Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x x 3 3x 2 2 song song với đường thẳng y=9x 2)

Câu hỏi:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3x + 2\) song song với đường thẳng \(y = 9x – 14.\)

Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A

Xét hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( C \right)\) có: \(y’ = 3{x^2} – 3\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) \( \Rightarrow M\left( {{x_0};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x_0^3 – 3{x_0} + 2} \right).\)

Khi đó phương trình tiếp tuyến của  tại  có dạng:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} d:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}}\\{ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 – 3} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^3 – 3{x_0} + 2}\\{ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 – 3} \right)x – 3x_0^3 + 3{x_0} + x_0^3 – 3{x_0} + 2}\\{ \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 – 3} \right)x – 2x_0^3 + 2}\end{array}\)

Ta có tiếp tuyến \(d\) song song với đường thẳng \(y = 9x – 14\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x_0^2 – 3 = 9}\\{ – 2x_0^3 + 2 \ne {\rm{\;}} – 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_0^2 = 4}\\{x_0^3 \ne 8}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 2}\\{{x_0} = {\rm{\;}} – 2}\end{array}} \right.}\\{{x_0} \ne 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x_0} = {\rm{\;}} – 2\)\( \Rightarrow M\left( { – 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 16} \right)\)

Vậy có 1 điểm \(M\left( { – 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 16} \right)\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.