- LG câu a
- LG câu b
- LG câu c
- LG câu d
- LG câu e
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
LG câu a
\[\displaystyle y = 2x - {x^2},x + y = 2\]
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
- Sử dụng công thức tính diện tích \[\displaystyle S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
Giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle y = 2x - {x^2},y = 2 - x\]
Phương trình hoành độ giao điểm: \[\displaystyle 2x - {x^2} = 2 - x\] \[\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\]
Khi đó diện tích \[\displaystyle S = \int\limits_1^2 {\left| {2x - {x^2} - 2 + x} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_1^2 {\left| { - {x^2} + 3x - 2} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_1^2 {\left[ { - {x^2} + 3x - 2} \right]dx} \]
\[\displaystyle = \left. {\left[ { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 2x} \right]} \right|_1^2\] \[\displaystyle = - \dfrac{8}{3} + 6 - 4 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{1}{6}\]
Vậy \[\displaystyle S = \dfrac{1}{6}\].
LG câu b
\[\displaystyle y = {x^3} - 12x,y = {x^2}\]
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm \[\displaystyle {x_1} < {x_2} < ... < {x_n}\].
- Tính diện tích theo công thức:
\[\displaystyle S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_n}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[\displaystyle + \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} + ...\] \[\displaystyle + \int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
\[\displaystyle = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\] \[\displaystyle + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\] \[\displaystyle ... + \left| {\int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\].
Giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\[\displaystyle {x^3} - 12x = {x^2}\]\[\displaystyle \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 12x = 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - x - 12} \right] = 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - x - 12 = 0\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 3\\x = 4\end{array} \right.\]
Diện tích là:
\[\displaystyle S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx} \] \[\displaystyle + \int\limits_0^4 {\left| {{x^3} - 12x - {x^2}} \right|dx} \]
\[\displaystyle = \left| {\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {{x^3} - {x^2} - 12x} \right]dx} } \right|\] \[\displaystyle + \left| {\int\limits_0^4 {\left[ {{x^3} - {x^2} - 12x} \right]dx} } \right|\] \[\displaystyle = \frac{{99}}{4} + \frac{{160}}{3} = \frac{{937}}{{12}}\].
Vậy \[\displaystyle S = \frac{{937}}{{12}}\].
LG câu c
\[\displaystyle x + y = 1;x + y = - 1;\] \[\displaystyle x - y = 1;x - y = - 1\]
Phương pháp giải:
Dựng hình và suy ra diện tích.
Giải chi tiết:
Vẽ các đường thẳng \[\displaystyle x + y = 1;x + y = - 1;\] \[\displaystyle x - y = 1;x - y = - 1\] trên hệ tục tọa độ ta được phần cần tính diện tích là hình vuông có các đỉnh \[\displaystyle \left[ { - 1;0} \right],\left[ {0; - 1} \right],\left[ {1;0} \right],\left[ {0;1} \right]\].
Diện tích hình vuông là: \[\displaystyle S = 4.\frac{1}{2}.1.1 = 2\].
Chú ý:
Sử dụng công thức tích phân ta được \[\displaystyle S = 4\int\limits_0^1 {\left[ {1 - x} \right]dx} \]\[\displaystyle = 4\left. {\left[ {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]} \right|_0^1 = 4\left[ {1 - \frac{1}{2}} \right] = 2\].
LG câu d
\[\displaystyle y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}\]
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm \[\displaystyle {x_1} < {x_2} < ... < {x_n}\].
- Tính diện tích hình phẳng theo công thức \[\displaystyle S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_n}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
Giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle \frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{1}{2}\]\[\displaystyle \Leftrightarrow 1 + {x^2} = 2\] \[\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\].
Diện tích: \[\displaystyle S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right|dx} \]\[\displaystyle = \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right]dx} \]
Dễ thấy hàm số \[\displaystyle y = \frac{1}{{{x^2} + 1}} - \frac{1}{2}\] là hàm số chẵn nên \[\displaystyle S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right]dx} \] \[\displaystyle = 2\int\limits_0^1 {\left[ {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right]dx} \]
Xét \[\displaystyle I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{2}} \right]dx} \]\[\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {dx} \] \[\displaystyle = J - \frac{1}{2}\] với \[\displaystyle J = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} \]
Đặt \[\displaystyle x = \tan t \Rightarrow dx = \left[ {1 + {{\tan }^2}t} \right]dt\] \[\displaystyle \Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + {{\tan }^2}t}}{{1 + {{\tan }^2}t}}dt} = \frac{\pi }{4}\]\[\displaystyle \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\]
Vậy \[\displaystyle S = 2I = 2.\left[ {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right] = \frac{\pi }{2} - 1\].
LG câu e
\[\displaystyle y = {x^3} - 1\] và tiếp tuyến với \[\displaystyle y = {x^3} - 1\] tại điểm \[\displaystyle \left[ { - 1; - 2} \right]\].
Phương pháp giải:
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \[\displaystyle \left[ { - 1; - 2} \right]\].
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
- Tính diện tích theo công thức \[\displaystyle S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
Giải chi tiết:
Xét \[\displaystyle y = g\left[ x \right] = {x^3} - 1\] có \[\displaystyle g'\left[ x \right] = 3{x^2}\]\[\displaystyle \Rightarrow g'\left[ { - 1} \right] = 3\].
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[\displaystyle y = g\left[ x \right]\] tại điểm \[\displaystyle \left[ { - 1; - 2} \right]\] là:
\[\displaystyle y = 3\left[ {x + 1} \right] - 2\] hay \[\displaystyle y = 3x + 1\].
Xét phương trình \[\displaystyle {x^3} - 1 = 3x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ {x - 2} \right]{\left[ {x + 1} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\]
Diện tích: \[\displaystyle S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 3x - 2} \right|dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ { - {x^3} + 3x + 2} \right]dx} \] \[\displaystyle = \left. {\left[ { - \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x} \right]} \right|_{ - 1}^2\] \[\displaystyle = - 4 + 6 + 4 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{{27}}{4}\].
Vậy \[\displaystyle S = \dfrac{{27}}{4}\].