Bài 5 phương trình chứa ẩn ở mẫu
|
§5. Phương trình chứa ổn ở mẫu Giá trị tìm được của ẩn có là nghiệm của phương trình đã cho hay không ? k y Ớ những bài trước chúng ta mói chỉ xét các phương trình mà hai vế của nó đều là các biểu thức hữu tỉ của ẩn và không chứa ẩn ở mẫu. Trong bài này, ta sẽ nghiên cứu cách giải các phương trình có biểu thức chứa ẩn ở mẫu. Ví dụ mở đầu Ta thử giải phương trình X + —ỉ— = 1 + —- - bằng phương pháp quen X - 1 X - 1 thuộc như sau : Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế: Thu gọn vế trái, ta tìm được X = 1. Giá trị X- 1 có phải là nghiệm của phương trình hay không ? Vì sao ? Ví dụ này cho thấy : Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể không tương đương với phương trình ban đầu. Bởi vậy, khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta phải chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình. Tìm điểu kiện xác định của một phương trình Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, các giá trị của ẩn mà tại đó ít nhất một mẫu thức trong phương trình nhận giá trị bằng 0, chắc chắn không thể là nghiệm của phương trình. Để ghi nhớ điều đó, người tạ thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0 và gọi đó là điêu kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình. Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau : ' 2x + 1 - 1 . a) = 1 ; X - 2 Giải :■ b) — = 1 + 1 x + 2 2x + 1 = 1 là X 2. Vì X - 2 = 0 X = 2 nên ĐKXĐ của phương trình X — Z. Ta thấy X - 1 0 khi x?tlvàx + 2:/:0 khi X - 2. Vậy ĐKXĐ của phương trình là X * 1 và X * - 2. X - 1 X + 2 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau : a) x-ỉ X+1 3. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu X + 2 Ví dụ 2. Giải phương trình Phương pháp giải: b) 2x-l x-2 x-2 2x + 3 X 2(x - 2) ĐKXĐ của phương trình là X * 0 và X 7^ 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình : 2(x + 2)(x - 2) _ x(2x + 3) 2x(x - 2) 2x(x - 2) Từ đó suy ra 2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3). Như vậy, ta đã khử mẫu trong phương trình (1). Giải phương trình (la): (la) « 2(x2 - 4) = x(2x + 3) 2x2 - 8 = 2x2 + 3x 3x = -8 8 X = 3 —X. (1) (la) - Do việc khử mẫu, phương trình (la) có thể không tương đương với phương g trình (1) đã cho. Vì thế, cần thử lại xem giá trị X = -ị có đúng là nghiệm của phương trình (1) hay không. Muốn vậy, ta chỉ cần kiểm tra xem nó có thoả mãn ĐKXĐ hay không. 8 (--1 t 3Ỉ’ Ta thấy X - -•|thoả'mãn ĐKXĐ nên nó là nghiệm của (1). Vậy tập nghiệm của phương trình (1) làS = Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thod mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. Áp dụng (2) (2a) Ví dụ 3. Giải phươn’g trình ————— + x = —- —• 2(x - 3) 2x + 2 (x + l)(x - 3) Giải: ĐKXĐ : X * -1 và X * 3. Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu : x(x + 1) + x(x - 3) _ 4x 2(x + l)(x - 3) - 2(x + l)(x - 3) 1 Suy ra x(x + 1) + x(x - 3) = 4x. Giải phương trình (2a): (2a) X2 + X + X2 - 3x - 4x = 0 2x2 - 6x = 0 2x(x - 3) = 0 2x = 0 hoặc X — 3 = 0. X = 0 (thoả mãn ĐKXĐ); x-3 = 0x = 3 (loại vì không thoả mãn ĐKXĐ). - Kết luận : Tập nghiệm của phương trình (2) là s = {0}. Giải các phương trình trong BÀI TẬP 27. Giải các phương trình : X2 - 6 b) = X + a) (x2 + 2x) - (3x + 6) = 0 X - 3 28. Giải các phương trình : í d) 3x + 2 = 2x - 1. 2x - 1 a) ——- + 1 X —1 X -1 b) 5x 2x + 2 .. . 1- „2 , 1 c) X + —■ - X • + —- ; X X2 X + 3 X - 2 d) —-A + -—- = 2. X + 1 X 2x -5 LUYỆN TẬP X2 - 5x 29. Bạn Sơn giải phương trình - =— = 5(1) như sau : X - 5 (1) X2 - 5x = 5(x - 5) X2 — 5x = 5x — 25 X2 - lOx + 25 = 0 (x - 5)2 = 0 X = 5. Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức X - 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau : /1Ấ _x(x - 5) (1) o . g = 5 X = 5. X - 5 30. Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên. Giải các phương trình : a) c) 1 +3=x“3 X - 2 2 - X X + 1 X - 1 4 ,. „ 2x2 4x 2 b) 2x - ——- = ——- + ; X + 3 X + 3 7 X - 1 X + 1 31. Giải các phương trình : x2-l d) 3x - 2 6x + 1 X + 7 2x - 3 a) 3x" 2x X3 - 1 X2 + X.+ 1 b) 1 + (X - l)(x - 2) + (X - 3)(x - 1) ' (X - 2)(x - 3) ; 1 12 x + 2 8 + x3 d) — — + — — — - —— — • (x - 3)(2x + 7) 2x + 7 (x - 3)(x + 3) 32. Giải các phương trình : 13 1 6 + a) - + 2 = - + 2 (x^ +1) ; b) X +, 1 + = I X-1--- Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2 : . 3a - 1 a - 3 a) T-—- + -—„ 3a + 1 a + 3 b) 10 3a - 1 7a + 2 4a + 12 6a + 18
Sách giải toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu – Luyện tập (trang 22-23) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Lời giải Giá trị x = 1 không phải là nghiệm của phương trình. Vì tại x = 1 thì  Lời giải a) Phương trình
Vậy ĐKXĐ của phương trình là x ≠ ±1. b) x – 2 ≠ 0 khi x ≠ 2 Vậy ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 2. Lời giải Suy ra x(x + 1) = (x – 1)(x + 4) Ta có: x(x + 1) = (x – 1)(x + 4) ⇔ x2 + x = x2 + 4x – x – 4 ⇔ x = 3x – 4 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {2} Suy ra 3 = 2x – 1 – x(x – 2) ⇔ 3 = 2x – 1-(x2 – 2x) ⇔ 3 = 2x – 1 – x2 + 2x ⇔ 3 = – 1 – x2 ⇔ x2 = -4(vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = ∅ Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Lời giải: a) Điều kiện xác định: x ≠ -5. 2x – 5 = 3(x + 5) ⇔ 2x – 5 = 3x + 15 ⇔ -5 – 15 = 3x – 2x ⇔ x = -20 (thỏa mãn điều kiện xác định). Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20}. b) Điều kiện xác định: x ≠ 0. 2(x2 – 6) = 2x2 + 3x ⇔ 2x2 – 12 – 2x2 – 3x = 0 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4 (Thỏa mãn đkxđ). Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4}. c) Điều kiện xác định: x ≠ 3.
⇔ x2 + 2x – (3x + 6) = 0 ⇔ x(x + 2) – 3(x + 2) = 0 ⇔ (x – 3)(x + 2) = 0 ⇔ x – 3 = 0 hoặc x + 2 = 0 + x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (Không thỏa mãn đkxđ) + x + 2 = 0 ⇔ x = -2 (Thỏa mãn đkxđ). Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}. d) Điều kiện xác định: x ≠ -2/3. ⇔ 5 = (2x – 1)(3x + 2) ⇔ 2x.3x – 3x.1 + 2x.2 – 2.1 = 5 ⇔ 6x2 – 3x + 4x – 2 = 5 ⇔ 6x2 + x – 7 = 0. ⇔ 6x2 – 6x + 7x – 7 = 0 (Tách để phân tích vế trái thành nhân tử) ⇔ 6x(x – 1) + 7(x – 1) = 0 ⇔ (6x + 7)(x – 1) = 0 ⇔ 6x + 7 = 0 hoặc x – 1 = 0 + 6x + 7 = 0 ⇔ 6x = – 7 ⇔ x = -7/6 (thỏa mãn đkxđ) + x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ). Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Lời giải: a) Điều kiện xác định: x ≠ 1. ⇔ 2x – 1 + x – 1 = 1 ⇔ 3x – 2 = 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 (không thỏa mãn điều kiện xác định). Vậy phương trình vô nghiệm. b) Điều kiện xác định: x ≠ -1. ⇔ 5x + 2x + 2 = -12 ⇔ 7x + 2 = -12 ⇔ 7x = -14 ⇔ x = -2 (thỏa mãn đkxđ) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2} c) Điều kiện xác định: x ≠ 0.
⇔ x3 + x = x4 + 1 ⇔ x4 + 1 – x – x3 = 0 ⇔ (x4 – x3) + (1 – x) = 0 ⇔ x3(x – 1) – (x – 1) = 0 ⇔ (x3 – 1)(x – 1) = 0 ⇔ (x – 1)(x2 + x + 1)(x – 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 (vì x2 + x + 1 = (x + ½)2 + ¾ > 0 với mọi x). ⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ). Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}. d) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ -1. ⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) = 2.x(x + 1) ⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) – 2x(x + 1) = 0 ⇔ x2 + 3x + x2 + x – 2x – 2 – (2x2 + 2x) = 0 ⇔ x2 + x2 – 2x2 + 3x + x – 2x – 2x – 2 = 0 ⇔ 0x – 2 = 0 Phương trình vô nghiệm. Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Luyện tập (trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2) Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x – 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau: Lời giải: Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Luyện tập (trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2) Lời giải: a) Điều kiện xác định: x ≠ 2. ⇔ 1 + 3(x – 2) = -(x – 3) ⇔ 1 + 3x – 6 = -x + 3 ⇔ 3x + x = 3 + 6 – 1 ⇔ 4x = 8 ⇔ x = 2 (không thỏa mãn đkxđ). Vậy phương trình vô nghiệm. b) Điều kiện xác định: x ≠ -3. ⇔ 14x(x + 3) – 14x2 = 28x + 2(x + 3) ⇔ 14x2 + 42x – 14x2 = 28x + 2x + 6 ⇔ 42x – 28x – 2x = 6 ⇔ 12x = 6 ⇔ x = 1/2. Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1/2}. Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Luyện tập (trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2) Lời giải: a) + Tìm điều kiện xác định : x2 + x + 1 = (x2 + x + ¼) + ¾ = (x + ½)2 + ¾ > 0 với mọi x ∈ R. Do đó x2 + x + 1 ≠ 0 với mọi x ∈ R. x3 – 1 ≠ 0 ⇔ (x – 1)(x2 + x + 1) ≠ 0 ⇔ x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1. Vậy điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 1. + Giải phương trình: ⇔ x2 + x + 1 – 3x2 = 2x(x – 1) ⇔ -2x2 + x + 1 = 2x2 – 2x ⇔ 4x2 – 3x – 1 = 0 ⇔ 4x2 – 4x + x – 1 = 0 ⇔ 4x(x – 1) + x – 1 = 0 ⇔ (4x + 1)(x – 1) = 0 ⇔ 4x + 1 = 0 hoặc x – 1 = 0 4x + 1 = 0 ⇔ 4x = -1 ⇔ x = -1/4 (thỏa mãn đkxđ) x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (không thỏa mãn đkxđ). Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}. b) Điều kiện xác định: x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 3. ⇔ 3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 ⇔ 3x – 9 + 2x – 4 = x – 1 ⇔ 3x + 2x – x = 9 + 4 – 1 ⇔ 4x = 12 ⇔ x = 3 (không thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình vô nghiệm. c) Điều kiện xác định: x ≠ -2. ⇔ x3 + x2 + 2x + 12 = 12 ⇔ x3 + x2 + 2x = 0 ⇔ x(x2 + x + 2) = 0 ⇔ x = 0 (vì x2 + x + 2 > 0 với mọi x) (thỏa mãn đkxđ). Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0}. d) Điều kiện xác định: x ≠ ±3; x ≠ -7/2. ⇔ 13(x + 3) + (x – 3)(x + 3) = 6(2x + 7) ⇔ 13x + 39 + x2 – 9 = 12x + 42 ⇔ x2 + x – 12 = 0 ⇔ x2 +4x – 3x – 12 = 0 ⇔ x(x + 4) – 3(x + 4) = 0 ⇔ (x – 3)(x + 4) = 0 ⇔ x – 3 = 0 hoặc x + 4 = 0 x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (không thỏa mãn đkxđ) x + 4 = 0 ⇔ x = -4 (thỏa mãn đkxđ). Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4}. Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Luyện tập (trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2) Lời giải: Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Luyện tập (trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2) Lời giải: Biểu thức có giá trị bằng 2 thì: |
