- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0
Các câu hỏi tương tự
- Toán lớp 10
- Ngữ văn lớp 10
- Tiếng Anh lớp 10
Giải và biện luận bất phương trình bậc 2 theo tham số m
I. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2
Để giải và biện luận phương trình bậc 2, chúng ta tínhΔvà dựa vào đó để biện luận. Chú ý rằng, trong thực tế chúng ta thường gặp bài toán tổng quát: Giải và biện luận phương trìnhax2+bx+c=0với hệ sốacó chứa tham số. Lúc đó, quy trình giải và biện luận như sau.
Bài toán: Giải và biện luận phương trìnhax2+bx+c=0
Chúng ta xét 2 trường hợp chính:
1.Nếua=0thì phương trìnhax2+bx+c=0trở thành bx+c=0
Đây chính là dạng phương trình bậc nhấtax+b=0đã biết cách giải. Để giải và biện luận phương trìnhax+b=0, ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1.Nếua≠0thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất
- Trường hợp 2.Nếua=0thì phương trình đã cho trở thành0x+b=0, lúc này:
+ Nếub=0thì phương trình đã cho có tập nghiệm làR;
+ Nếub≠0thì phương trình đã cho vô nghiệm.
2.Nếua≠0thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: ∆ = b2 -4ac
Chúng ta lại xét tiếp 3 khả năng củaΔ:
Δ 0.
b. 12x2+ 2[m + 3]x + m ≤ 0.
Lời giải:
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1:Ta có Δ' = 1 - 6m. Xét ba trường hợp:
⇒ nghiệm của bất phương trình là x < x1hoặc x > x2.
Kết luận:
Cách 2:Biến đổi bất phương trình về dạng: [x + 1]2> 1 - 6m.
Khi đó:
Vậy, nghiệm của bất phương trình là tậpR\{-1}.
b. Với f[x] = 12x2+ 2[m + 3]x + m, ta có a = 12 và Δ' = [m - 3]2≥ 0.
Khi đó, ta xét hai trường hợp:
Xét hai khả năng sau:
- Khả năng 1: Nếu x1< x2⇔ m < 3.
Khi đó, ta có bảng xét dấu:
- Khả năng 2: Nếu x1> x2⇔ m > 3.
Khi đó, ta có bảng xét dấu:
Kết luận:
Bài toán 2. Giải và biện luận bất phương trình: [m - 1]x2- 2[m + 1]x + 3[m - 2] > 0. [1]
Lời giải
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m – 1 = 0⇔ m = 1, khi đó: [1]⇔ – 4x - 3 > 0⇔ x < - 3/4.
Trường hợp 2: Nếu m – 1 ≠ 0⇔ m ≠ 1.
Ta có: a = m – 1, Δ’ = [m + 1]2- 3[m – 2][m – 1] = -2m2+ 11m – 5.
Bảng xét dấu:
Kết luận:
+ Với m ≤ 1/2, thì [1] vô nghiệm.
+ Với 1/2 < m < 1, nghiệm của [1] là x2≤ x ≤ x1.
+ Với 1 < m < 5, nghiệm của [1] là x < x1hoặc x > x2.
+ Với m > 5, thì [1] đúng với∀x∈R.
Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, nội dung bài viết gồm 3 phần: trình bày phương pháp, ví dụ minh họa và các bài tập rèn luyện, các ví dụ và bài tập trong bài viết đều được phân tích và giải chi tiết.
1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn
Các bước giải và biện luận phương trình dạng $a{x^2} + bx + c = 0:$
• Nếu $a=0$: Phương trình trở thành: $bx + c = 0$, khi đó:
+ Nếu $b \ne 0$, phương trình $\Leftrightarrow x = – \frac{c}{b}$, do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x = – \frac{c}{b}.$
+ Nếu $b = 0$, phương trình trở thành $0x + c = 0$, ta tiếp tục xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Với $c = 0$, phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in R.$
Trường hợp 2: Với $c ≠ 0$, phương trình vô nghiệm.
• Nếu $a\ne 0$: xét $\Delta ={{b}^{2}}-4ac:$
+ Trường hợp 1: Nếu $\Delta >0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}.$
+ Trường hợp 2: Nếu $\Delta =0$, phương trình có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}.$
+ Trường hợp 3: Nếu $\Delta 0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.
- Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
- Δ0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
- Δ’0, hai nghiệm cùng dương.
- P