Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

1. Định nghĩa

Cho điểm \[I\] và một số thực \[k \ne 0\]. Phép biến hình biến mỗi điểm \[M\] thành điểm \[M'\] sao cho \[\overrightarrow {IM'}  = k.\overrightarrow {IM} \] được gọi là phép vị tự tâm \[I\] tỉ số \[k\].

Kí hiệu \[{V_{\left[ {I;k} \right]}}\].

2. Tính chất

- Nếu ${V_{\left[ {I;k} \right]}}\left[ M \right] = M',{V_{\left[ {I;k} \right]}}\left[ N \right] = N'$ thì $\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN} $ và $M'N' = \left| k \right|MN$

- Phép vị tự tỉ số \[k\] biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.

- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

- Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.

- Biến đường tròn có bán kính \[R\]  thành đường tròn có bán kính $\left| k \right|R$

Trong mặt phẳng tọa độ, cho $I\left[ {{x_0};{y_0}} \right],M\left[ {x;y} \right]$, gọi $M'\left[ {x';y'} \right] = {V_{\left[ {I;k} \right]}}\left[ M \right]$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left[ {1 - k} \right]{x_0}\\y' = ky + \left[ {1 - k} \right]{y_0}\end{array} \right.$.

4. Tâm vị tự của hai đường tròn

Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn $\left[ {I;R} \right]$ và $\left[ {I';R'} \right]$

- Nếu $I \equiv I'$ thì các phép vị tự ${V_{\left[ {I; \pm \frac{{R'}}{R}} \right]}}$ biến $\left[ {I;R} \right]$ thành $\left[ {I';R'} \right]$.

- Nếu $I \ne I'$ và $R \ne R'$ thì các phép vị tự ${V_{\left[ {O;\frac{{R'}}{R}} \right]}}$ và ${V_{\left[ {{O_1}; - \frac{{R'}}{R}} \right]}}$ biến $\left[ {I;R} \right]$ thành $\left[ {I';R'} \right]$. Ta gọi $O$ là tâm vị tự ngoài còn ${O_1}$ là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

Nếu $I \ne I'$ và $R = R'$ thì có ${V_{\left[ {{O_1}; - 1} \right]}}$ biến $\left[ {I;R} \right]$ thành $\left[ {I';R'} \right]$

Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thảng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.. Bài 11 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 3. Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều

Bài 11. Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.

 a] Giả sử \[{V_k}\] là phép vị tự tỉ số \[k\] biến đường thẳng \[a\] thành đường thẳng \[a’\], lấy \[M,N \in a\] và \[{V_k}\left[ M \right] = M’;{V_k}\left[ N \right] = N’;M’,N’ \in a’\].

Ta có : \[\overrightarrow {M’N’}  = k\overrightarrow {MN}  \Rightarrow \overrightarrow {MN} \] cùng phương với \[\overrightarrow {M’N’} \] do đó hai đường thẳng \[a\] và \[a’\] song song hoặc trùng nhau.
b] Giả sử phép vị tự \[{V_k}\] biến mặt phẳng \[\left[ \alpha  \right]\] thành mp \[\left[ {\alpha ‘} \right]\]. Lấy trên \[\left[ \alpha  \right]\] hai đường thẳng cắt nhau \[a\] và \[b\] thì ảnh của chúng qua \[{V_k}\] là hai đường thẳng \[a’\] và \[b’\] nằm trên \[\left[ {\alpha ‘} \right]\] và lần lượt song song hoặc trùng với \[a\] và \[b\]. Từ đó suy ra hai mặt phẳng \[\left[ \alpha  \right]\] và \[\left[ {\alpha ‘} \right]\] song song hoặc trùng nhau.

Cho điểm I và một số $k\neq 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\vec{IM’}=k.\vec{IM}$ được gọi là phép vị tự tâm I tỉ số k.

Tính chất phép vị tự

1. Giả sử M’ và N’ theo thứ tự là ảnh của hai điểm M và N qua phép vị tự tỉ số k. Khi đó:a. $ \vec{M’N’}=k.\vec{MN} $

   b. $M’N’=|k|.MN $

2. Phép vị tự tỉ số ka. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.b. Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.c. Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.

   d. Biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính $|k|R$.

Trên đây là lí thuyết về phép vị tự gồm định nghĩa và tính chất. Tuy nhiên thầy sẽ giải thích rõ hơn một số tính chất để các bạn có thể hiểu thêm.

Xem thêm bài giảng:

Tính chất 1:

a. $ \vec{M’N’}=k.\vec{MN} $
b. $M’N’=|k|.MN $

a. Với k là một số dương [k=3] thì hai vectơ MN và vectơ M’N’ sẽ cùng hướng, còn k là 1 số âm [k=-3] thì hai vectơ này sẽ ngược hướng.

b. Trong đẳng thức này $M’N’=|k|.MN $ thì k nằm trong dấu giá trị tuyệt đối vì ở đây muốn nói tới quan hệ về độ dài của hai đoạn thẳng. Do đó mà hệ số k không được âm.

Nếu k=3 thì M’N’=3MN. Nếu k=-3 thì M’N’ =3MN

Tính chất 2:

a. Nếu 3 điểm A, B, C thẳng hàng và theo thứ tự đó thì ba điểm ảnh sẽ là A’, B’, C’ và cũng theo thứ tự đó. Với A’ là ảnh của A, B’ là ảnh của B, C’ là ảnh của C.

c. Phép vị tự biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó. Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm I. Do đó tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’.

d. Phép vị tự tâm $I$ biến đường tròn tâm O thành đường tròn tâm O’ với tỉ số $k=\dfrac{R’}{R}$

Phép vị tự tâm $I’$ biến đường tròn tâm O thành đường tròn tâm O’ với tỉ số $k=-\dfrac{R’}{R}$

Bài viết này đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về định nghĩa và tính chất của phép vị tự. Các bạn có thể tham khảo thêm một số bài giảng về việc tìm ảnh của điểm hay đường tròn qua phép vị tự thầy để link ở phía trên nhé.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Lý thuyết và bài tập về phép vị tự.

Lý thuyết và bài tập về phép vị tự.

A.Lý thuyết:                         

I.Định nghĩa:
Cho điểm O và số k khác 0. Phép biến hình mỗi điểm M thành M’ sao cho:

-Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành M’,N’ thì '

-Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:

a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm ấy.

b. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ấy, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng.

c. Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó, một góc thành một góc bằng với nó.

d. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

III. Biểu thức tọa độ:

B. Bài tập minh họa:

Phương pháp chung:

Cho điểm M[x;y], có ảnh M’[x’;y’] qua phép vị tự tâm I tỉ số k.

• Cho điểm M[x;y], có ảnh  M’[x’;y;] qua phép vị tự tâm I tỉ số k.

• Từ [1] ta tìm được tọa độ M’ là ảnh của M.
• Từ đó ta cũng tìm được phương trình của ảnh của đường [C] đã cho.

III. Bài tập tự luyện:

Câu 1: Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 3 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số      k = 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A. 2x + y + 3 = 0            B. 2x + y – 6 = 0                 C. 4x – 2y – 3 = 0        D. 4x + 2y – 5 = 0

Câu 2 : Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số        k = – 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A. 2x + 2y = 0                B. 2x + 2y – 4 = 0              C. x + y + 4 = 0             D. x + y – 4 = 0

Câu 3 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn [C] có phương trình [x – 1]2 + [y – 2]2 = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = – 2 biến [C] thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A. [x – 2]2 + [y – 4]2 = 16                                           B. [x – 4]2 + [y – 2]2 = 4                                    

C. [x – 4]2 + [y – 2]2 = 16                                          D. [x + 2]2 + [y + 4]2 = 16

Câu 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn [C] có phương trình [x – 1]2 + [y – 1]2 = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k =  2 biến [C] thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A. [x –1]2 + [y – 1]2 = 8                                              B. [x – 2]2 + [y – 2]2 = 8                                    

C. [x – 2]2 + [y – 2]2 = 16                                          D. [x + 2]2 + [y + 2]2 = 16

Câu 5 : Phép vị tự tâm O tỉ số k [k ¹ 0] biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

A. \[\overrightarrow{OM}=\frac{1}{k}\overrightarrow{OM'}\]                B. \[\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{OM'}\]                                     C. \[\overrightarrow{OM}=-k\overrightarrow{OM'}\]                                         D. \[\overrightarrow{OM'}=-\overrightarrow{OM}\]

Câu 6: Chọn câu đúng:

A. Qua phép vị tự có tỉ số k ¹ 1, đường thẳng đi qua tâm vị tự sẽ biến thành chính nó.         

B. Qua phép vị tự có tỉ số k ¹ 0, đường tròn đi qua tâm vị tự sẽ biến thành chính nó.

C. Qua phép vị tự có tỉ số k ¹ 1, không có đường tròn nào biến thành chính nó.

D. Qua phép vị tự V[O, 1] đường tròn tâm O sẽ biến thành chính nó.

Câu 7: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’và N’ thì:

A. \[\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}\]và M’N’ = –kMN   B. \[\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}\]và M’N’ = |k|MN        

C. \[\overrightarrow{M'N'}=\left| k \right|\overrightarrow{MN}\]và M’N’ = kMN           D. \[\overrightarrow{M'N'}//\overrightarrow{MN}\]và M’N’ = \[\frac{1}{2}\]MN

Câu 8: Xét các phép biến hình sau:

[I] Phép đối xứng tâm.                                [II] Phép đối xứng trục

[III] Phép đồng nhất.                                               [IV]. Phép tịnh tiến theo vectơ khác \[\overrightarrow{0\,}\]

Trong các phép biến hình trên:

A. Chỉ có [I] là phép vị tự.                                        B. Chỉ có [I] và [II] là phép vị tự.         

C. Chỉ có [I] và [III] là phép vị tự.                            D. Tất cả đều là những phép vị tự.

Câu 9 : Hãy tìm khẳng định sai:

A. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì mọi điểm của nó đều bất động.

B. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì nó là một phép đồng nhất.

C. Nếu một phép vị tự có một điểm bất động khác với tâm vị tự của nó thì phép vị tự đó có tỉ số k = 1.

D. Nếu một phép vị tự có hai điểm bất động thì chưa thể kết luận được rằng mọi điểm của nó đều bất động.

Câu 10 : Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Khi đó phép vị tự nào biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC?

A. Phép vị tự tâm G, tỉ số 2.                                     B. Phép vị tự tâm G, tỉ số –2.

C. Phép vị tự tâm G, tỉ số –3.                                   D. Phép vị tự tâm G, tỉ số 3.

Đáp án bài tập tự luyện:

Chúc các bạn học tốt.

Bài viết gợi ý: