1.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\,.\] Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
a. Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] không có điểm chung, tức là:
\[a \cap \left[ P \right] = \emptyset \,\, \Leftrightarrow \,\,a\parallel \left[ P \right].\]
b. Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] chỉ có một điểm chung, tức là:
\[a \cap \left[ P \right] = A\,\, \Leftrightarrow \,\,a\] cắt \[\left[ P \right]\] tại \[A\,.\]
c. Đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có hai điểm chung, tức là:
\[a \cap \left[ P \right] = \left\{ {A,\,\,B} \right\}\,\, \Leftrightarrow \,\,a \subset \left[ P \right]\,.\]
1.2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Định lí 1: Nếu đường thẳng \[a\] không nằm trong mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và song song với một đường thẳng nào đó trong \[\left[ P \right]\] thì \[a\] song song với \[\left[ P \right]\,.\]
Tức là, \[a \not\subset \left[ P \right]\] thì nếu:
\[a\parallel d \subset \left[ P \right] \Rightarrow a\parallel \left[ P \right].\]
1.3. Tính chất
Định lí 2: Nếu đường thẳng \[a\] song song với mặt phẳng \[\left[ P \right]\] thì mọi mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] chứa \[a\] mà cắt \[\left[ P \right]\] thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với \[a\,.\]
Tức là, nếu \[\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left[ P \right]\\a \subset \left[ Q \right]\,\,\,\,\left[ {\left[ Q \right] \cap \left[ P \right] = d} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \,\,a\parallel d.\]
Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến [nếu có] của chúng song song với đường thẳng đó.
Tức là: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ P \right] \cap \left[ Q \right] = d\\\left[ P \right]\parallel a\\\left[ Q \right]\parallel a\end{array} \right. \Rightarrow \,\,d\parallel a.\]
Hệ quả 3: Nếu \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng chéo nhau thì qua \[a\] có một và chỉ một mặt phẳng song song với \[b\,.\]
Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng \[d\] songsong với mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] ta chứng minh \[d\] song song với một đường thẳng \[d'\] nằm trong \[\left[ \alpha \right]\].
Ví dụ 1:
Cho hai hình bình hành \[ABCD\] và \[ABEF\] không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là \[O\] và \[O'\].
a] Chứng minh \[OO'\] song song với các mặt phẳng \[\left[ {ADF} \right]\] và \[\left[ {BCE} \right]\].
b] Gọi \[M,N\] lần lượt là hai điểm trên các cạnh \[AE,BD\] sao cho \[AM = \frac{1}{3}AE,BN = \frac{1}{3}BD\]. Chứng minh \[MN\] song song với \[\left[ {CDEF} \right]\].
Hướng dẫn:
a] Ta có \[OO'\] là đường trung bình của tam giác \[BDF\] ứng với cạnh \[DF\] nên \[OO'\parallel DF\], \[DF \subset \left[ {ADF} \right]\]
\[ \Rightarrow OO'\parallel \left[ {ADF} \right]\].
Tương tự, \[OO'\] là đường trung bình của tam giác \[ACE\] ứng với cạnh \[CE\] nên \[OO'\parallel CE\], \[CE \subset \left[ {CBE} \right] \Rightarrow OO'\parallel \left[ {BCE} \right]\].
b] Trong \[\left[ {ABCD} \right]\], gọi \[I = AN \cap CD\]
Do \[AB\parallel CD\] nên \[\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{1}{3}\].
Lại có \[\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AE}}\]\[ \Rightarrow MN\parallel IE\]. Mà \[I \in CD \Rightarrow IE \subset \left[ {CDEF} \right] \Rightarrow MN\parallel \left[ {CDEF} \right]\].
Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc \[\left[ \alpha \right]\] chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ \alpha \right]\parallel d\\d \subset \left[ \beta \right]\\M \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ \beta \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ \beta \right] = d'\parallel d,M \in d'\]
Ví dụ 2:
Cho hình chóp \[S.ABCD\], \[M\] và \[N\] là hai điểm thuộc cạnh \[AB\] và \[CD\], \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng qua \[MN\] và song song với \[SA\].
a] Xác định thiết diện của hình chóp \[S.ABCD\] khi cắt bởi\[\left[ \alpha \right]\].
b] Tìm điều kiện của \[MN\] để thiết diện là một hình thang.
Hướng dẫn:
a] Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}M \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAB} \right]\\\left[ \alpha \right]\parallel SA\\SA \subset \left[ {SAB} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ {SAB} \right] \cap \left[ \alpha \right] = MQ\parallel SA,Q \in SB\].
Trong \[\left[ {ABCD} \right]\] gọi \[I = AC \cap MN\]
\[\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left[ \alpha \right]\\I \in AC \subset \left[ {SAC} \right]\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAC} \right]\]
Vậy \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ \alpha \right]\\\left[ \alpha \right]\parallel SA\\SA \subset \left[ {SAC} \right]\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {SAC} \right] \cap \left[ \alpha \right] = IP\parallel SA,P \in SC\end{array}\]
Từ đó ta có \[\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SBC} \right] = PQ,\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAD} \right] = NP\].
Thiết diện là tứ giác \[MNPQ\].
b] Tứ giác \[MNPQ\] là một hình thang khi \[MN\parallel PQ\] hoặc \[MQ\parallel NP\].
Trường hợp 1:
Nếu \[MQ\parallel NP\] thì ta có \[\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP\]
Mà \[NP \subset \left[ {SCD} \right] \Rightarrow SA\parallel \left[ {SCD} \right]\] [vô lí].
Trường hợp 2:
Nếu \[MN\parallel PQ\]thì ta có các mặt phẳng \[\left[ {ABCD} \right],\left[ \alpha \right],\left[ {SBC} \right]\]đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là \[MN,BC,PQ\] nên \[MN\parallel BC\].
Đảo lại nếu \[MN\parallel BC\]thì \[\left\{ \begin{array}{l}MN \subset \left[ \alpha \right]\\BC \subset \left[ {SBC} \right]\\PQ = \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SBC} \right]\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow MN\parallel PQ\] nên tứ giác \[MNPQ\] là hình thang.
Vậy để tứ giác \[MNPQ\] là hình thang thì điều kiện là \[MN\parallel BC\].
Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11.
Đường thẳng và mặt phẳng song song Toán 11
- A. Lí thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
- I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
- II. Tính chất cần nhớ
- B. Giải Toán 11 Bài 3
- C. Giải Toán 11 bài 3 SBT
Lí thuyết và Bài tập đường thẳng và mặt phẳng song song được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và hướng dẫn giải cho từng bài tập sách giáo khoa và sách bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 11, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.
- Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Đại số 11
- Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Hình học 11
- Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm
- Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
A. Lí thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho mặt phẳng
Trường hợp 1: d và
- Ta nói d song song với hay song song với d
Trường hợp 2: d và có một điểm chung duy nhất
- Ta nói d và cắt nhau tại điểm G
Trường hợp 3: d và có nhiều hơn hai điểm chung
- Ta nói đường thẳng d nằm trong mặt phẳng hoặc chứa d
II. Tính chất cần nhớ
Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng và d song song với đường thẳng d’ nằm trong thì d song song với d’.
Định lí 2: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
B. Giải Toán 11 Bài 3
Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:
- Giải bài tập Toán 11 chương 2 bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
C. Giải Toán 11 bài 3 SBT
Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
- Giải SBT Toán 11 bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
------------------------------------
Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Toán 11 bài 3: Đường thẳng và mặt phảng song song. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Hóa học lớp 10, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Hóa học lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử, Thi THPT Quốc gia môn Địa lý, Thi THPT Quốc gia môn Toán, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.