Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên $X$ nhận giá trị trong $[-\infty , +\infty]$ được gọi là tuân theo quy luật phân phối chuẩn hay quy luật phân phối Gauss, ký hiệu là $N[\mu,\sigma^2]$ nếu hàm mật độ xác suất của $X$ có dạng sau: $f[x]= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\dfrac{[x-\mu]^2}{\sigma^2}\right]$.
| Chú ý: Đồ thị của hàm mật độ của phân phối chuẩn có hình cái chuông, và bởi vậy phân phối này còn được gọi là phân phối hình chuông. Trung điểm của cái chuông này chính là điểm $x = \mu$, và độ cao của chuông chính bằng $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$. Nếu $\sigma$ càng nhỏ thì chuông càng cao và càng "hẹp", ngược lại $\sigma$ càng lớn thì chuông càng thấp và càng rộng ra. |
Các tham số đặc trưng: $E[X] = \mu$, $D[X] = \sigma^2$, $\sigma[X]=\sigma$.
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo quy luật phân phối chuẩn với $E[X]=0, D[X] = 1$ thì BNN $X$ được gọi là tuân theo quy luật phân phối chuẩn tắc, ký hiệu là $N[0, 1]$.
Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc kí hiệu là $\varphi[x]$ cho bởi: $$\varphi[x]=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\dfrac{x^2}{2}\right].$$
Hàm phân phối của phân phối chuẩn tắc kí hiệu là $\Phi[x]$ có biểu thức $$\Phi[x]=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x\exp\left[-\dfrac{t^2}{2}\right]dt,\quad \forall x\in\mathbb R.$$
Hàm phân phối $\Phi[x]$ có tính chất sau:
|