Cách giải bài toán tìm gtln gtnn chứa căn năm 2024

1,$f\left( x \right)\ge {{A}^{2}}+m\ge m$ $\Rightarrow f\left( x \right)\ge m$ $\Rightarrow m=GTNN\,cua\,f\left( x \right)$

2,$f\left( x \right)=-{{A}^{2}}+m\le m$ $\Rightarrow f\left( x \right)\le m$$\Rightarrow m=GTLN\,cua\,f\left( x \right)$

3, $f\left( x \right)=A+\frac{m}{B}$ cần lưu ý đánh giá B

4,${{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}{2}}+2ab+{{b}^{2}}$

${{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{{2}}={{\left( \sqrt{x} \right)}}{2}}+2\sqrt{x}+1$

${{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}{2}}-2ab-{{b}^{2}}$

II, BÀI TẬP

VD: Tìm GTLN và GTNN của:

Giải

$P={{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-\sqrt{x}+1$

$=\left( {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right)+\frac{3}{4}$

$={{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$

Do ${{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ nên $P\ge \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Vây GTLN của $P=\frac{3}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$

VD: $Q=x+\sqrt{x}+1\left( x\ge 0 \right)$

$Q={{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$

$={{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$

Với $x\ge 0\Rightarrow {{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge \frac{1}{4}$

Vậy $Q\ge \frac{1}{4}+\frac{3}{4}$ => $Q\ge 1$

Dấu “=” xảy ra khi x=0

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q=1 khi x=0

VD: tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của $P=-x+\sqrt{x}$ với $x\ge 0$

$P=-x+\sqrt{x}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$

$=-\left( {{\left( \sqrt{x} \right)}^{{2}}-\sqrt{x}+\frac{1}{4} \right)+\frac{1}{4}$ $=-{{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}}{2}}+\frac{1}{4}$

Do ${{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\forall x\in \text{D}$

$\Rightarrow -{{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\le 0$

$\Rightarrow P\le \frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Vậy GTLN của $P=\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$

VD: Tìm GTLN hoặc GTNN của $A=\frac{3}{x-\sqrt{x}+2}\left( x\ge 0 \right)$

Giải

Tử số không thay đổi,ta đánh giá mẫu số

$={{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}\ge \frac{7}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi$\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ $x=\frac{1}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất cuả A là $\frac{12}{17}$

VD: tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức $B=\frac{3\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+2}$ VỚI $x\ge 0$

$=\frac{\left( 3\sqrt{x}+6 \right)+2}{\sqrt{x}+2}$

$=3+\frac{2}{\sqrt{x}+2}$

Do $x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 2$ $\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}+2}\le 1$ $B=3+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\le 4$

ĐK: \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1 \Leftrightarrow \,x \in \left[ { - 1;1} \right]\)

+ TXĐ: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\)

+ \(y' = \sqrt {1 - {x^2}} + x.\dfrac{{ - 2x}}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }} = \sqrt {1 - {x^2}} - \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 1 - {x^2} = \,{x^2} \Leftrightarrow \,{x^2} = \dfrac{1}{2}\, \Leftrightarrow \,x = \pm \sqrt {\dfrac{1}{2}} \,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Thay \(x = - 1\)vào \(f\left( x \right)\) ta có \(f\left( { - 1} \right) = 0.\)

Thay \(x = \left( { - \sqrt {\dfrac{1}{2}} } \right)\) vào \(f\left( x \right)\)ta có \(f\left( { - \sqrt {\dfrac{1}{2}} } \right) = \dfrac{{ - 1}}{2}.\)

Thay \(x = \sqrt {\dfrac{1}{2}} \)vào \(f\left( x \right)\)ta có \(f\left( {\sqrt {\dfrac{1}{2}} } \right) = \dfrac{1}{2}.\)

Thay \(x = 1\)vào \(f\left( x \right)\)ta có \(f\left( 1 \right) = 0.\)

\( \Rightarrow \mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = - \dfrac{1}{2};\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = \dfrac{1}{2}.\)