Bộ tương đương
Lý thuyết tập hợp Cantorian được thành lập dựa trên các nguyên tắc mở rộng và trừu tượng, được mô tả ở trên. Để mô tả một số kết quả dựa trên các nguyên tắc này, khái niệmsự tương đương của các bộ sẽ được xác định. Ý tưởng là hai tập hợp là tương đương nếu có thể ghép nối các thành viên của tập hợp thứ nhất với các thành viên của tập hợp thứ hai, không có thành viên nào còn sót lại ở hai bên. Để nắm bắt ý tưởng này trong các thuật ngữ lý thuyết tập hợp, tập hợp A được định nghĩa là tương đương với tập hợp B [ký hiệu là A B ] nếu và chỉ khi tồn tại một tập hợp thứ ba mà các thành viên của chúng là các cặp có thứ tự sao cho: [1] thành viên đầu tiên của mỗi cặp là một phần tử của A và thứ hai là một phần tử của B , và [2] mỗi thành viên của A xuất hiện như một thành viên đầu tiên và mỗi thành viên của B xuất hiện như một thành viên thứ hai của đúng một cặp. Do đó, nếuMột và B là hữu hạn và A B , sau đó set thứ ba mà thiết lập thực tế này cung cấp một kết nối, hoặc phù hợp, các yếu tố của một với những người của B . Ngược lại, nếu có thể so khớp các phần tử của A với các phần tử của B thì A B , vì một tập hợp các cặp đáp ứng yêu cầu [1] và [2] có thể được tạo thành tức là, nếu a A được ghép với b B , sau đó là cặp thứ tự [ a , b] là một thành viên của tập hợp. Do đó, định nghĩa sự tương đương của các tập hợp theo khái niệm so khớp, sự tương đương được hình thành độc lập với tính hữu hạn. Như một minh họa liên quan đến các tập hợp vô hạn , có thể được lấy để biểu thị tập hợp các số tự nhiên 0, 1, 2, [một số tác giả loại trừ 0 khỏi các số tự nhiên]. Khi đó {[ n , n 2 ] | n } thiết lập sự tương đương có vẻ nghịch lý của và tập con của được tạo thành bởi các bình phương của các số tự nhiên.
Như đã nêu trước đây, một tập hợp B được bao gồm trong, hoặc là mộttập hợp con của, một tập hợp A [tượng trưng bằng B A ] nếu mọi phần tử của B là một phần tử của A . Như đã định nghĩa, một tập con có thể bao gồm tất cả các phần tử của A , do đó A có thể là một tập con của chính nó. Hơn nữa, tập hợp rỗng, bởi vì nó theo định nghĩa không có phần tử nào không nằm trong các tập hợp khác, là tập hợp con của mọi tập hợp.
Nếu mọi phần tử của tập hợp B là một phần tử của tập hợp A , nhưng ngược lại là sai [do đó B A ], thì B được cho là được đưa vào đúng, hoặc làtập hợp con thích hợp của, A [ký hiệu là B A ]. Do đó, nếu A = {3, 1, 0, 4, 2} thì cả {0, 1, 2} và {0, 1, 2, 3, 4} đều là tập con của A ; nhưng {0, 1, 2, 3, 4} không phải là một tập hợp con thích hợp. Một tập hợp hữu hạn là không tương đương với mỗi tập con thích hợp của nó. Tuy nhiên, điều này không phải như vậy đối với các tập hợp vô hạn, như được minh họa với tập hợp trong ví dụ trước. [Sự tương đương của và tập hợp con thích hợp của nó được tạo thành bởi các bình phương của các phần tử của nó đã được ghi nhận bởiGalileo Galilei vào năm 1638, người đã kết luận rằng các khái niệm nhỏ hơn, bằng và lớn hơn không áp dụng cho các tập hợp vô hạn.]
Cardinality vàsố vô hạn
Việc áp dụng khái niệm tương đương với tập hợp vô hạn lần đầu tiên được khám phá một cách có hệ thống bởi Cantor . Với được định nghĩa là tập hợp các số tự nhiên, phát hiện có ý nghĩa ban đầu của Cantor là tập hợp tất cả các số hữu tỉ tương đương với nhưng tập hợp tất cả các số thực không tương đương với . Sự tồn tại của các tập hợp vô hạn không tương đương đã biện minh cho việc Cantor đưa ra các số chính phương vô hạn như là các thước đo kích thước cho các tập hợp đó. Cantor đã định nghĩa con bài của một tập tùy ý A là khái niệm có thể được trừu tượng hóa từ A được lấy cùng với tổng của các tập tương đương khác.Gottlob Frege , năm 1884, vàBertrand Russell , vào năm 1902, cả hai nhà logic toán học, đã xác định số chính
Các định nghĩa trên phù hợp với việc sử dụng các số tự nhiên như các số chính. Một cách trực quan, một số chính yếu, dù là hữu hạn [tức là số tự nhiên] hay vô hạn [tức là không vô hạn], đều là thước đo kích thước của một tập hợp. Cách xác định chính xác một số chính xác là không quan trọng; điều quan trọng là cái đó
Để so sánh các số chính, một quan hệ thứ tự [ký hiệu là