) Ta có: * 5(2x 2 – 5xy + 5y 2 ) chia h ế t cho 5; * (x – y) 2 chia cho 5 ho ặc dư 0, ho ặc dư 1 ho ặc dư 4; * 348 chia 5 dư 3. Suy ra: * V ế trá i củ a (3) chia h ế t cho 5 (4) * V ế phả i củ a (3) chia cho 5 có dư hoặ c là 3, ho ặ c là 4 ho ặ c là 2 (5) T ừ (4) v à (5) suy ra mâu thu ẫn. |
