Định nghĩa 2 đường thẳng song song trong không gian
Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. Trong hình học, sự song song là một đặc tính của các đường thẳng, mặt phẳng, hoặc tổng quát hơn là các không gian afin. Ban đầu, khái niệm song song do Euclide đặt ra trong tác phẩm Cơ sở (Euclid), bộ sách về toán học và hình học nổi tiếng của ông. Theo thời gian, khái niệm này đã chuyển đổi từ một định nghĩa mang tính tiên đề sang một định nghĩa hình học thông thường.
Trong hình học Euclide, hai đường thẳng được gọi là song song khi chúng cùng nằm trên một mặt phẳng và không có điểm chung. Trong trường hợp này, chúng được gọi là không cắt nhau, không giao nhau, hoặc không tiếp xúc nhau. Hai đường thẳng bất kỳ trong hình học phẳng Euclide chỉ có thể rơi vào 3 trường hợp:
Quan hệ tương đươngNếu chấp nhận những đường thẳng trùng nhau là song song với nhau, ta thấy mối quan hệ song song mang các tính chất sau:
Như vậy, ta kết luận: quan hệ song song là một mối quan hệ tương đương. Mở rộng ra trên hình học phi Euclide, khái niệm đường thẳng được thay bằng khái niệm đường trắc địa. Hai đường trắc địa trong hình học phi Euclide chỉ có thể rơi vào 3 trường hợp:
Ký hiệu để biểu thị sự song song là //. Ví dụ, nếu viết AB//CD, nghĩa là đường thẳng AB song song với đường thẳng CD. Trong bộ mã Unicode, những biểu tượng song song và không song song có code lần lượt là U+2225 (∥) và U+2226 (∦). Chúng được xếp vào phạm vi Mathematical Operators. Qua 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng, có duy nhất 1 đường thẳng song song với đương thẳng đã cho Hai đường thẳng được gọi là song song khi có một đường thẳng thứ ba cắt hai đường thẳng trên và tạo với hai đường thẳng đó:
2 đường thẳng cùng vuông góc hoặc cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì 2 đường thẳng đó song song với nhau Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba và có các cặp góc so le trong bằng nhau thì cặp góc so le trong còn lại cũng bằng nhau và các cặp góc so le ngoài cũng bằng nhau và các cặp góc đồng vị bằng nhau và các cặp trong cùng phía bù nhau và các cặp ngoài cùng phía bù nhau Đường thẳng song song với mặt phẳngNếu một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng khác nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng Qua một đường thẳng song song với một mặt phẳng, giao tuyến của mặt phẳng đã cho với mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho sẽ song song với đường thẳng đó Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì đường thẳng đó sẽ song song với ít nhất một đường thẳng trong mặt phẳng. Một đường thẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với 2 mặt phẳng đã cho và ngược lại Cho 2 đường thẳng chéo nhau, khi đó có duy nhất 1 mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. 2 mặt phẳng song songNếu một mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia thì 2 mặt phẳng đó song song với nhau. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 1 điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước và song song với mặt phẳng đó Qua một đường thẳng song song với một mặt phẳng, có duy nhất 1 mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho và chứa đường thẳng đó. 2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ 3 thì 2 mặt phẳng đó song song với nhau. Một mặt mẳng cắt 2 mặt phẳng song song thì tạo ra 2 giao tuyến song song Một đường thẳng vuông góc với một trong 2 đường thẳng song song thì đường thẳng đó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Song_song&oldid=65352220” Cách chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gianHướng dẫn cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian qua 2 phương pháp thường dùng. Có các ví dụ minh họa kèm lời giải chi tiết.Nhắc lại định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. Để chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian (lớp 11) chúng ta có thể áp dụng trong các cách dưới đây: – Cách 1: Chứng minh chúng đồng phẳng rồi sử dụng các định lí đường trung bình, Thales đảo … quen thuộc trong hình học phẳng. – Cách 2: Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba. – Cách 3: Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Bài tập chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gianBài 1:Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD.Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD Bài giải Gọi E là trung điểm của AB. theo tính chất trọng tâm ta có tỉ số EJ/ED = EI/EC = 1/3 ( Tính chất trọng tâm) ⇒ IJ // CD ( Định lí talet đảo ) Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trungđiểm các cạnh SA , SB , SC , SD a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD Bài giải Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành: Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB Trong tam giác SCD, ta có C’D’//CD Mặt khác AB // CD ⇒ A’B’ // C’D’ Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD) Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’.Gọi N = Mx ∩ AD Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b. Tìm P = SC ∩ (ADN) c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ? Bài giải Chứng minh : MN∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN∕ ∕AB Mà AB∕ ∕CD ( ABCD là hình thang ) Vậy : MN ∕ ∕ CD Tìm P = SC ∩(ADN):
Ta có : N là điểm chung của (SBC ) và (ADN) Trong (ABCD), gọi E = AD∩ AC ⇒ ( SBC) ∩ (ADN ) = NE
Vậy : P = SC ∩ ( ADN ) Chứng minh : SI //AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ? SI = (SAB)∩(SCD) AB // CD ⇒ SI // AB // CD (1) Trong tam giác SAI có SI // MN , SI = 2MN và AB = 2 MN⇒ SI = AB (2) Từ (1) và (2)⇒ SABI là hình bình hành Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SK = 2/3SB . a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK) b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD. Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành Bài giải Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK): Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của (SAB) và (IJK) Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD: Gọi L = Kx ∩ SA Thiết diện là hình thang IJKL Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD⇒ IJ = 1/2(AB + CD) Xét tam giácSAB có : LK/AB = SK/SB = 2/3 ⇒ LK =2/3.AB IJKL là hình bình hành ⇔ IJ = KL⇔ 1/2.(AB + CD) = 2/3.AB⇔ AB = 3.CD Vậy : thiết diện IJKL là hình bình hành ⇔ AB = 3.CD Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD a. Chứng minh : PQ // SA. b. Gọi K = MN ∩ PQ. Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC. Bài giải Chứng minh : PQ // SA. Xét tam giác SCD.Ta có : NP // CD ⇔ DP/SD = CN/CS (1) tương tự MN // SB ta có CN /CS = CM/CB (2) Ta có MQ // AB⇒ CM / CB = DQ/ DA (3) từ (1), (2) và (3) ⇒ DP / DS = DQ / DA ⇒ PQ // SA Toán lớp 11 - Tags: đường thẳng, không gian, song song
|