Giải bài toán nâng cao lớp 6 ve phan so năm 2024

Trong chương trình toán lớp 6 phần số học: Chương Phân số rất quan trọng và khó học. Đặc biệt kiến thức này còn có trong đề thi kiểm tra 1 tiết, đề thi học kì lớp 6 nên học sinh lớp 6 phải học thật chắc chắn.Dưới đây, hệ thống giáo dục trực tuyến Vinastudy xin giới thiệu một vài ví dụ về các bài toán Chứng minh bất đẳng thức phân số. Hi vọng tài liệu sẽ hữu ích giúp các em ôn tập lại kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1. Cho $A=\frac{1}{{{2}^{{2}}}+\frac{1}{{{4}}{2}}}+\frac{1}{{{6}^{{2}}}+...+\frac{1}{{{100}}{2}}}$. Khi đó: $A\,\,....\,\frac{1}{2}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài 2. Cho $A=\frac{2}{{{3}^{{2}}}+\frac{2}{{{5}}{2}}}+\frac{2}{{{7}^{{2}}}+...+\frac{2}{{{2007}}{2}}}$. Khi đó: $A\,\,...\,\,\frac{1003}{2008}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài 3. Cho: $A=\frac{9}{10!}+\frac{9}{11!}+\frac{9}{12!}+...+\frac{9}{1000!}$ . Khi đó $A\,\,....\,\,\frac{1}{9!}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài 4: So sánh tổng $C=\frac{1}{25.27}+\frac{1}{27.29}+\frac{1}{29.31}+...+\frac{1}{73.75}$ với 1 ?

Bài 5:So sánh $B=\frac{36}{1.3.5}+\frac{36}{3.5.7}+\frac{36}{5.7.9}+...+\frac{36}{25.27.29}$ với 3 ?

Bài 6. Chứng minh rằng: $M=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}$. Khi đó: $M\,\,...\,\,1$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài 7:Tính giá trị B = $\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{24.25}$ ?

Bài 8: So sánh $A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}$ với $B=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}$ ?

Bài 9: Tính giá trị của tích A =$\left( 1-\frac{1}{21} \right)\left( 1-\frac{1}{28} \right)\left( 1-\frac{1}{36} \right)...\left( 1-\frac{1}{1326} \right)$ ?

Bài 10: Tìm x biết $\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+...+\frac{2}{x\left( x+1 \right)}=\frac{2}{9}$

Bài 11: Tìm x biết $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{x\left( x+1 \right)}=\frac{44}{45}$

Bài 12: So sánh tổng $A=\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\frac{1}{13.17}+...+\frac{1}{797.801}$ với 1 ?

Bài 13: Cho hai phân số $C=\frac{2}{n-1}$ và $D=\frac{n+4}{n+1}$. Tìm các số nguyên n để C và D đều là các số nguyên ?

Bài 14: Có bao nhiêu giá trị n nguyên để phân số $A=\frac{n+2}{n+1}$ là số nguyên ?

Bài 15: Có bao nhiêu giá trị n nguyên để phân số $A=\frac{1}{n-1}$ là số nguyên ?

Bài 16: Cho phân số $A=\frac{n-5}{{{n}^{2}}+1}$, x$n\in \mathbb{Z}$. Tìm giá trị phân số A khi n = 5 ?

Bài 17: Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $C=\frac{7}{x-3}$ đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bài 18:Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $D=\frac{x+3}{x-2}$ đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bài 19:Với $x\in \mathbb{Z}$ phân số $A=\frac{4x-1}{2x+3}$ có giá trị lớn nhất là:

Bài 20: Với $n\in \mathbb{Z}$ biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất $\text{A}=\frac{9n-4}{2n-7}$ là:

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1.

Cho $A=\frac{1}{{{2}^{{2}}}+\frac{1}{{{4}}{2}}}+\frac{1}{{{6}^{{2}}}+...+\frac{1}{{{100}}{2}}}$. Khi đó: $A\,\,....\,\frac{1}{2}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài giải:

$A=\frac{1}{{{2}^{{2}}}+\frac{1}{{{4}}{2}}}+\frac{1}{{{6}^{{2}}}+...+\frac{1}{{{100}}{2}}}$

$A=\frac{1}{{{2}^{{2}}}\left( 1+\frac{1}{{{2}}{2}}}+\frac{1}{{{3}^{{2}}}+...+\frac{1}{{{50}}{2}}} \right)$

$\Rightarrow$$A<\frac{1}{4}.\left( 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50} \right)=\frac{1}{4}.\left( 1+1-\frac{1}{50} \right)$

$A<\frac{1}{2}$

Bài 2.

Cho $A=\frac{2}{{{3}^{{2}}}+\frac{2}{{{5}}{2}}}+\frac{2}{{{7}^{{2}}}+...+\frac{2}{{{2007}}{2}}}$. Khi đó: $A\,\,...\,\,\frac{1003}{2008}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài giải:

Ta có: $\frac{2}{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}<\frac{2}{2n\left( 2n+2 \right)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}$

Thay $n=1,2,3,...,1003$

Ta có: $A<\frac{1}{2}-\frac{1}{2008}=\frac{1003}{2008}$ (đpcm)

Bài 3.

Cho: $A=\frac{9}{10!}+\frac{9}{11!}+\frac{9}{12!}+...+\frac{9}{1000!}$ . Khi đó $A\,\,....\,\,\frac{1}{9!}$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài giải:

$A<\frac{10-1}{10!}+\frac{11-1}{11!}+\frac{12-1}{12!}+...+\frac{1000-1}{1000!}$

$=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}+...+\frac{1}{999!}-\frac{1}{1000!}$

$=\frac{1}{9!}-\frac{1}{1000!}<\frac{1}{9!}$ (đpcm)

Bài 4:

So sánh tổng $C=\frac{1}{25.27}+\frac{1}{27.29}+\frac{1}{29.31}+...+\frac{1}{73.75}$ với 1 ?

Bài giải :

$C=\frac{1}{25.27}+\frac{1}{27.29}+\frac{1}{29.31}+...+\frac{1}{73.75}$

$C=\frac{1}{2}\left( \frac{2}{25.27}+\frac{2}{27.29}+\frac{2}{29.31}+...+\frac{2}{73.75} \right)$

$C=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{25}-\frac{1}{27}+\frac{1}{27}-\frac{1}{29}+...+\frac{1}{73}-\frac{1}{75} \right)$

$C=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{25}-\frac{1}{75} \right)$

$C=\frac{1}{75}$

Vậy C<1.

Bài 5:

So sánh $B=\frac{36}{1.3.5}+\frac{36}{3.5.7}+\frac{36}{5.7.9}+...+\frac{36}{25.27.29}$ với 3 ?

Bài giải :

$B=\frac{36}{1.3.5}+\frac{36}{3.5.7}+\frac{36}{5.7.9}+...+\frac{36}{25.27.29}$

$B=9\left( \frac{4}{1.3.5}+\frac{4}{3.5.7}+\frac{4}{5.7.9}+...+\frac{4}{25.27.29} \right)$

$B=9\left( \frac{1}{1.3}-\frac{1}{3.5}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{25.27}-\frac{1}{27.29} \right)$

$B=9\left( \frac{1}{1.3}-\frac{1}{27.29} \right)$

$B=9\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{783} \right)$

$B=\frac{260}{87}$

Vậy B<3.

Bài 6.

Chứng minh rằng: $M=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}$. Khi đó: $M\,\,...\,\,1$

Dấu thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Bài giải:

Ta có:$\frac{1}{2!}=\frac{1}{1.2};\frac{1}{3!}=\frac{1}{2.3};\frac{1}{4!}<\frac{1}{3.4};...;\frac{1}{100!}<\frac{1}{99.100}$

$A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}$

$A<1$ (đpcm)

Bài 7:

Tính giá trị B = $\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{24.25}$ ?

Bài giải:

B = $\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{24.25}$

B = $\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{24}-\frac{1}{25}$

B = $\frac{1}{5}-\frac{1}{25}$

B = $\frac{4}{25}$

Vậy: B = $\frac{4}{25}$

Bài 8:

So sánh $A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}$ với $B=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}$ ?

Bài giải:

Ta có:

$A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}$

\= $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-2.\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200} \right)$

\= $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}-\left( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{100} \right)$

\= $\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}=B$

Vậy A=B.

Bài 9:

Tính giá trị của tích A =$\left( 1-\frac{1}{21} \right)\left( 1-\frac{1}{28} \right)\left( 1-\frac{1}{36} \right)...\left( 1-\frac{1}{1326} \right)$ ?

Bài giải:

A =$\left( 1-\frac{1}{21} \right)\left( 1-\frac{1}{28} \right)\left( 1-\frac{1}{36} \right)...\left( 1-\frac{1}{1326} \right)$

A = $\left( 1-\frac{2}{42} \right)\left( 1-\frac{2}{56} \right)\left( 1-\frac{2}{72} \right)...\left( 1-\frac{2}{2652} \right)$

A = $\left( 1-\frac{2}{6.7} \right)\left( 1-\frac{2}{7.8} \right)\left( 1-\frac{2}{8.9} \right)...\left( 1-\frac{2}{51.52} \right)$

A = $\frac{5.8}{6.7}.\frac{6.9}{7.8}.\frac{7.10}{8.9}...\frac{50.53}{51.52}$

A = $\frac{5.6.7...50}{6.7.8...51}$ . $\frac{8.9.10...53}{7.8.9...52}$

A = $\frac{5}{51}.\frac{53}{7}$

A = $\frac{265}{357}$

Bài 10:

Tìm x biết $\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+...+\frac{2}{x\left( x+1 \right)}=\frac{2}{9}$

Bài giải:

$\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+...+\frac{2}{x\left( x+1 \right)}=\frac{2}{9}$

$\frac{2}{6.7}+\frac{2}{7.8}+\frac{2}{8.9}+...+\frac{2}{x\left( x+1 \right)}=\frac{2}{9}$

$2\left( \frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right)=\frac{2}{9}$

$2\left( \frac{1}{6}-\frac{1}{x+1} \right)=\frac{2}{9}$

Vậy x=17.

Bài 11:

Tìm x biết $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{x\left( x+1 \right)}=\frac{44}{45}$

Bài giải:

$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{x\left( x+1 \right)}=\frac{44}{45}$

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{44}{45}$

$1-\frac{1}{x+1}=\frac{44}{45}$

Vậy x=44.

Bài 12:

So sánh tổng $A=\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\frac{1}{13.17}+...+\frac{1}{797.801}$ với 1 ?

Bài giải:

$A=\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\frac{1}{13.17}+...+\frac{1}{797.801}$

$A=\frac{1}{4}\left( \frac{4}{5.9}+\frac{4}{9.13}+\frac{4}{13.17}+...+\frac{4}{797.801} \right)$

$A=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+...+\frac{1}{797}-\frac{1}{801} \right)$

$A=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{801} \right)$

$A=\frac{199}{4005}$

Vậy A<1.

Bài 13:

Cho hai phân số $C=\frac{2}{n-1}$ và $D=\frac{n+4}{n+1}$. Tìm các số nguyên n để C và D đều là các số nguyên ?

Bài giải:

Để C là số nguyên thì n – 1 $\in$ Ư(2) = {1; -1; 2; -2}

Suy ra n $\in$ {2 ; 0 ; 3 ; -1} (1)

$D=\frac{n+4}{n+1}=\frac{n+1+3}{n+1}=1+\frac{3}{n+1}$

Để D là số nguyên thì n + 1 $\in$ Ư(3) = {1; -1; 3; -3}

Suy ra n $\in$ {0 ; -2 ; 2 ; -4} (2)

Từ (1) và (2), để C và D đều là số nguyên thì n = 0 ; n = 2.

Bài 14:

Có bao nhiêu giá trị n nguyên để phân số $A=\frac{n+2}{n+1}$ là số nguyên ?

Bài giải:

$A=\frac{n+2}{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$

Để A là số nguyên thì n + 1 thuộc ước của 1.

Ư(1) = {1; -1}

Với n+1 = 1 thì n = 0

Với n+1 = -1 thì n = -2

Vậy có hai giá trị của n thỏa mãn đề bài.

Bài 15:

Có bao nhiêu giá trị n nguyên để phân số $A=\frac{1}{n-1}$ là số nguyên ?

Bài giải:

Để A là số nguyên thì n – 1 thuộc ước của 1.

Ư(1) = {1; -1}

Với n – 1 = 1 thì n = 2

Với n – 1 = -1 thì n = 0

Vậy có 2 giá trị của n thỏa mãn đề bài.

Bài 16:

Cho phân số $A=\frac{n-5}{{{n}^{2}}+1}$, x$n\in \mathbb{Z}$. Tìm giá trị phân số A khi n = 5 ?

Bài giải:

Với n = 5 thì $A=\frac{5-5}{{{5}^{2}}+1}=0$

Bài 17:

Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $C=\frac{7}{x-3}$ đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bài giải:

$C=\frac{7}{x-3}$

+) Với $x-3>0$ thì $\frac{7}{x-3}>0$

+) Với $x-3<0$ thì $\frac{7}{x-3}<0$

Để C có giá trị nhỏ nhất thì $\left\{ \begin{align}& \frac{7}{x-3}<0 \\ & x-3\,co\,GTLN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{55}{2n-7}>0 \\ & 2n-7\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$