Cho 3 điểm Viết phương trình tổng quát

Để viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm, cách hay dùng nhất là ta lần lượt thay các giá trị các điểm này vào phương trình tổng quát của đường tròn, sau đó lập thành hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn. Giải hệ này thay các giá trị tìm được vào phương trình đường tròn, ta được kết quả. Cụ thể:

* Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0. (*) (với điều kiện a2 + b2 - c > 0).

- Từ điều kiện bài toán: điểm A, B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A, B và C vào pt(*) ta được hệ ba phương trình bậc nhất với ẩn a; b; c.

- Giải hệ tìm a, b, c thay vào pt đường tròn (C).

» xem thêm tại hay học hỏi.vn: Các dạng toán phương trình đường tròn lớp 10

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- Vì (C) đi qua A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào pt đường tròn (C) ta có hệ sau:

- Giải hệ trên ta được 

⇒ Đường tròn (C) là: 

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(2; 1) ; B(2; 5) và C(-2; 1).

* Lời giải:

Đường tròn (C) đi qua 3 điểm  A(2; 1) ; B(2; 5) và C(-2; 1).

Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Vì các điểm A, B và C đều thuộc đường tròn (C).

A thuộc (C) nên: 4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 (1)

B thuộc (C) nên: 4+ 25 - 4a - 10b + c = 0 (2)

C thuộc (C) nên: 4 + 1 + 4a - 2b + c = 0 (3)

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được: a = 0; b = 3 và c = 1

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng:

 x2 + y2 - 6y + 1 = 0

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0)

* Lời giải:

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (với a2 + b2 – c > 0)

Vì 3 điểm A, B và C đều thuộc đường tròn (C) nên có:

Vậy PT đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 - 2x – 2y - 8 = 0

* Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2)

* Lời giải:

- Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là (C):

 x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (với a2 + b2 - c > 0)

Do ba điểm A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2) đều thuộc đường tròn, nên ta có:

Vậy đường tròn (C) cần tìm là: x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0

* Lưu ý: 1. Ở ví dụ trên, việc gọi phương trình đường tròn thay vì x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ta cũng có thể gọi pt đường tròn có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 và kết quả bài toán cũng không thay đổi.

2. Sau khi viết được phương trình đường tròn đi qua 3 điểm, các em có thể xác định tâm của đường tròn, bán kính của đường tròn,... như vậy một số bài toán yêu cầu như: 

- Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm;

- Tâm của đường tròn qua 3 điểm có thuộc đường thẳng (d) cho trước?

- Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm

thì trước tiên, các em cần viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm.

Như vậy với Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm và ví dụ cụ thể ở trên, HayHocHoi hy vọng bài viết giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Cho 3 điểm A (0;1),B (2;0),C (2;1)

a) viết phương trình tổng quất của đường thẳng AB.

b) viết phương trình tổng quát của đường cao AH.

c) viết phương trình tổng quát của trung tuyến AM (MϵBC)

Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng là một trong những dạng toán cơ bản về dạng toán đường tròn. Nhằm giúp các em củng cố thêm phần kiến thức Hình học vô cùng quan trọng này, THPT Sóc Trăng đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Bạn đang xem: Cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng & bài tập

Phương trình đường tròn có tâm I[a;b], bán kính R là :

[x−a]2+[y−b]2=R2

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn [x−a]2+[y−b]2=R2  có thể được viết dưới dạng 

x2+y2−2ax−2by+c=0

trong đó c=a2+b2−R2

Ngược lại, phương trình x2+y2−2ax−2by+c=0 là phương trình của đường tròn [C] khi và chỉ khi  a2+b2−c>0. Khi đó đường tròn[C] có tâm I[a;b] và bán kính R=√a2+b2−c

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M0[x0;y0]nằm trên đường tròn [C] tâm  I[a;b].Gọi Δ là tiếp tuyến với [C] tại M0

Ta có M0 thuộc Δ và vectơ IM0=[x0−a;y0−b] là vectơ  pháp tuyến cuả Δ

Do đó  Δ có phương trình là:

[x0−a][x−x0]+[y0−b][y−y0]=0

Phương trình này là phương trình tiếp tuyến của đường tròn [x−a]2+[y−b]2=R2  tại điểm M0 nằm trên đường tròn.

III. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ĐI QUA 3 ĐIỂM KHÔNG THẲNG HÀNG

Giả sử cho đường tròn [C] và 3 điểm không thẳng hàng A, B, C. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C

CÁCH 1:

Bước 1: Gọi phương trình đường tròn [C] có dạng: x2+y2−2ax−2by+c=0 với a2+b2−c >0

Bước 2: Thay tọa độ của 3 điểm A, B, C vào phương trình đường tròn [C] ta được một hệ 3 phương trình ẩn a, b và c

Bước 3: Giải hệ trên ta được a, b và c.

Bước 4: Thay a, b và c vừa tìm được ở bước 3 vào phương trình đường tròn [C] đã gọi ở trên ta sẽ được phương trình đường tròn [C] cần tìm.

CÁCH 2:

Bước 1: Gọi tâm đường tròn là điểm I[a;b]. Vì 3 điểm A, B và C thuộc đường tròn nên ta có:IA=IB=IC. Từ đây ta cũng có hệ phương trình sau: 

IA2 = IB2

IA2  = IC2

Bước 2: Các bạn giải hệ phương trình trên cũng được tọa độ của tấm I

Bước 3: Tìm bán kính R = IA = IB = IC

Bước 4: Thay tọa độ điểm I và bán kính R vào phương trình đường tròn dạng: [x−a]2+[y−b]2=R2

Đối với cách 2 này cũng tương tự như cách 1.

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B và C có thể phát biểu thành bài toán viết phương trình đường tròn

CÁCH 3:

Ngoại tiếp tam giác ABC. Như vậy ta có thêm một cách phát biểu bài toán nữa và từ đây ta sẽ có thêm một cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

Gọi phương trình đường tròn dạng: [x−a]2+[y−b]2=R2

Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm của hai trong 3 cạnh tam giác, giả sử là AB và BC

Bước 2: Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB và

Bước 3: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường trung trực trên, giả sử là điểm I. Khi đó I chính là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C.

Bước 4: Tìm bán kính R = IA = IB = IC

Bước 5: Thay tọa độ tâm I và bán kính R vào phương trình đường tròn .

Chú ý: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường tung trực trong tam giác. Chúng ta xác định 2 đường trung trực là đủ rồi..

III. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: dạng 1

a] 

b]

c] 

d] 

Bài 2. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  với dạng 2

a] 

b] 

c] 

d] 

Bài 3. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: [dạng 3]

a] 

b] 

c] 

d] 

Bài 4. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng, với: [dạng 4]

a] 

b] 

c]

Bài 5. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình dường tròn. Tìm tâm và bán kinh của đường tròn đó:

a] 

b] 

c] 

d] 

e] 

f] 

g] 

h] 

Bài 6. Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn

a] 

b] 

c] 

d] 

Bài 7. {*} Tìm m đề các phương trình sau là phương trình đường tròn:

a] 

b]

c] 

d] 

e]

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu về cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu hữu ích phục vụ quá trình học tập, giúp các em học tốt hơn. Xem thêm chuyên đề về phương trình đường tròn tại đường link này nhé !

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Chuyên mục: Giáo dục

Video liên quan