Lập hệ phương trình dòng điện vòng
|
Trong khi Định luật Kirchhoff cung cấp cho chúng ta phương pháp cơ bản để phân tích bất kỳ mạch điện phức tạp nào, có nhiều cách khác nhau để cải thiện phương pháp này bằng cách sử dụng phương pháp dòng điện mạch vòng hoặc phương pháp điện áp nút , dẫn đến giảm thiểu các phép toán liên quan và khi các mạng lớn có liên quan việc giảm toán này có thể là một lợi thế lớn. Ví dụ, hãy xem xét ví dụ về mạch điện từ phần trước. Một phương pháp đơn giản để giảm lượng toán học tham gia là phân tích mạch điện bằng phương trình Định luật dòng điện Kirchhoff để xác định dòng điện I 1 và I 2 chạy trong hai điện trở. Sau đó, không cần phải tính dòng điện I 3 chỉ là tổng của I 1 và I 2 . Vì vậy, định luật điện áp thứ hai của Kirchhoff đơn giản trở thành:
do đó, một dòng tính toán của toán học đã được lưu. Một phương pháp dễ dàng hơn để giải quyết mạch trên là sử dụng dòng điện mạch vòng còn được gọi là phương pháp Dòng điện tuần hoàn Maxwell . Thay vì gán nhãn cho các dòng điện nhánh, chúng ta cần gắn nhãn mỗi “vòng kín” với một dòng điện tuần hoàn. Theo nguyên tắc chung, chỉ gán nhãn các vòng bên trong theo chiều kim đồng hồ có dòng điện tuần hoàn vì mục đích là để bao phủ tất cả các phần tử của mạch ít nhất một lần. Bất kỳ dòng điện nhánh cần thiết nào cũng có thể được tìm thấy từ các dòng điện vòng hoặc lưới thích hợp như trước khi sử dụng phương pháp Kirchhoff. Ví dụ:: i 1 = I 1 , i 2 = I 2 và I 3 = I 1 – I 2 Bây giờ chúng ta viết phương trình định luật điện áp Kirchhoff theo cách tương tự như trước để giải chúng nhưng ưu điểm của phương pháp này là nó đảm bảo rằng thông tin thu được từ phương trình mạch là tối thiểu cần thiết để giải mạch vì thông tin tổng quát hơn và có thể dễ dàng được đưa vào một dạng ma trận. Ví dụ, hãy xem xét mạch từ phần trước. Những phương trình này có thể được giải quyết khá nhanh chóng bằng cách sử dụng ma trận Z . Mỗi phần tử TRÊN đường chéo chính sẽ là “dương” và là tổng trở kháng của mỗi vòng. Trong đó, mỗi phần tử không trên đường chéo chính sẽ là “không” hoặc “âm” và đại diện cho phần tử mạch kết nối tất cả các vòng thích hợp. Đầu tiên chúng ta cần hiểu rằng khi xử lý ma trận, đối với phép chia hai ma trận cũng giống như nhân một ma trận với nghịch đảo của ma trận như hình bên. sau khi tìm thấy nghịch đảo của R , vì V / R giống với V x R -1 , bây giờ chúng ta có thể sử dụng nó để tìm hai dòng điện tuần hoàn. Ở đây:
và điều này cho tôi 1 là -0.143 Amps và I 2 là -0.429 Amps Như: I 3 = I 1 – I 2 Do đó, dòng điện kết hợp của I 3 được cho là: -0.143 – [-0.429] = 0.286 Amps Đây là giá trị tương tự của dòng điện 0,286 amps , chúng tq đã tìm thấy trước đây trong hướng dẫn định luật Kirchhoffs . Phương pháp mạch vòng này có lẽ là phương pháp tốt nhất trong số các phương pháp phân tích mạch với quy trình cơ bản để giải các phương trình như sau:
Cũng như sử dụng phương pháp dòng điện mạch vòng , chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp điện thế nút để tính toán điện áp xung quanh các vòng lặp, một lần nữa làm giảm lượng toán học cần thiết chỉ sử dụng các định luật Kirchoff. Trong hướng dẫn tiếp theo liên quan đến lý thuyết mạch DC, chúng ta sẽ xem xét phương pháp điện thế nút Nodal để thực hiện điều đó. Phân tích Mạch điện là bài toán cho biết kết cấu và thông số của Mạch điện [ thông số của nguồn U và E, điện trở R, điện cảM L, điện dung C, tần số fi của Mạch] và yêu cầu phải tìM dòng điện, điện áp, và công suất trên các nhánh Hai định luật Kiếchốp là cơ sở để giải Mạch điện. Khi nghiên cứu giải Mạch điện hình sin ở chế độ xác lập ta biểu diễn dòng điện, điện áp, và các định luật dưới dạng véctơ hoặc số phức. Đặc biệt khi cần lập hệ phương trình để giải Mạch điện phức tạp ta nên sử dụng phương pháp biểu diễn bằng số phức. Cho Mạch điện như hình vẽ 3.2. Cho biết: TìM dòng điện I, I1, I2 bằng phương pháp biểu diễn số phức TìM công suất tác dụng P, công suất phản kháng Q, công suất biểu kiến S của Mạch điện. Hình 3.2 Giải Mạch điện bằng phương pháp số phức: Tổng trở phức nhánh ZCD = R.ZL/ [ R+ ZL] = 5 [ 1+P] [W]; Tổng trở phức ZAC = - PXC = -10P [W]; Tổng trở phức toàn Mạch ZAB = ZAC +ZCD = 5 [ 1+P] - 10P = 5 [ 1- P] [ W]; Dòng điện phức Mạch chính: Giá trị hiệu dụng dòng điện Mạch chính: [A]Điện áp phức nhánh CD: Dòng điện phức I1: Giá trị hiệu dụng dòng điện I1 = 10 [A] Dòng điện phức nhánh 2: Giá trị hiệu dụng dòng điện I2 = 10 [A] Công suất tác dụng toàn Mạch: P = I22 .R = 100. 10 = 1000[W] Công suất phản kháng của toàn Mạch: Q = I12 XL – I2 XC = 100. 10 – 200. 10 = - 1000 [Var] Công suất biểu kiến của toàn Mạch : Các tổng trở Z1, Z2, Z3 được Mắc nối tiếp Tổng trở tương đương của Mạch nối tiếp Ztđ = Z1 +Z2 + Z3 Ta có: Suy ra Ztđ= Z1 +Z2 + Z3 Kết luận: Tổng trở tương đương của các phần tử Mắc nối tiếp bằng tổng các tổng trở của các phần tử. Công thức tổng quát: Các tổng trở Z1, Z2, Z3 được Mắc song song Áp dụng định luật kiếchốp 1 tại nút A: [1]Mặc khác : [2]Từ [1] và [2] ta có: Ta có: Ytđ = Y1 +Y2 +Y3 Kết luận: Tổng dẫn tương đương của các nhánh song song bằng tổng các tổng dẫn các phần tử trên các nhánh. Công thức tổng quát: Biến đổi từ hình sao sang taM giác [Y - delta]: Nếu Z1 =Z2 = Z3 = ZY suy ra Z12 =Z23 = Z31 =3.ZyBiến đổi từ hình taM giác sang sao [ delta -Y]: Nếu Z12 = Z23 = Z31 = Zdelta suy ra Z1 =Z2 = Z3 = Zdelta/3Thuật toán: Xác định số nút n và số nhánh M của Mạch điện: - Tùy ý chọn chiều dòng điện nhánh - Viết n -1 phương trình Kiếchốp 1 cho n –1 nút - Viết M – n +1 phương trình Kiếchốp 2 cho các vòng - Giải hệ M phương trình tìM các dòng điện nhánh Bài tập: Cho Mạch điện như hình vẽ 3.4 Cho biết: Z1 =Z2 =Z3 = 1+P [W]; TìM các dòng điện I1,I2và I3 bằng phương pháp dòng điện nhánh. Hình 3.4 Giải Mạch địện bằng phương pháp dòng điện nhánh Mạch điện có 2 nút [n = 2] và 3 nhánh [M =3] Chọn chiều dòng điện nhánh I1,I2 , I3 và chiều dương cho vòng a, b [ hình 3.4] Viết phương trình Kiếchốp 1 cho nút B: Viết 2 phương trình Kiếchốp 2 cho hai vòng : Vòng a: Vòng b: Thế số vào 3 phương trình [1] [2] và [3] ta giải hệ phương trình được kết quả: Suy ra giá trị hiệu dụng : Kết luận Nhược điểM của phương pháp dòng điện nhánh là giải hệ nhiều phương trình với nhiều ẩn số. Thuật toán
bằng tổng đại số các dòng điện vòng chạy trên nhánh đó] M là số nhánh, n là số nút của Mạch điện Dòng điện vòng là dòng điện Mạch vòng tưởng tượng chạy khép kín trong các vòng độc lập. Bài tập Cho Mạch điện như hình 3.4 Cho biết: Z1 =Z2 =Z3 = 1+P [W]; TìM các dòng điện I1, I2và I3 bằng phương pháp dòng điện vòng Giải Mạch điện bằng phương pháp dòng điện vòng: Mạch điện có 2 nút [n = 2] và có 3 nhánh [M =3] Chọn chiều dòng điện nhánh I1, I2 , I3 , chiều hai dòng điện vòng Ia, Ib và chiều dương cho vòng a, b [hình 3.5] Viết hai phương trình Kiếchốp 2 cho hai vòng a và b với ẩn số là các dòng điện vòng Ia, Ib Vòng a: Vòng b: Thế số vào ta giải hệ 2 phương trình [1][2], tìM được dòng điện vòng: Dòng điện trên các nhánh Nhánh 1: Nhánh 2: Nhánh 3: Kết luận Phương pháp dòng điện vòng có ưu điểM là giải hệ ít phương trình, ít ẩn số hơn phương pháp dòng điện nhánh, thường được sử dụng để giải bài toán Mạch điện phức tạp Thuật toán - Tùy ý chọn chiều dòng điện nhánh và điện áp hai nút - TìM điện áp hai nút theo công thức tổng quát: trong đó có quy ước các sức điện động Ek có chiều ngược chiều với điện áp UAB thì lấy dấu dương và cùng chiều lấy dấu âM.
Bài tập Cho Mạch điện như hình 3.6 TìM các dòng điện I1,I2và I3 bằng phương pháp điện áp 2 nút Hình 3.6 Chứng Minh công thức tổng quát : Áp dụng định luật ÔM cho các nhánh Nhánh 1: Nhánh 2: Nhánh 3: Áp dụng định luật Kiếchốp 1 tại nút A: Từ các phương trình trên ta có: Công thức tổng quát nếu Mạch có n nhánh và chỉ có hai nút A,B :trong đó có quy ước các sức điện động Ek có chiều ngược chiều với điện áp UAB thì lấy dấu dương và cùng chiều lấy dấu âM. Giải bài toán trên bằng phương pháp điện áp hai nút: Điện áp UAB: Thay số vào ta có: Áp dụng định luật ÔM cho các nhánh của Mạch điện : Nhánh 1 : Nhánh 2: Nhánh 3: Kết luận: Phương pháp điện áp hai nút thích hợp giải cho Mạch điện có nhiều nhánh nhưng chỉ có hai nút. Phương pháp này dựa trên nguyên lý xếp chồng sau: Trong Một Mạch tuyến tính chứa nhiều nguồn, dòng [hoặc áp] trong Một nhánh nào đó là tổng đại số [ xếp chồng] của nhiều dòng [ hoặc áp] sinh ra do từng nguồn độc lập làM việc Một Mình, các nguồn còn lại nghỉ. Thuật toán:
Video liên quan |
