Giải phương trình sin^4x + cos^4x 3 4
|
Phương pháp giải: Show - Tìm ĐKXĐ. - Chứng minh \(VP = \dfrac{7}{8}\). - Sử dụng hằng đẳng thức \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\). - Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}2x = \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2}\), sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản. Giải chi tiết: ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0\\\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) \ne 0\). \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) - \cos \dfrac{\pi }{2}} \right] \ne 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \ne 0\) \( \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{6} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\). Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cot \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right)\\ = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x - \dfrac{\pi }{3}} \right).\cot \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right)\\ = \tan \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right).\cot \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) = 1\end{array}\) Do đó phương trình đã cho trở thành: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \dfrac{7}{8}\\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \dfrac{7}{8}\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x = \dfrac{7}{8}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \cos 4x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 4x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {TM} \right)\end{array}\). Chọn A.
Phương trình \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = 1\) có tổng các nghiệm dương nhỏ hơn 10 là ?
A. B. C. D.
Phương pháp giải: - Tìm ĐKXĐ. - Chứng minh \(VP = \dfrac{7}{8}\). - Sử dụng hằng đẳng thức \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\). - Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}2x = \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2}\), sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản. Giải chi tiết: ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0\\\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) \ne 0\). \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) - \cos \dfrac{\pi }{2}} \right] \ne 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \ne 0\) \( \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{6} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\). Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cot \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right)\\ = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x - \dfrac{\pi }{3}} \right).\cot \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right)\\ = \tan \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right).\cot \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) = 1\end{array}\) Do đó phương trình đã cho trở thành: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \dfrac{7}{8}\\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \dfrac{7}{8}\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x = \dfrac{7}{8}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \cos 4x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 4x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {TM} \right)\end{array}\). Chọn A. 19.096 lượt xem Công thức hạ bậcTài liệu công thức lượng giác đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán biến đổi công thức lượng giác Toán THPT. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề phương trình lượng giác lớp 10. Chúc các bạn học tập hiệu quả! A. Công thức sin^4x+cos^4xBiến đổi công thức: sin^4x+cos^4xHướng dẫn giải Sin4x+cos4x = (sin²x)2 + (cos²x)2 = sin2x + 2sin²xcos²x + cos2x - 2sin²xcos²x = (sin2x + 2sin²xcos²x + cos2x) - 2sin²xcos²x = (sin²x + cos²x)² - 2sin²xcos²x = 1 - 2sin²xcos²x =  = = Ví dụ: Chứng minh giá trị của biểu thức A = cos4x (2cos2x – 3) + sin4x(2sin2x – 3) không phụ thuộc vào x. Hướng dẫn giải Ta có: A = cos4x (2cos2x – 3) + sin4x(2sin2x – 3) A = 2 cos6x - 3 cos4x + 2 sin6x - 3 sin4x A = (2 cos6x + 2 sin6x) – 3(sin4x + cos4x) Ta có: sin6x + cos6x = 1 - 3sin²xcos²x sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x.cos2x => A = 2(cos6x + sin6x) – 3(sin4x + cos4x) A = 2(1 - 3sin²xcos²x) – 3(1 – 2sin2x.cos2x) A = 2 - 6sin²xcos²x – 3 + 6sin²xcos²x A = -1 Vậy biểu thức A = cos4x (2cos2x – 3) + sin4x(2sin2x – 3) không phụ thuộc vào x B. Giải phương trình lượng giác sin4x; cos4xVí dụ 1: Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x Hướng dẫn giải chi tiết Ta có: sin3x – cos3x = (sinx – cosx).(sin2x + cos2x+ sinx.cosx) sin4x – cos4x = (sin2x – cos2x).(sin2x + cos2x) = - cos2x Ta biến đổi phương trình như sau: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x => sinx – cosx + sin2x – cos2x + sin3x – cos3x + sin4x – cos4x = 0 => sinx – cosx – cos2x + (sinx – cosx).(sin2x + cos2x+ sinx.cosx) - cos2x = 0 => sinx – cosx – 2cos2x + (sinx – cosx).(1 + sinx.cosx) = 0 => (sinx – cosx).[1 + 2(sinx + cosx) + 1 + sinx.cosx] = 0 => sinx – cosx = 0 hoặc 1 + 2(sinx + cosx) + 1 + sinx.cosx = 0 Trường hợp 1: sinx – cosx = 0 Giải phương trình ta được Trường hợp 2: 1 + 2(sinx + cosx) + 1 + sinx.cosx = 0 (*) Đặt sinx + cosx = t (điều kiện => sinx.cosx = Biến đổi phương trình (*) ta được: => sinx + cosx = -1 => Vậy phương trình có ba họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: sin4x + cos4x + sinx.cosx = 0 Hướng dẫn giải chi tiết Ta có: Sinx.cosx = 1/2.sin2x sin4x + cos4x = 1 - 2sin²xcos²x = 1 – 1/2 .sin22x Thay vào phương trình ta có: 1 – 1/2 .sin22x+ 1/2.sin2x= 0 => 2 – sin22x + sin2x = 0 => sin2x = 2 (loại) hoặc sin2x = -1 (thỏa mãn) Với sin2x = -1 => 2x = => x = Kết luận phương trình có một họ nghiệm C. Công thức Sin^6x+cos^6xTính Sin^6x+cos^6x ---------------------------------------------------- Hi vọng Các công thức lượng giác là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình THPT cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt! Một số tài liệu liên quan: |
