Giải bài tập hình học 10 nâng cao bài 4 năm 2024
Bài 4. Trong các trường hợp nào tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) có giá trị dương, có giá trị âm, bằng \(0\) ? Hướng dẫn trả lời Ta có \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\,\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos (\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b )\), do đó +) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b > 0\) khi \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và góc \((\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ) < {90^0}\); +) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b < 0\) khi \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và góc \((\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ) > {90^0}\); +) \(\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a \bot \overrightarrow {b.}\) Bài 5 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao Bài 5. Cho tam giác \(ABC\). Tổng \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) + (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} )\) có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau : \({90^0}\,;\,{180^0}\,;\,{270^{0\,}}\,;\,{360^0}\) ? Hướng dẫn trả lời Ta có \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {180^0} - \widehat B\,\,;\,\,(\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) = {180^0} - \widehat C\,\,;\,\,(\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ) = {180^0} - \widehat A\) Do đó \((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ) + (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ) = {360^0}\) Bài 6 trang 51 SGK Hình học 10 nâng cao Bài 6. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và \(\widehat B = {30^0}\). Tính giá trị của các biểu thức sau
Hướng dẫn trả lời
\((\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {150^0}\,\,;\,\,\,(\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) = {30^0}\,\,;\,\,\,(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} ) = {120^0}\) Do đó \(\eqalign{ & \cos (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \sin (\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ) + \tan {{(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} )} \over 2} = \cos {150^0} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{{\rm{0}}^0} + \tan {60^0} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{{ - \sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2} + \sqrt 3 = {{\sqrt 3 + 1} \over 2} \cr} \)
\(\eqalign{ & \sin (\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ) + \cos (\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BA} ) + \cos (\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {BA} ) = \sin {90^0} + \cos {30^0} + \cos {90^0} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + {{\sqrt 3 } \over 2} + 0 = {{2 + \sqrt 3 } \over 2} \cr} \) Bài 7 trang 52 SGK Hình học 10 nâng cao Bài 7. Cho bốn điểm bất kì \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\). Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”. Hướng dẫn trả lời Ta có \(\eqalign{ & \,\,\,\,\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \cr & = \overrightarrow {DA} (\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} ) + \overrightarrow {DB} (\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} ) + \overrightarrow {DC} (\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} ) \cr & = \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \overrightarrow {DA} = 0 \cr} \) Gọi \(D\) là giao điểm của hai đường cao \(AA', BB'\) của tam giác \(ABC\). Ta có \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} = 0\,;\,\,\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} = 0\) Từ đó suy ra \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0\), do đó \(DC \bot AB\). Vậy \(D\) nằm trên đường cao \(CC'\) của tam giác \(ABC\), tức là ba đường cao trong tam giác đồng quy. |