1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng.
Định nghĩa 1
Khoảng cách từ 1 điểm \[M\] đến một mặt phẳng \[[P]\] [hoặc đến đường thẳng \[∆\]] là khoảng cách giữa hai điểm \[M\] và \[H\], trong đó \[H\] là hình chiếu của điểm \[M\] trên mặt phẳng \[[P]\] [h.3.56a], kí hiệu là \[d[M, [P]]\] [hoặc trên đường thẳng \[∆\], kí hiệu là \[d[M, ∆]\] [h.3.56b]].
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
Định nghĩa 2
Khoảng cách giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[[P]\] song song với \[a\] là khoảng cách từ một điểm bất kì của \[a\] tới mặt phẳng \[[P]\] [h.3.57], kí hiệu là \[d[a, [P]]\].
Định nghĩa 3
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa
- Đường thẳng \[c\] cắt và vuông góc với cả \[a\] và \[b\] gọi là đường vuông góc chung của \[a\] và \[b\] [h.3.58].
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đó.
Nhận xét
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:
- Khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đã cho đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó [h.3.59].
Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
- Dựng mp \[[P]\] chứa \[b\] và song song với \[a\].
- Từ một điểm \[M\] trên \[a\], dựng đường thẳng vuông góc với \[[P]\], cắt \[[P]\] tại \[M'\].
- Trong \[[P]\] từ \[M'\] dựng đường thẳng \[a' // a\], cắt \[b\] tại \[B\].
- Trong mp \[[a,a']\], từ \[B\] dựng đường thẳng song song với \[MM'\], cắt \[a\] tại \[A. AB\] là đường thẳng cần dựng [h3.60].
Loigiaihay.com
39
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
40
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
45
00:18:23 Bài 7: Ứng dụng tích có hướng tính diện tích
46
00:22:03 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
48
00:32:07 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
51
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
57
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
58
00:15:13 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
61
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
66
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. PHƯƠNG PHÁP: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng [d] song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng [d]. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 7% một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kết luận: Việc tính khoảng cách giữa đường song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đều quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đã đề cập ở dạng toán 2 phía trên. Do đó, việc cần làm là chọn điểm trên đường hoặc trên mặt sao cho việc xác định khoảng cách là đơn giản nhất.
MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA. Bài toán 1: Cho hình lăng trụ ABC có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Hình chiếu vuông góc của A trên với trung điểm của B’C’. Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt bên BCC’B’. b] Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ. Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a và SAI[ABCD]. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng [SAD] bằng. Bài toán 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a3. Khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng [SAB] bằng.
Phương pháp tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng d // [P]; để tính khoảng cách giữa d và [P] ta thực hiện các bước:
+ Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến [P] có thể được xác định dễ nhất.
+ Bước 2: Kết luận: d[d; [P]] = d[A; [P]].
Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết hơn vềđường thẳng và mặt phẳng song song cùng các dạng bài tập nhé:
1. Định nghĩa mặt phẳng và đường thằng song song
Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
Định lí 1:
Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng [P] và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên [P] thì d song song với [P].
Định lí 2:
[Định lí giao tuyến 2]. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt [P] thì cắt theo giao tuyến song song với d.
Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Định lí 3:
Nếu a b là hai đường thẳng chéo nhau thì có một và chỉ một mặt phẳng chứa a và song song với b.
Định lí 4:
Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau và O là một điểm không nằm trên cả hai đường thẳng a và b thì có một và chỉ một mặt phẳng đi qua O và song song với cả hai đường thẳng a, b.
3. Các dạng toánđường thẳng song song với một mặt phẳng.
Dạng 1:
Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng. Phương pháp: Chứng minh đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng [P] và d song song với một đường thẳng a chứa trong [P] Chú ý: Đường thẳng a phải là đường thẳng đồng phẳng với d, do đó nếu trong hình không có sẵn đường thẳng nào chứa trong [P] và đồng phẳng với d thì khi đó ta chọn một mặt phẳng chứa d và dựng giao tuyến a của mặt phẳng đó với [P] rồi chứng minh d // a.
Dạng 2:
Thiết diện song song đường thẳng cho trước Sử dụng định lí giao tuyến 2: “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt [P] thì cắt theo giao tuyến song song với d” để tìm các đoạn giao tuyến của [P] với các mặt của hình chóp.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:Cho hình chóp S. ABCD có SA⊥ [ABCD], đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và [SAD]
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
Ví dụ 2:Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và [ABC] bằng:
Ví dụ 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a . Khoảng cách từ đường thẳng AB đến [SCD] bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó; IM // AD //BC
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông nên SO⊥ [ABCD] .
+ Do tam giác SAB là đều cạnh 2a
Đáp án D
5. Bài tập vận dụng
Câu 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên [SAB] và [SAD] cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Gọi E là trung điểm AD. Khoảng cách giữa AB và [SOE] là
Bài giải:
+ Vì hai mặt bên [SAB] và [SAD] cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .
mà [SAB] ∩ [SAD] = SA
⇒ SA⊥ [ABCD] .
+ Do E là trung điểm của AD khi đó
Tam giác ABD có EO là đường trung bình
⇒ EO // AB⇒ AB // [SOE]
⇒ d[AB, [SOE]] = d[A; [SOE]] = AH
với H là hình chiếu của A lên SE.
Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và∠ABC = 60° Hai mặt phẳng [SAC] và [SBD] cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng [SAB] và [ABCD] bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và [SAB] theo a bằng:
Bài giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Kẻ: OI⊥ AB; OH⊥ SI
+ Do CD // AB nên CD // [SAB]
⇒ d[CD, [SAB]] = d[C; [SAB]] = 2d[ O; [SAB]]
Ta có: AB⊥ SO , AB⊥ OI⇒ AB⊥ [SOI]⇒ AB⊥ OH
Nên OH⊥ [SAB]⇒ d[O, [SAB]] = OH
Mà tam giác ACB cân tại B có ∠ABC = 60° nên tam giác ABC đều
⇒ OC = [1/2]AC = [1/2]AB = a/2 .
+ xét tam giác OAB có:
Chọn đáp án B.
Câu 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB= a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khoảng cách giữa BC và [SMN] bằng bao nhiêu?
Bài giải:
+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC
⇒ BC // [SMN] nên :
d[BC; [SMN]] = d[B; [SMN]] = d[A; [SMN]]
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.
+ Ta chứng minh: MN⊥ [SAM]:
Chọn đáp án A