Câu 15 trang 51 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình
a] \[7{x^2} – 5x = 0\]
b] \[ – \sqrt 2 {x^2} + 6x = 0\]
c] \[3,4{x^2} + 8,2x = 0\]
d] \[ – {2 \over 5}{x^2} – {7 \over 3}x = 0\]
Giải
a] \[7{x^2} – 5x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {7x – 5} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = 0\] hoặc \[7x – 5 = 0\]
\[\Leftrightarrow x = 0\] hoặc \[x = {5 \over 7}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} = {5 \over 7}\]
b] \[ – \sqrt 2 {x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {6 – \sqrt 2 x} \right] = 0\]
⇔ x = 0 hoặc \[6 – \sqrt 2 x = 0\]
⇔ x = 0 hoặc \[x = 3\sqrt 2 \]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} = 3\sqrt 2 \]
c] \[3,4{x^2} + 8,2x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {17x + 41} \right] = 0\]
⇔ x = 0 hoặc 17x + 41 = 0
⇔ x = 0 hoặc \[x = – {{41} \over {17}}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} = – {{41} \over {17}}\]
d] \[ – {2 \over 5}{x^2} – {7 \over 3}x = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 35x = 0\]
\[ \Leftrightarrow x\left[ {6x + 35} \right] = 0\]
⇔ x = 0 hoặc 6x + 35 = 0
⇔ x = 0 hoặc \[x = – {{35} \over 6}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} = – {{35} \over 6}\]
Câu 16 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a] \[5{x^2} – 20 = 0\]
b] \[ – 3{x^2} + 15 = 0\]
c] \[1,2{x^2} – 0,192 = 0\]
d] \[1172,5{x^2} + 42,18 = 0\]
Giải
a] \[5{x^2} – 20x = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left| x \right| = 2\]
⇔ x = 2 hoặc x = -2
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 2;{x_2} = – 2\]
b] \[ – 3{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5 \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt 5 \]
⇔ \[x = \sqrt 5 \] hoặc \[x = – \sqrt 5 \]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = \sqrt 5 ;{x_2} = – \sqrt 5 \]
c] \[1,2{x^2} – 0,192 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 0,16 \Leftrightarrow \left| x \right| = 0,4\]
\[ \Leftrightarrow x = 0,4\] hoặc x = -0,4
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0,4;{x_2} = – 0,4\]
d] \[1172,5{x^2} + 42,18 = 0\]
Ta có: \[{x^2} \ge 0;1172,5{x^2} \ge 0;1172,5{x^2} + 42,18 > 0\] nên không có giá trị nào của x để \[1172,5{x^2} + 42,18 = 0\]
Phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 17 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a] \[{\left[ {x – 3} \right]^2} = 4\]
b] \[{\left[ {{1 \over 2} – x} \right]^2} – 3 = 0\]
c] \[{\left[ {2x – \sqrt 2 } \right]^2} – 8 = 0\]
d] \[{\left[ {2,1x – 1,2} \right]^2} – 0,25 = 0\]
Giải
a]
\[\eqalign{ & {\left[ {x – 3} \right]^2} = 4 \Leftrightarrow {\left[ {x – 3} \right]^2} – {2^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\left[ {x – 3} \right] + 2} \right]\left[ {\left[ {x – 3} \right] – 2} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {x – 1} \right]\left[ {x – 5} \right] = 0 \cr} \]
⇔ x – 1 = 0 hoặc x – 5 = 0
⇔ x = 1 hoặc x = 5
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 1;{x_2} = 5\]
b]
\[\eqalign{ & {\left[ {{1 \over 2} – x} \right]^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\left[ {{1 \over 2} – x} \right] + \sqrt 3 } \right]\left[ {\left[ {{1 \over 2} – x} \right] – \sqrt 3 } \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {{1 \over 2} + \sqrt 3 – x} \right]\left[ {{1 \over 2} – \sqrt 3 – x} \right] = 0 \cr} \]
⇔ \[{1 \over 2} + \sqrt 3 – x = 0\] hoặc \[{1 \over 2} – \sqrt 3 – x = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = {1 \over 2} + \sqrt 3 \] hoặc \[x = {1 \over 2} – \sqrt 3 \]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {1 \over 2} = \sqrt 3 ;{x_2} = {1 \over 2} – \sqrt 3 \]
c] \[{\left[ {2x – \sqrt 2 } \right]^2} – 8 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {2x – \sqrt 2 } \right]^2} – {\left[ {2\sqrt 2 } \right]^2} = 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow \left[ {\left[ {2x – \sqrt 2 } \right] + 2\sqrt 2 } \right]\left[ {\left[ {2x – \sqrt 2 } \right] – 2\sqrt 2 } \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {2x + \sqrt 2 } \right]\left[ {2x – 3\sqrt 2 } \right] = 0 \cr} \]
⇔ \[2x + \sqrt 2 = 0\] hoặc \[2x – 3\sqrt 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = – {{\sqrt 2 } \over 2}\] hoặc \[x = {{3\sqrt 2 } \over 2}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = – {{\sqrt 2 } \over 2};{x_2} = {{3\sqrt 2 } \over 2}\]
d] \[{\left[ {2,1x – 1,2} \right]^2} – 0,25 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {2,1x – 1,2} \right]^2} – {\left[ {0,5} \right]^2} = 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow \left[ {2,1x – 1,2 + 0,5} \right]\left[ {2,1x – 1,2 – 0,5} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {2,1x – 0,7} \right]\left[ {2,1x – 1,7} \right] = 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow 2,1x – 0,7 = 0\] hoặc \[2,1x – 1,7 = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\] hoặc \[x = {{17} \over {21}}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {1 \over 3};{x_2} = {{17} \over {21}}\]
Câu 18 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:
a] \[{x^2} – 6x + 5 = 0\]
b] \[{x^2} – 3x – 7 = 0\]
c] \[3{x^2} – 12x + 1 = 0\]
d] \[3{x^2} – 6x + 5 = 0\]
Giải
a] \[{x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2.3x + 9 = 4 \Leftrightarrow {\left[ {x – 3} \right]^2} = 4\]
\[ \Leftrightarrow \left| {x – 3} \right| = 2\] \[ \Leftrightarrow x – 3 = 2\] hoặc \[x – 3 = – 2\]⇔ x = 5 hoặc x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 5;{x_2} = 1\]
b]\[{x^2} – 3x – 7 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = 7 + {9 \over 4} \Leftrightarrow {\left[ {x – {3 \over 2}} \right]^2} = {{37} \over 4}\]
\[ \Leftrightarrow \left| {x – {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt {37} } \over 2} \Leftrightarrow x – {3 \over 2} = {{\sqrt {37} } \over 2}\] hoặc \[x – {3 \over 2} = – {{\sqrt {37} } \over 2}\]
\[ \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt {37} } \over 2}\] hoặc \[x = {{3 – \sqrt {37} } \over 2}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {{3 + \sqrt {37} } \over 2};{x_2} = {{3 – \sqrt {37} } \over 2}\]
c]
\[\eqalign{ & 3{x^2} – 12x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + {1 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} – 2.2x + 4 = 4 – {1 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x – 2} \right]^2} = {{11} \over 3} \Leftrightarrow \left| {x – 2} \right| = {{\sqrt {33} } \over 3} \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x – 2 = {{\sqrt {33} } \over 3}\] hoặc \[x – 2 = – {{\sqrt {33} } \over 3}\]
\[ \Leftrightarrow x = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3}\] hoặc \[x = 2 – {{\sqrt {33} } \over 3}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3};{x_2} = 2 – {{\sqrt {33} } \over 3}\]
d]
\[\eqalign{ & 3{x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + {5 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 1 – {5 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x – 1} \right]^2} = – {2 \over 3} \cr} \]
Vế trái \[{\left[ {x – 1} \right]^2} \ge 0\]; vế phải \[ – {2 \over 3} < 0\]
Vậy không có giá trị nào của x để \[{\left[ {x – 1} \right]^2} = – {2 \over 3}\]
Phương trình vô nghiệm.
Câu 19 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Nhận thấy rằng phương trình tích \[\left[ {x + 2} \right]\left[ {x – 3} \right] = 0,\] hay phương trình bậc hai \[{x^2} – x – 6 = 0,\] có hai nghiệm là \[{x_1} = – 2,{x_2} = 3\]. Tương tự, hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm của mỗi phương trình là một trong những cặp số sau:
a] \[{x_1} = 2,{x_2} = 5\]
b] \[{x_1} = – {1 \over 2},{x_2} = 3\]
c] \[{x_1} = 0,1;{x_2} = 0,2\]
d] \[{x_1} = 1 – \sqrt 2 ,{x_2} = 1 + \sqrt 2 \]
Giải
a] Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình:
\[\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 5} \right] = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0\]
b] Hai số \[ – {1 \over 2}\] và 3 là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{ & \left[ {x – \left[ { – {1 \over 2}} \right]} \right]\left[ {x – 3} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + {1 \over 2}} \right]\left[ {x – 3} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x – 3 = 0 \cr} \]
c] Hai số 0,1 và 0,2 là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{ & \left[ {x – 0,1} \right]\left[ {x – 0,2} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 0,3x + 0,02 = 0 \cr} \]
d] Hai số \[1 – \sqrt 2 \] và \[1 + \sqrt 2 \] là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{ & \left[ {x – \left[ {1 – \sqrt 2 } \right]} \right]\left[ {x – \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} – \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x – \left[ {1 – \sqrt 2 } \right]x + \left[ {1 – \sqrt 2 } \right]\left[ {1 + \sqrt 2 } \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 = 0 \cr} \]
Câu 3.1 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Đưa các phương trình sau về dạng \[a{x^2} + bx + c = 0\] và xác định các hệ số a, b, c:
a] \[4{x^2} + 2x = 5x – 7\]
b] \[5x – 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x – 4 + {x^2}\]
c] \[m{x^2} – 3x + 5 = {x^2} – mx\]
d] \[x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2\]
Giải
a] \[4{x^2} + 2x = 5x – 7 \Leftrightarrow 4{x^2} – 3x + 7 = 0\] có a = 4, b = -3, c = 7
b]
\[\eqalign{ & 5x – 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x – 4 + {x^2} \cr & \Leftrightarrow \left[ {\sqrt 5 – 1} \right]{x^2} + 2x + 1 = 0 \cr
& a = \sqrt 5 – 1;b = 2;c = 1 \cr} \]
c] \[m{x^2} – 3x + 5 = {x^2} – mx \Leftrightarrow \left[ {m – 1} \right]{x^2} – \left[ {3 – m} \right]x + 5 = 0\]
\[m – 1 \ne \] nó là phương trình bậc hai có a = m – 1; b = – [3 – m ]; c = 5
d]
\[\eqalign{ & x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {{m^2} – 1} \right]{x^2} + \left[ {1 – m} \right]x – 2 = 0 \cr} \]
\[{m^2} – 1 \ne 0\] nó là phương trình bậc hai có \[a = {m^2} – 1,b = 1 – m,c = – 2\]
Câu 3.2 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:
a] \[{x^2} – 3x + 1 = 0\]
b] \[{x^2} + \sqrt 2 x – 1 = 0\]
c] \[5{x^2} – 7x + 1 = 0\]
d] \[3{x^2} + 2\sqrt 3 x – 2 = 0\]
Giải
a] \[{x^2} – 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} – 1\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {x – {3 \over 2}} \right]^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow \left| {x – {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}\]
\[ \Leftrightarrow x – {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2}\] hoặc \[x – {3 \over 2} = – {{\sqrt 5 } \over 2}\]
\[ \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2}\] hoặc \[x = {{3 – \sqrt 5 } \over 2}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 – \sqrt 5 } \over 2}\]
b] \[{x^2} + \sqrt 2 x – 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left[ {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2} = 1 + {\left[ {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2} = {3 \over 2} \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}\]
\[ \Leftrightarrow x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2}\] hoặc \[x + {{\sqrt 2 } \over 2} = – {{\sqrt 6 } \over 2}\]
\[ \Leftrightarrow x = {{ – \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\] hoặc \[x = – {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {{ – \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2};{x_2} = – {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\]
c]
\[\eqalign{ & 5{x^2} – 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} – 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} – {1 \over 5} \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x – {7 \over {10}}} \right]^2} = {{29} \over {100}} \Leftrightarrow \left| {x – {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}} \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x – {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}}\] hoặc \[x – {7 \over {10}} = – {{\sqrt {29} } \over {10}}\]
\[ \Leftrightarrow x = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}}\] hoặc \[x = {{7 – \sqrt {29} } \over {10}}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};{x_2} = {{7 – \sqrt {29} } \over {10}}\]
d]
\[\eqalign{ & 3{x^2} + 2\sqrt 3 x – 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x – {2 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left[ {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = {2 \over 3} + {\left[ {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} \cr & \Leftrightarrow {\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1\] hoặc \[x + {{\sqrt 3 } \over 3} = – 1\]
\[ \Leftrightarrow x = 1 – {{\sqrt 3 } \over 3}\] hoặc \[x = – 1 – {{\sqrt 3 } \over 3}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 1 – {{\sqrt 3 } \over 3};{x_2} = – 1 – {{\sqrt 3 } \over 3}\]
Câu 3.3 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Tìm b, c để phương trình \[{x^2} + bx + c = 0\] có hai nghiệm là những số dưới đây:
a] \[{x_1} = – 1\] và \[{x_2} = 2\]
b] x1 = -5 và x2 = 0
c] \[{x_1} = 1 + \sqrt 2 \] và \[{x_2} = 1 – \sqrt 2 \]
d] x1 = 3 và \[{x_2} = – {1 \over 2}\]
Giải
a] Hai số -1 và 2 là ngiệm của phương trình:
\[\eqalign{ & \left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 2} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} – 2x + x – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \cr} \]
Hệ số: b = -1; c = -2.
b] Hai số – 5 và 0 là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{ & \left[ {x + 5} \right]\left[ {x + 0} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left[ {x + 5} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 5x = 0 \cr} \]
Hệ số: b = 5; c = 0
c] Hai số \[1 + \sqrt 2 \] và \[1 – \sqrt 2 \] là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{ & \left[ {x – \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]} \right]\left[ {x – \left[ {1 – \sqrt 2 } \right]} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} – \left[ {1 – \sqrt 2 } \right]x – \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]\left[ {1 – \sqrt 2 } \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 = 0 \cr} \]
Hệ số: b = -2; c = -1
d] Hai số 3 và \[ – {1 \over 2}\] là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{ & \left[ {x – 3} \right]\left[ {x + {1 \over 2}} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + {1 \over 2}x – 3x – {3 \over 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x – 3 = 0 \cr} \]
Hệ số: b = -5; c = -3
Câu 3.4 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Tìm a, b, c để phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có hai nghiệm là x1 = -2 và x2 = 3.
Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Giải
x = -2 là nghiệm của phương trình: \[a{x^2} + bx + c = 0\], ta có:
\[4a – 2b + c = 0\]
x = 3 là nghiệm của phương trình: \[a{x^2} + bx + c = 0\] ta có:
\[9a + 3b + c = 0\]
Ba số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {4a – 2b + c = 0} \cr {9a + 3b + c = 0} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {5a + 5b = 0} \cr {4a – 2b + c = 0} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = – a} \cr {4a – 2\left[ { – a} \right] + c = 0} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = – a} \cr
{c = – 6a} \cr} } \right. \cr} \]
Vậy với mọi a ≠ 0 ta có:
\[\left\{ {\matrix{ a \cr {b = – a} \cr
{c = – 6a} \cr} } \right.\]
thì phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có nghiệm x1 = -2; x2 = 3
Ví dụ: a = 2, b = -2, c = -12 ta có phương trình:
\[\eqalign{ & 2{x^2} – 2x – 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {x + 2} \right]\left[ {x – 3} \right] = 0 \cr} \]
Có nghiệm: \[{x_1} = – 2;{x_2} = 3\]
Có vô số bộ ba a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán.