Bài 21:Cho phương trình ${{x}^{4}}-[{{m}^{2}}+4m]{{x}^{2}}+7m-1=0$. Định $m$ để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10
Hướng dẫn giải
Đặt $X={{x}^{2}}\left[ X\ge 0 \right]$
Phương trình trở thành ${{X}^{4}}-[{{m}^{2}}+4m]{{X}^{2}}+7m-1=0$ [1]
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û [1] có 2 nghiệm phân biệt dương
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{[{m^2} + 4m]^2} - 4[7m - 1] > 0\\
{m^2} + 4m > 0\\
7m - 1 > 0
\end{array} \right.$[I]
Với điều kiện [I], [1] có 2 nghiệm phân biệt dương ${{X}_{1}}$, ${{X}_{2}}$.
Þ Phương trình đã cho có 4 nghiệm
${{x}_{1,2}}=\pm \sqrt{{{X}_{1}}}$ ;
${{x}_{3,4}}=\pm \sqrt{{{X}_{2}}}$
$\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=2[{{X}_{1}}+{{X}_{2}}]=2[{{m}^{2}}+4m]$
Vậy ta có $2[{m^2} + 4m] = 10 \Rightarrow {m^2} + 4m - 5 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = - 5
\end{array} \right.$
Với $m=1$, [I] thỏa mãn
Với $m=-5$, [I] không thỏa mãn.
Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.
Bài 22:Cho phương trình:${{x}^{2}}-\left[ 2m+1 \right]+{{m}^{2}}+m-6=0\quad \left[ * \right]$
a] Tìm $m$ để phương trình $\left[ * \right]$ có hai nghiệm.
b] Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.
c] Tìm $m$ để phương trình $\left[ * \right]$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| x_{1}^{3}-x_{2}^{3} \right|=50$.
Hướng dẫn giải
a] $\Delta ={{\left[ 2m+1 \right]}^{2}}-4\left[ {{m}^{2}}+m-6 \right]=25>0$$\Leftrightarrow 25>0$ với mọi giá trị của m.
Vậy phương trình $\left[ * \right]$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.
b] Theo Vi-et ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1}{x_2} = {m^2} + m - 6}\\
{{x_1} + {x_2} = 2m + 1}
\end{array}} \right.$
Để phương trình $\left[ * \right]$ có hai nghiệm âm thì:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1}.{x_2} > 0}\\
{{x_1} + {x_2} < 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + m - 6 > 0}\\
{2m + 1 < 0}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < - 3{\rm{ }}ho{\rm{a}}c{\rm{ }}m > 2}\\
{m < - \frac{1}{2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow m < - 3$
Vậy với $m 0\\
{x_1}{x_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - 2m}}{2} > 0\\
\frac{{m - 1}}{2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - 2m > 0\\
m - 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{2}\\
m > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset $
Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình có hai nghiệm dương.
Bài 24:Cho phương trình bậc hai: ${{x}^{2}}+\text{ }2[m-1]x-\text{ }[m+\text{ }1]=\text{ }0\text{ }\left[ 1 \right]$
a] Tìm giá trị $m$ để phương trình $\left[ 1 \right]$có một nghiệm lớn hơn $1$ và một nghiệm nhỏ hơn $1$.
b] Tìm giá trị $m$ để phương trình $\left[ 1 \right]$có hai nghiệm đều nhỏ hơn $2$.
Hướng dẫn giải
a] Ta có: $\Delta '={{[m-1]}^{2}}+m+1={{[m-\frac{1}{2}]}^{2}}+\frac{7}{4}>0,\forall m.$ Nên phương trình [1] luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo hệ thức Vi- ét ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - 2\left[ {m - 1} \right]\\
{x_1}.{x_2} = - \left[ {m + 1} \right]
\end{array} \right.$
Để phương trình [1] có một nghiệm lớn hơn$1$ , một nghiệm nhỏ hơn $1$ thì $\left[ {{x}_{1}}-1 \right]\left[ {{x}_{2}}-1 \right] 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + 6 > 0\\
{x_1}.{x_2} + 3.[{x_1} + {x_2}] + 9 > 0\\
{x_1} + {x_2} - 12 < 0\\
{x_1}.{x_2} - 6[{x_1} + {x_2}] + 36 > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m + 3 + 6 > 0\\
{m^2} + 3m + 2 + 3[2m + 3] + 9 > 0\\
2m + 3 - 12 < 0\\
{m^2} + 3m + 2 - 6[2m + 3] + 36 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m + 9 > 0\\
{m^2} + 9m + 20 > 0\\
2m - 9 < 0\\
{m^2} - 9m + 20 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \frac{{ - 9}}{2}\\
[m + 4][m + 5] > 0\\
m < \frac{9}{2}\\
[m - 4][m - 5] > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \frac{{ - 9}}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
m < - 5\\
m > - 4
\end{array} \right.\\
m < \frac{9}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
m < 4\\
m > 5
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 < m < 4$
Vậy $-4 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > 2
\end{array} \right.\\
0 < m < 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m < 4\\
\left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > 2
\end{array} \right.\\
0 < m < 3
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow 2 < m < 3$
c] Để phương trình đã cho có nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì $m\ne 0$ và $\Delta \ge 0\Leftrightarrow m\ne 0\text{ }v\grave{a}\text{ }m\le 4$
Khi đó theo Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2[m - 2]}}{m} = - 2 + \frac{4}{m}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 3}}{m} = 1 - \frac{3}{m}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3[{x_1} + {x_2}] = - 6 + \frac{{12}}{m}\\
4{x_1}.{x_2} = 4 - \frac{{12}}{m}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow 3[{x_1} + {x_2}] + 4{x_1}{x_2} = - 2$
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào$m$ .
d] Với $m\ne 0$ và $m\le 4$ thì phương trình luôn có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$thỏa mãn
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2[m - 2]}}{m}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 3}}{m}
\end{array} \right.$
Ta có: $A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}]}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
$={{\left[ \frac{-2[m-2]}{m} \right]}^{2}}-2.\frac{m-3}{m}$
$=\frac{4[{{m}^{2}}-4m+4]}{{{m}^{2}}}-\frac{2m-6}{m}$
$=\frac{4{{m}^{2}}-16m+16-2{{m}^{2}}+6m}{{{m}^{2}}}$
$=\frac{2{{m}^{2}}-10m+16}{{{m}^{2}}}$
$=2-\frac{10}{m}+\frac{16}{{{m}^{2}}}={{\left[ \frac{4}{m} \right]}^{2}}-2.\frac{4}{m}.\frac{5}{4}+\frac{25}{16}+\frac{7}{16}$
$={{\left[ \frac{4}{m}-\frac{5}{4} \right]}^{2}}+\frac{7}{16}\ge \frac{7}{16}$
${{A}_{\min }}=\frac{7}{16}$ . Dấu “=” xảy ra khi $\frac{4}{m}=\frac{5}{4}\Leftrightarrow m=\frac{16}{5}$ [tm]
Vậy GTNN của $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ là $\frac{7}{16}$ xảy ra khi $m=\frac{16}{5}$
Bài 27:Cho phương trình bậc hai $m{{x}^{2}}-[5m-2]x+6m-5=0$
a] Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
b] Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.
Hướng dẫn giải
a] Xét phương trình $m{{x}^{2}}-\left[ 5m-2 \right]x+6m-5=0$
Để để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì:
$\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta > 0\\
{x_1} + {x_2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{\left[ {5m - 2} \right]^2} - 4.m.\left[ {6m - 5} \right] > 0\\
\frac{{5m - 2}}{m} = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} + 4 > 0\\
5m - 2 = 0
\end{array} \right.$ [luôn đúng với mọi $m$] $ \Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\,$[thỏa mãn]
Vậy $m=\frac{2}{5}$ thì phương trình có hai nghiệm đối nhau.
b] Xét phương trình $m{{x}^{2}}-\left[ 5m-2 \right]x+6m-5=0$
Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau thì:
$\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta > 0\\
{x_1}.{x_2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{\left[ {5m - 2} \right]^2} - 4.m.\left[ {6m - 5} \right] > 0\\
\frac{{6m - 5}}{m} = 1
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} + 4 > 0\\
6m - 5 = m
\end{array} \right.$ [luôn đúng với$\forall m$] $\Leftrightarrow m = 1\,\,$[thỏa mãn]
Vậy $m=1$ thì phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.
Bài 28:Tỉm giá trị m để phương trình:
a] $2{{x}^{2}}+mx+m-3=0$ có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
b] ${{x}^{2}}-2[m-1]x+m-3=0$ có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
Hướng dẫn giải
a] Xét phương trình $2{{x}^{2}}+mx+m-3=0$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: $a.c