Đạo hàm của hàm số \[y=f[x]\] tại \[x_0\] được định nghĩa là \[y'[x_0]=\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0}\dfrac{f[x]-f[x_0]}{x-x_0}\]. Ta có \[\dfrac{f[x]-f[x_0]}{x-x_0}\] là hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm \[M_0\big[x_0;f[x_0]\big]\] và \[M\big[x;f[x]\big]\]. Do đó \[y'[x_0]\] chính là giới hạn của hệ số góc đó khi \[M\] dần về \[M_0\] dọc theo đường cong. Vậy \[y'[x_0]\] là hệ số góc của tiếp tuyến tại \[M_0\].
\[k=f'[x_0]\]
Trong bài này, chúng ta sẽ hiểu chi tiết khái niệm đạo hàm có hướng. Chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa, công thức, gradient và các thuộc tính của nó. Chúng ta sẽ đi trước và tìm hiểu về khái niệm đạo hàm thông thường. Chúng ta cũng sẽ thảo luận về một vài ví dụ đã giải về tính đạo hàm có hướng.
Định nghĩa Đạo hàm Hướng
Đối với một hàm vô hướng f [x] = f [x 1 , x 2 ,…, x n ], đạo hàm có hướng được xác định là một hàm ở dạng sau;
▽ u f = lim h → 0 [f [x + hv] -f [x]] / h
Trong đó v là vectơ mà đạo hàm có hướng của f [x] được xác định. Đôi khi, v bị giới hạn trong một vectơ đơn vị , nhưng nếu không, định nghĩa cũng được giữ nguyên.
Vectơ v được cho bởi;
v = [v 1 , v 2 , v 3 ,…, v n ]
Ngoài ra, hãy đọc:
|
Các thuộc tính của Đạo hàm hướng
Các tính chất cơ bản liên quan đến đạo hàm có hướng được thảo luận dưới đây. Giả sử hai hàm f và g bất kỳ được xác định trong vùng lân cận của điểm ‘a’ và khả vi tại ‘a’.
-
- Quy tắc cho hệ số không đổi
Gọi k là hằng số, thì;
▽ v [kf] = k ▽ v f
Tổng là phân phối.
▽ v [f + g] = ▽ v f + ▽ v g
Đây còn được gọi là quy tắc của Leibniz .
▽ v [fg] = g ▽ v f + f ▽ v g
Nó áp dụng khi f khả vi tại ‘a’ và g phân biệt được tại f [a]. Trong trường hợp này,
▽ v [sương mù] [a] = f ′ [g [a]] ▽ v g [a]
Công thức
Đạo hàm có hướng được xác định là n. ▽ f. Ở đây, n được coi là một vector đơn vị. Đạo hàm có hướng được định nghĩa là tốc độ thay đổi dọc theo đường đi của vectơ đơn vị là u = [a, b]. Đạo hàm có hướng được ký hiệu là Du f [x, y] có thể được viết như sau:
| D u f [x, y] = lim h → 0 [f [x + ah, y + bh] -f [x, y]] / h |
Vấn đề ví dụ
Q.1: Tìm đạo hàm có hướng của hàm số f [x, y] = xyz theo hướng 3i – 4k. Nó có các điểm là [1, -1,1].
Lời giải: Cho hàm số là f [x, y] = xyz
Trường vectơ là 3i – 4k. Nó có độ lớn là √ [[3 2 ] + [- 4 2 ] = √25 = √5
Vectơ đơn vị n theo hướng 3i – 4k do đó n = 1/5 [3i – 4k]
Bây giờ, chúng ta phải tìm gradient ▽ f để tìm đạo hàm có hướng.
Do đó, ▽ f = yzi + xzj + xyk
Bây giờ, đạo hàm có hướng là;
n. ▽ f = 1/5 [3i − 4k]. [yzi + xzj + xyk]
= 1/5 [3 × yz + 0 – 4 × xy]
Đạo hàm có hướng tại điểm [1, -1,1] là;
n. ▽ f = 1/5 [3 × [−1] × [1] −4 × 1 × [−1]]
n. ▽ f = ⅕
Gradient phái sinh hướng
Vì chúng ta biết rằng gradient được xác định cho hàm f [x, y] là;
▽ f = ▽ f [x, y] = ∂f / ∂xi + ∂f / ∂yj
Điều này có thể được tính bằng cách gán toán tử vectơ r cho f [x, y] là một hàm vô hướng. Trường vectơ đó được gọi là trường vectơ gradient.
Nếu ta có một hàm f [x, y, z] và u [u1, u2, u3] là vectơ đơn vị thì;
D u f = ▽ fu = ∂f / ∂xu 1 + ∂f / ∂yu 2 + ∂f / ∂zu 3
Rõ ràng rằng, nếu chúng ta lấy một tích số chấm của gradient và vectơ đơn vị đã cho, thì chúng ta sẽ nhận được đạo hàm có hướng của hàm số.
Ví dụ: Tìm gradient của hàm f [x, y] = x + y.
Lời giải: Cho hàm số là f [x, y] = x + y
▽ f = ▽ f [x, y] = [∂f / ∂x] i + [∂f / ∂y] j
▽ f = [∂ [x + y] / ∂x] i + [∂ [x + y] / ∂y] j
▽ f = [1 + 0] i + [0 + 1] j
▽ f = i + j
Do đó, gradient của hàm f [x, y] = x + y là i + j.
Xem thêm:
A. Lí thuyết cơ bản
1. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số xác định trên và .
Nếu tồn tại giới hạn [hữu hạn] thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại được kí hiệu là y'[x0] hoặc f'[x0], tức là .
Chú ý:
-
- Số gia đối số là:
-
- Số gia tương ứng của hàm số là: , khi đó .
2. Đạo hàm một bên
-
Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm , kí hiệu là được định nghĩa là:
trong đó được hiểu là và .
-
Đạo hàm bên phải của hàm số y = f[x] tại điểm , kí hiệu là
được định nghĩa là:
trong đó
Nhận xét: Hàm có đạo hàm tại và đồng thời .
3. Đạo hàm trên một khoảng
Hàm số có đạo hàm [hay hàm khả vi] trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc .
Hàm số có đạo hàm [hay hàm khả vi] trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc đồng thời tồn tại đạo hàm trái và đạo hàm phải .
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lí: Nếu hàm số có đạo hàm tại thì liên tục tại .
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm nhưng hàm đó không có đạo hàm tại .
Chẳng hạn: Xét hàm liên tục tại nhưng không liên tục tại điểm đó.
Vì , còn.
5. Ý nghĩa của đạo hàm
- a] Ý nghĩa hình học:
-
Tiếp tuyến của đường cong phẳng:
Cho đường cong phẳng và một điểm cố định trên , M là điểm di động trên . Khi đó là một cát tuyến của .
Định nghĩa:
Nếu cát tuyến có vị trí giới hạn khi điểm di chuyển trên và dần tới điểm thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm . Điểm được gọi là tiếp điểm.
-
Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Cho hàm số xác định trên khoảng và có đạo hàm tại, gọi là đồ thị hàm số đó.
Định lí 1: Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm
-
Phương trình của tiếp tuyến:
Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm là:
b] Ý nghĩa vật lí:
Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:, với là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm là đạo hàm của hàm số tại .
Cường độ tức thời: Điện lượng truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:, với là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số tại .
B. Bài tập
Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
A. Phương pháp
Hàm số có đạo hàm tại điểm
Hàm số có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
1. tại 2. tại
3. tại
Lời giải:
1. Ta có .
2. Ta có :
.
3. Ta có, do đó:
Vậy.
Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng hàm số liên tục tại nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
Lời giải:
Vì hàm xác định tại nên nó liên tục tại đó.
Ta có:
không có đạo hàm tại .
Ví dụ 1.3: Tìm để hàm số có đạo hàm tại
Lời giải:
Để hàm số có đạo hàm tại thì trước hết phải liên tục tại
Hay .
Khi đó, ta có:.
Vậy là giá trị cần tìm.
Dạng 2.Tiếp tuyến
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
A. Phương pháp
Phương trình tiếp tuyến của đường cong [C]: tại tiếp điểm M có dạng:
Áp dụng trong các trường hợp sau:
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1: Cho hàm số có đồ thị là [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] :
1. Tại điểm ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;
3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ; 4. Tại giao điểm [C] với trục tung ;
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định .
Ta có:
1. Phương trình tiếp tuyến tại có phương trình :
Ta có: , khi đó phương trình là:
2. Thay vào đồ thị của [C] ta được .
Tương tự câu 1, phương trình là:
3. Thay vào đồ thị của [C] ta được hoặc .
Tương tự câu 1, phương trình là: ,
4. Trục tung Oy : .Tương tự câu 1, phương trình là:
|
Ví dụ 1.2: Cho hàm số [1], m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số [1] tại điểm có hoành độ đi qua điểm . |
Lời giải:
Tập xác định
Với
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
Ta có
|
Ví dụ 1.3: Cho hàm số [1]. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số [1] tại điểm . |
Lời giải:
Tập xác định . Có .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm :
Gọi A là giao điểm của d và trục hoành , vậy
Gọi B là giao điểm của d và trục tung , vậy
Ta có tam giác OAB vuông tại O nên .
Nhận xét:
Viết PTTT Δ của , biết Δ cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước
-
+ Gọi là tiếp điểm và tính hệ số góc theo .
-
+ vuông cân tạo với một góc và [i]
[ii]
-
+ Giải [i] hoặc [ii] phương trình tiếp tuyến Δ.
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc
A. Phương pháp
Viết PTTT Δ của , biết Δ có hệ số góc k cho trước
– Gọi là tiếp điểm. Tính
– Do phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k [i]
– Giải [i] tìm được
Lưu ý: Hệ số góc của tiếp tuyến Δ thường cho gián tiếp như sau:
– Phương trình tiếp tuyến
– Phương trình tiếp tuyến
– Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với trục hoành góc
– Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với góc .
B. Bài tập ví dụ
|
Ví dụ 1: Cho đường cong . a]. Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng b]. Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng c]. Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng: một góc 30°. |
Lời giải:
Tập xác định . Ta có:
a]. Có
Vì tiếp tuyến song song với d nên
Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:
[loại, vì trùng với d]
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:
.
b].
Vì tiếp tuyến vuông góc với Δ nên
Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
.
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là
.
c].
Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 30°, nên có
|
Ví dụ 2: Gọi là đồ thị của hàm số [*] [m là tham số]. Gọi M là điểm thuộc có hoành độ bằng . Tìm m để tiếp tuyến của tại điểm Msong song với đường thẳng . |
Lời giải:
Tập xác định . Ta có
Điểm thuộc có hoành độ là
Phương trình tiếp tuyến của tại M là:
Để Δ song song với khi và chỉ khi:
Kết luận .
|
Ví dụ 3: Cho hàm số . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. |
Lời giải:
Ta có
Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy
Ta có
Vậy tại
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm:
|
Ví dụ 4: Cho hàm số [1]. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [1], biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. |
Lời giải:
Tập xác định . Ta có
Vì tiếp tuyến [d] cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng [d] hợp với trục Ox một góc 45°.
Vậy có
Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
Với [phương trình vô nghiệm]
Với
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này . Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác.
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này
Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
A. Phương pháp
Viết PTTT Δ của , biết Δ đi qua [kẻ từ] điểm
– Gọi là tiếp điểm. Tính và theo .
– Phương trình tiếp tuyến Δ tại là
– Do [i]
– Giải phương trình [i] và phương trình Δ.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đi qua điểm
Lời giải:
Gọi là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A
Vì điểm , và
Phương trình d:
Vì nên
Với , phương trình tiếp tuyến
Với , phương trình tiếp tuyến
|
Ví dụ 2: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua của đồ thị . |
Lời giải:
Tập xác định . Ta có
Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị hàm số nên và . Phương trình tiếp tuyến :
Ta có
Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là và