Câu 17 sgk toán hình 12 phương trình mặt phẳng năm 2024
Hướng dẫn giải:Câu a:Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 2;4} \right),{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \overrightarrow {MP} = \left( { - 2;1;3} \right)\) Show
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) = - 5\left( {2;1;1} \right)\) Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n = (2;1;1)\). Mp(MNP) đi qua M(2; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2;1;1)\) nên có phương trình là: \(2(x - 2) + 1(y - 0) + 1(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\) Câu b:Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} = (4;1;2)\) và vuông góc với \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) nên: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 0&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4\\ 1&0 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&1\\ 0&0 \end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 4;0} \right)\) (P) qua ;−1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1; - 4;0)\) nên (P) có phương trình: \(1(x - 1) - 4(y - 1) + 0(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\) Câu c:Mặt phẳng (α): x − 5y + z = 0 có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 5;1} \right)\) Mp(β) qua A(3; 2; −1) song song với mp(α) nên (β) có cùng vectơ pháp tuyến . Do đó: \(\left( \beta \right):(x - 3) - 5(y - 2) + (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\) Câu d:Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 1;1)\) Mp(α): x − y + z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\vec m = \left( {1; - 1;1} \right)\) Mp(β) đi qua A, B và vuông góc với mp(α) nên vectơ pháp tuyến của (β) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = (0;2;2)\) Vậy (P): 2(y−1) + 2(z−1) = 0 <=> y + z − 2 = 0 Câu e:Mặt phẳng đi qua M(a, b, c) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: 1(z − c) = 0 <=> z − c = 0 Tương tự mặt phẳng đi qua M(a, b, c) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua M(a, b, c) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0. Câu g:Giả sử A(a; 0; 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c). Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\frac{{a + 0 + 0}}{3} = 1;\frac{{0 + b + 0}}{3} = 2;\frac{{0 + 0 + c}}{3} = 3 \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\) Vậy mp(ABC): \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\) Câu h:Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm ΔABC khi và chỉ khi OH ⊥ mp(ABC). Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = (2;1;1)\) nên có phương trình 2(x−2) + (y−1) + (z−1) = 0 <=> 2x + y + z − 6 = 0 Bài 16 trang 89 SGK Toán 12 nâng caoXét vị trí tương đối của mỗi cặp mật phẳng cho bởi các phương trình sau:
Hướng dẫn giải:Câu a:Ta có 1 : 2 : (−1) ≠ 2 : 3 : (−7) nên hai mặt phẳng đã cho cắt nhau. Câu b:1 : (−2) : 1 ≠ 2 : (−1) : 4 nên hai mặt phẳng cắt nhau. Câu c:\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ - 1}}{3}\) nên hai mặt phẳng song song. Câu d:3 : (−2) : 3 ≠ 9 : (−6) : (−9) nên hai mặt phẳng cắt nhau. Câu e:\(\frac{1}{{10}} = \frac{{ - 1}}{{ - 10}} = \frac{2}{{20}} = \frac{{ - 4}}{{ - 40}}\) nên hai mặt phẳng trùng nhau Bài 17 trang 89 SGK Toán 12 nâng caoXác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:
Hướng dẫn giải:Câu a:Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi: \(\frac{2}{m} = \frac{n}{2} = \frac{2}{{ - 4}} \ne \frac{3}{7} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = - 4\\ n = - 1 \end{array} \right.\) Câu b:Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi: \(\frac{2}{1} = \frac{1}{n} = \frac{{2m}}{2} \ne \frac{{ - 2}}{8} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 4\\ n = \frac{1}{2} \end{array} \right.\) Bài 18 trang 90 SGK Toán 12 nâng caoCho hai mặt phẳng có phương trình là 2x − my + 3z − 6 + m = 0 và (m + 3)x− 2y + (5m + 1)z − 10 = 0 Với giá trị nào của m thì:
Hướng dẫn giải:Mặt phẳng 2x − my + 3z − 6 + m = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - m;3} \right)\) Mặt phẳng (m + 3)x − 2y + (5m + 1)z − 10 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {m + 3; - 2;5m + 1} \right)\) Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5{m^2} - m + 6 = 0\\ - 7m + 7 = 0\\ {m^2} + 3m - 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\) Với m = 1 thì hai mặt phẳng có phương trình 2x − y + 3z − 5 = 0 và 4x − 2y + 6z − 10 = 0 nên chúng trùng nhau. Câu a:Không tồn tại m để hai mặt phẳng đó song song. Câu b:Với m = 1 thì hai mặt phẳng đó trùng nhau. Câu c:Với m ≠ 1 thì hai mặt phẳng đó cắt nhau. Câu d:Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2(m + 3) + 2m + 3(5m + 1) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 9}}{{19}}\) Bài 19 trang 90 SGK Toán 12 nâng caoTìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (α) và (α′) trong mỗi trường hợp sau: \(\begin{array}{l} a)(\alpha ):2x - y + 4z + 5 = 0,(\alpha \prime ):3x + 5y - z - 1 = 0\\ b)(\alpha ):2x + y - 2z - 1 = 0,(\alpha \prime ):6x - 3y + 2z - 2 = 0\\ c)(\alpha ):x + 2y + z - 1 = 0,(\alpha \prime ):x + 2y + z + 5 = 0 \end{array}\) Hướng dẫn giải:Câu a:Điểm M(x,y,z) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi: \(\begin{array}{l} \frac{{|2x - y + 4z + 5|}}{{\sqrt {4 + 1 + 16} }} = \frac{{|3x + 5y - z - 1|}}{{\sqrt {9 + 25 + 1} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 5 |2x - y + 4z + 5| = \sqrt 3 |3x + 5y - z - 1|\\ \Leftrightarrow \sqrt 5 (2x - y + 4z + 5) = \pm \sqrt 3 (3x + 5y - z - 1) \end{array}\) Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng \(\begin{array}{l} (2\sqrt 5 - 3\sqrt 3 )x - (\sqrt 5 + 5\sqrt 3 )y + (4\sqrt 5 + \sqrt 3 )z + 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0\\ (2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 )x - (\sqrt 5 - 5\sqrt 3 )y + (4\sqrt 5 - \sqrt 3 )z + 5\sqrt 5 - \sqrt 3 = 0 \end{array}\) Câu b:Điểm M(x, y, z) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi: \(\begin{array}{l} \frac{{|2x + y - 2z - 1|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \frac{{|6x - 3y + 2z - 2|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 7(2x + y - 2z - 1) = 3(6x - 3y + 2z - 2)\\ 7(2x + y - 2z - 1) = - 3(6x - 3y + 2z - 2) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4x + 16y - 20z - 1 = 0\\ 32x - 2y - 8z - 13 = 0 \end{array} \right. \end{array}\) Tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng có phương trình: \(\begin{array}{l} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}16y - 20z - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 32x - 2y - 8z - 13 = 0 \end{array}\) Câu c:Điểm M(x, y, z) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi: \(\begin{array}{l} \frac{{|x + 2y + z - 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{|x + 2y + z + 5|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 2y + z - 1 = x + 2y + z + 5\\ x + 2y + z - 1 = - x - 2y - z - 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 2x + 4y + 2z + 4 = 0 \end{array}\) Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình : x + 2y + z + 2 = 0 Bài 20 trang 90 SGK Toán 12 nâng caoTìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D′ = 0 với D ≠ D′ Hướng dẫn giải:Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau. Lấy M(x0, y0, z0) thuộc mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0. Ta có Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 => Ax0 + By0 + Cz0 = −D Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng thứ hai, ta có: \(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D\prime |}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{|D\prime - D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) Bài 21 trang 90 SGK Toán 12 nâng caoTìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:
Hướng dẫn giải:Câu a:Giả sử M(0; 0; c) thuộc trục Oz Ta có: \(MA = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{(4 - c)}^2}} \) và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng đã cho là \(d = \frac{{|c - 17|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }}\) \(\begin{array}{l} MA = d \Leftrightarrow \sqrt {13 + {{(4 - c)}^2}} = \frac{{|c - 17|}}{{\sqrt {14} }}\\ \Leftrightarrow 13 + {(4 - c)^2} = \frac{{{{(c - 17)}^2}}}{{14}} \Leftrightarrow c = 3. \end{array}\) Vậy M(0; 0; 3) Câu b:M(0; 0 ; c) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi: \(\frac{{| - c + 1|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{|c + 5|}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow c = - 2 \Rightarrow M(0;0; - 2)\) Bài 22 trang 90 SGK Toán 12 nâng caoCho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh :
Hướng dẫn giải:Câu a:Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a > 0, b > 0, c > 0) (a > 0, b > 0, c > 0) Ta có \(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - a;b;0);\overrightarrow {AC} = ( - a;0;c) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2} > 0\\ \Rightarrow cosA = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} > 0 \end{array}\) \=> A là góc nhọn Tương tự các góc B, C của tam giác ABC cũng nhọn. Câu b:Mp(ABC) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) nên có vecto pháp tuyến \(\vec n = \left( {\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right)\) Mp(OBC) ≡ Mp(Oyz) có vectơ pháp tuyến \(\vec i = \left( {1;0;0} \right)\) Gọi α là góc giữa mp(ABC) và mp(OBC) thì: \({\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{\overrightarrow n .\overrightarrow i }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}}} \right)^2} = \frac{{\frac{1}{{{a^2}}}}}{{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}}\) Tương tự \({\cos ^2}\beta = \frac{{\frac{1}{{{b^2}}}}}{{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}};{\cos ^2}\gamma = \frac{{\frac{1}{{{c^2}}}}}{{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}}\) Vậy \(co{s^2}\alpha + co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma = 1\) Bài 23 trang 90 SGK Toán 12 nâng caoViết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 2 = 0 |
