I/ GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc giữa hai mặt phẳng.
Bạn đang xem: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng trong oxyz
Góc giữa hai mặt phẳng [P]: $Ax{\rm{ }} + {\rm{ }}By{\rm{ }} + {\rm{ }}Cz{\rm{ }} + {\rm{ }}D{\rm{ }} = {\rm{ }}0$, [Q]: $A’x{\rm{ }} + {\rm{ }}B’y{\rm{ }} + {\rm{ }}C’z{\rm{ }} + {\rm{ }}D"{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ được ký hiệu: ${0^o} \le [[P],[Q]] \le {90^o}$, xác định bởi hệ thức $\cos [[P],[Q]] = \dfrac{{\left| {AA’ + BB’ + CC’} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2}} }}.$Đặc biệt: $[P] \bot [Q] \Leftrightarrow AA’ + BB’ + CC’ = 0.$
2. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
a] Góc giữa hai đường thẳng [d] và [d’] có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = [a;b;c]$và $\overrightarrow {u’} = [a’;b’;c’]$là $\phi $$\cos \phi = \dfrac{{\left| {aa’ + bb’ + cc’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2} + c{‘^2}} }}$ $[{0^o} \le \phi \le {90^o}].$Đặc biệt: $[d] \bot [d’] \Leftrightarrow aa’ + bb’ + cc’ = 0.$b] Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = [a;b;c]$ và mp $[\alpha ]$có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = [A;B;C].$$\sin \phi \,\, = \,\,\left| {\cos [\overrightarrow n ,\,\,\overrightarrow u ]} \right| = \dfrac{{\left| {Aa + Bb + Cc} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ $[{0^o} \le \phi \le {90^o}].$Đặc biệt: $[d]//[\alpha ]$hoặc $[d] \subset [\alpha ]$ $ \Leftrightarrow Aa + Bb + Cc = 0.$
II. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
a] Khoảng cách từ $M[{x_0};y{}_0;{z_0}]$ đến mặt phẳng $[\alpha ]$có phương trình $Ax{\rm{ }} + {\rm{ }}by{\rm{ }} + {\rm{ }}Cz{\rm{ }} + {\rm{ }}D{\rm{ }} = {\rm{ }}0$là: $d[M,[P]] = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.$b] Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng – khoảng cách giữa hai đường thẳng.
a] Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng dqua điểm Mocó vectơ chỉ phương $\overrightarrow u $\[d[M,\,\,d]\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\left< {\overrightarrow {{M_0}M} ;\,\,\overrightarrow u } \right>} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}.\]b] Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.c] Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:dđi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u $và d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u’} $ là: $d[\,d,\,\,d’]\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\left< {\overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow {u’} } \right>.\overrightarrow {{M_0}M} } \right|}}{{\left| {\left< {\overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow {u’} } \right>} \right|}}.$d] Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng.
BÀI TẬP VẬN DỤNGCâu 1. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A[1;2;2] đến mặt phẳng [α]: \[x + 2y – 2z – 4 = 0\] bằng:A. 3.B. 1.C. \[\dfrac{{13}}{3}.\]D. \[\dfrac{1}{3}.\]
\[d[A,[\alpha ]] = \dfrac{{\left| {1.{x_A} + 2.{y_A} – 2.{z_A} – 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{[ – 2]}^2}} }} = 1.\]
Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [α]: 2x – y – 2z – 4 = 0 và β 2x – y – 2z + 2 = 0.A. 2.B. 6.C. \[\dfrac{{10}}{3}.\]D. \[\dfrac{4}{3}.\]
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.Ta lấy điểm H[2; 0; 0] thuộc [α]. Khi đó \[d\left[ {[\alpha ],[\beta ]} \right] = d\left[ {H,[\beta ]} \right] = \dfrac{{\left| {2.2 – 1.0 – 2.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{[ – 1]}^2} + {{[ – 2]}^2}} }} = 2\].
Câu 3. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng [α]: \[2x – y – 2z – 4 = 0\] và đường thẳng d: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 4t\\z = – t\end{array} \right.\] .A. \[\dfrac{1}{3}.\]B. \[\dfrac{4}{3}.\]C. 0.D. 2.
Đường thẳng d song song với mặt phẳng [α].Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng.Ta lấy điểm $H\left[ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}0} \right]$ thuộc đường thẳng d. Khi đó:$d[d,[\alpha ]] = d[H,[\alpha ]] = \dfrac{{\left| {2.1 – 1.2 – 2.0 – 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{[ – 1]}^2} + {{[ – 2]}^2}} }} = \dfrac{4}{3}.$
Câu 4. Khoảng cách từ điểm $A\left[ {2;\,\,4;\,\,3} \right]$ đến mặt phẳng [α]: 2x + y + 2z + 1 = 0 và β: x = 0 lần lượt là \[d[A,[\alpha ]]\], \[d[A,[\beta ]]\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:A. \[d\left[ {A,[\alpha ]} \right]\]\[ = 3\].\[d\left[ {A,[\beta ]} \right].\]B. \[d\left[ {A,[\alpha ]} \right]\]\[ > \]\[d\left[ {A,[\beta ]} \right].\]C. \[d\left[ {A,[\alpha ]} \right]\] = \[d\left[ {A,[\beta ]} \right].\]D. 2.\[d\left[ {A,[\alpha ]} \right]\] = \[d\left[ {A,[\beta ]} \right].\]
\[d\left[ {A,[\alpha ]} \right] = \dfrac{{\left| {2.{x_A} + {y_A} + 2.{z_A} + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 1\] ; \[d\left[ {A,[\beta ]} \right] = \dfrac{{\left| {{x_A}} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 2.\]Kết luận: \[d\left[ {A,[\beta ]} \right] = 2.d\left[ {A,[\alpha ]} \right]\].
Câu 5. Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [P]: \[2x – y + 3z – 4 = 0\] nhỏ nhất?A. \[M\left[ {0;2;0} \right].\]B. \[M\left[ {0;4;0} \right].\]C. \[M\left[ {0; – 4;0} \right].\]D. \[M\left[ {0;\dfrac{4}{3};0} \right]\].
Khoảng cách từ M đến [P] nhỏ nhất khi M thuộc [P]. Nên M là giao điểm của trục Oy với mặt phẳng [P]. Thay x = 0, z = 0 vào phương trình [P] ta được y = – 4. Vậy M[0;- 4;0].Cách giải khácTính khoảng cách từ điểm M trong các đáp án đến mặt phẳng [P] sau đó so sánh chọn đáp án.
Câu 6. Khoảng cách từ điểm \[M\left[ { – 4; – 5;6} \right]\] đến mặt phẳng [Oxy], [Oyz] lần lượt bằng:A. 6 và 4.B. 6 và 5.
Xem thêm: Cảm Nhận Về Bài Ca Dao Thân Em Như Trái Bần Trôi, Cảm Nghĩ Về Câu Ca Dao Thân Em Như Trái Bần Trôi
C. 5 và 4.D. 4 và 6.
\[d\left[ {M,\left[ {Oxy} \right]} \right] = \left| {{z_M}} \right| = 6\]; \[d[M,[Oyz]] = \left| {{x_M}} \right| = 4.\]
Câu 7. Khoảng cách từ điểm \[C\left[ { – 2;\,\,0;\,\,0} \right]\] đến mặt phẳng [Oxy] bằng:A. 0.B. 2.C. 1.D. \[\sqrt 2 .\]
Câu 8. Khoảng cách từ điểm H\[[1;0;3]\] đến đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\], \[t \in R\] và mặt phẳng [P]:\[z – 3 = 0\] lần lượt là \[d[H,{d_1}]\] và \[d[H,[P]]\]. Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau:A. \[d\left[ {H,{d_1}} \right] > d\left[ {H,[P]} \right].\]B. \[d\left[ {H,[P]} \right] > d\left[ {H,{d_1}} \right].\]C. \[d\left[ {H,{d_1}} \right] = 6.d\left[ {H,[P]} \right].\]D. \[d\left[ {H,[P]} \right] = 1\].
Ta có \[\cos [\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v ]\,\, = \,\,\dfrac{{\overrightarrow u .\,\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow v } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{ – 2.\sqrt 2 – 2.\sqrt 2 \,\, + 2.0}}{{\sqrt {{{[ – 2]}^2}\,\, + \,\,{{[ – 2]}^2}} .\sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2}\,\, + {{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2}\,\, + {2^2}} }}\,\, = \,\, – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\]\[ \Rightarrow \,\,[\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v ]\,\, = \,\,135^\circ \].
Gọi \[\overrightarrow {{u_1}} ;\,\,\overrightarrow {{u_2}} \] lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.\[\overrightarrow {{u_1}} \, = \,[1;\,\,1;\,\,0];\,\,\overrightarrow {{u_2}} \,\, = \,\,[ – \,1;\,\,0;\,\,1]\]Áp dụng công thức ta có \[cos\left[ {{d_1},{d_2}} \right]\,\, = \,\,\left| {\cos \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{\left| { – \,1} \right|}}{{\sqrt {1\,\, + \,\,1} .\sqrt {1\,\, + \,\,1} }}\,\, = \,\,\dfrac{1}{2}\].\[ \Rightarrow \left[ {{d_1},{d_2}} \right]\,\, = \,\,60^\circ \].
Gọi \[\overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow n \] lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng [P]. \[\overrightarrow u = \left[ {1;\,\, – 2;\,\,1} \right];\,\,\overrightarrow n \,\, = \,\,\left[ {5;\,\,11;\,\,2} \right]\]Áp dụng công thức ta có $\sin \left[ {\Delta ,[P]} \right] = \left| {cos\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right]} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.5 – 11.2 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{11}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{2}.$\[ \Rightarrow \,\,\left[ {\Delta ,\left[ P \right]} \right]\,\, = \,\,30^\circ .\]
Gọi \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \], \[\,\overrightarrow {{n_\beta }} \] lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [α] và β.Ta có \[\overrightarrow {{n_\alpha }} [2;\,\, – \,\,1;\,\,2];\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} [1;\,\,2;\,\, – \,2]\].Áp dụng công thức:\[cos[[\alpha ],\,[\beta ]]\,\, = \,\,\left| {cos[\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} ]} \right|\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\dfrac{{\left| {2.1 – 1.2 – 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + \,\,{{[ – 1]}^2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {[{1^2}\,\, + \,\,{2^2}\,\, + \,\,{{[ – 2]}^2}} }}\,\, = \,\,\dfrac{4}{9}.\]
Đường thẳng d có phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\, & 2t\\y\,\, = \,\,\dfrac{1}{2}\,\, + \,\,t\\z\,\, = \,\, – \dfrac{3}{2}\,\, + \,\,t\end{array} \right.,\,\,t\,\, \in \,\,R\] . Suy ra VTCP của d là \[\overrightarrow {{u_d}} [2;\,\,1;\,\,1]\]Ta có $\sin \left[ {d,[P]} \right] = \,\,\left| {cos\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow n } \right]} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {2.3\,\, + \,\,1.4\,\, + \,\,1.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2}\,\, + \,\,{1^2}\,\, + \,\,{1^2}} .\sqrt {{3^2}\,\, + \,\,{4^2}\,\, + \,\,{5^2}} }}\,\, = \,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.\[ \Rightarrow \,\,[d,[P]]\,\, = \,\,60^\circ \].
Gọi \[\overrightarrow {{n_\beta }} \left[ {a;\,\,b;\,\,c} \right]\] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng β cần lập. \[cos\left[ {[\alpha ],\,[\beta ]} \right]\,\, = \,\,\left| {cos\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right]} \right|\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\dfrac{{\left| {3.a – 2.b\,\, + \,\,2.c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + \,\,{{[ – 2]}^2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {{a^2}\,\, + \,\,{b^2}\,\, + \,\,{c^2}} }}\,\, = \,\,\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Rightarrow \,\,2{[3a\,\, – \,\,2b\,\, + \,\,2c]^2}\,\, = \,\,17[{a^2}\,\, + \,\,{b^2}\,\, + \,\,{c^2}]\]Phương trình trên có vô số nghiệm.Suy ra có vô số vectơ \[\overrightarrow {{n_\beta }} [a;\,\,b;\,\,c]\] là véc tơ pháp tuyến của β. Suy ra có vô số mặt phẳng βthỏa mãn điều kiện bài toánDựng hình.Giả sử tồn tại mặt phẳng β thỏa mãn điều kiện bài toán. [Đi qua A và tạo với mặt phẳng [α] một góc \[45^\circ \]]. Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng [α]. Sử dụng phép quay theo trục \[\Delta \] với mặt phẳng β. Ta được vô số mặt phẳng \[[\beta ‘]\] thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 16. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc \[60^\circ \]A. \[[P]:\,\,2x\,\, + \,\,11y\,\, – \,\,5z\,\, + \,\,3 = \,\,0\] và \[[Q]:\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, – \,\,z\,\, – \,\,2 = \,\,0\].B. \[[P]:\,\,2x\,\, + \,\,11y\,\, – \,\,5z\,\, + \,\,3 = \,\,0\] và \[[Q]:\,\, – x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, – \,\,5 = \,\,0\].C. \[[P]:\,\,2x\,\, – \,\,11y\,\, + \,\,5z\,\, – \,\,21 = \,\,0\] và \[[Q]:\,\,2x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, – \,\,2 = \,\,0\].D. \[[P]:\,\,2x\,\, – \,\,5y\,\, + \,\,11z\,\, – \,\,6 = \,\,0\] và \[[Q]:\,\, – x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, – \,\,5 = \,\,0\].
Câu 17. Cho vectơ \[\overrightarrow u [1;\,\,1;\,\, – \,2],\,\,\overrightarrow v [1;\,\,0;\,\,m]\]. Tìm m để góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \] có số đo bằng \[45^\circ \].Một học sinh giải như sau:Bước 1: Tính \[\cos \left[ {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right]\,\, = \,\,\dfrac{{1\,\, – \,\,2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2}\,\, + \,\,1} }}\]Bước 2: Góc giữa \[\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \] có số đo bằng \[45^\circ \] nên \[\dfrac{{1\,\, – \,\,2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2}\,\, + \,\,1} }}\, = \,\,\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\]\[ \Leftrightarrow \,\,1\,\, – \,\,2m\,\, = \,\,\sqrt {3[{m^2}\,\, + \,\,1]} \] [*]Bước 3: Phương trình \[[*]\,\, \Leftrightarrow \,\,{[1\,\, – \,\,2m]^2}\,\, = \,\,3[{m^2}\,\, + \,\,1]\]\[ \Leftrightarrow \,\,{m^2}\,\, – \,\,4m\,\, – \,\,2\,\, = \,\,0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left< \begin{array}{l}m\,\, = \,\,2\,\, – \,\,\sqrt 6 \\m\,\, = \,\,2\,\, + \,\,\sqrt 6 .\end{array} \right.\]Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?A. Sai ở bước 3.B. Sai ở bước 2.C. Sai ở bước 1.D. Đúng.
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A[2; 1; – 1] tạo với trục Oz một góc \[30^\circ \]?A. \[\sqrt 2 [x\,\, – 2]\,\, + \,\,[y\,\, – \,\,1]\,\, – \,\,[z\,\, – \,\,2]\,\, – 3\,\, = \,\,0.\]B. \[[x\,\, – 2]\,\, + \,\,\sqrt 2 [y\,\, – \,\,1]\,\, – \,\,[z\,\, + \,\,1]\,\, – 2\,\, = \,\,0.\]C. \[2[x\,\, – 2]\,\, + \,\,[y\,\, – \,\,1]\,\, – \,\,[z\,\, – \,\,2]\,\, = \,\,0.\]D. \[2[x\,\, – 2]\,\, + \,\,[y\,\, – \,\,1]\,\, – \,\,[z\,\, – \,\,1]\,\, – \,\,2\,\, = \,\,0.\]
Gọi phương trình mặt phẳng [α] cần lập có dạng \[A[x\,\, – \,\,2]\,\, + \,\,B[y\,\, – \,\,1]\,\, + \,\,C[z\,\, + \,\,1]\,\,\, = \,\,0;\,\,\overrightarrow n \,[A;\,\,B;\,\,C]\]Oz có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow k [0;\,\,0;\,\,1]\].Áp dụng công thức \[\sin [[\alpha ],\,\,Oz]\,\, = \,\,\dfrac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|}}{{\overrightarrow {\left| n \right|} .\overrightarrow {\left| k \right|} }}\,\, = \,\,\sin 30^\circ \]Sau khi tìm được các vectơ pháp tuyến thỏa mãn, thay giá trị của A vào để viết phương trình mặt phẳng.
Chuyên mục: Tổng hợp