Phương trình cơ bản của tĩnh học chất lưu

Tĩnh học chất lỏngGV: Nguyễn Đức Vinh11CHƯƠNG 2TĨNH HỌC CHẤT LỎNGThủy tĩnh học nghiên cứu các vấn đề về chất lỏng ở trạng thái cân bằng, tức l à khôngcó sự chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng không có sự xuất hiện của masát nhớt. Do đó những kết luận về chất lỏng lý t ưởng cũng đúng cho chất lỏng thực.1. Áp suất thủy tĩnh- Khối chất lỏng W đang cân bằng .- Giả sử cắt bỏ phần tr ên, ta phải tác dụngvào mặt cắt đó bằng một hệ lực t ương đươngthì phần dưới mới cân bằng nh ư cũ.- Trên tiết diện cắt quanh điểm 0 ta lấy mộtdiện tích w, goi P l à lực của phần trên tácdụng lên w.Ta có các khái niệm sau:- P: là áp lực thuỷ tĩnh (hoặc tổng áp lực)tác dụng lên diện tích w(N, kN ).- P/w = p: là áp su ất thủy tĩnh trung b ìnhtrên diện tích .-0limwPw: áp suất thủy tĩnh tại 1 điểm (hay c òn gọi là áp suất thủy tĩnh).Áp suất thủy tĩnh có đặc điểm :Tác dụng theo phương pháp tuyến và hướng vào trong chất lỏng. Vì nếu theo phươngbất kì và có lực kéo ra phía ngoài thì sẽ làm chất lỏng chuyển động, trái với điều kiện cânbằng tĩnh của chất lỏng.Hình 2.1. Sơ đồ biểu diển áp suất tĩnhTĩnh học chất lỏngGV: Nguyễn Đức Vinh12Tại một điểm bất kì trong chất lỏng có giá trị bằng nhau theo mọi ph ương.Là hàm số của tọa độ P = (x, y, z) n ên tại những điểm khác nhau trong chất lỏng th ì cógiá trị khác nhau.Ngoài ra áp suất thủy tĩnh còn phụ thuộc vào những tính chất vật lý của chất lỏng nh ưkhối lượng riêng và gia tốc trọng trường2. Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng . Xét một khối hình hộp chất lỏng vô cùng bé đứng cân bằng có các cạnh x, y, z. TâmM(x, y, z) chịu tác động áp suất p(x, y, z).Hệ tọa độ như hình vẽ.Điều kiện cân bằng: Tổng h ình chiếu lên các trục của lực mặt và lực thể tích tác dụnglên khối phải bằng không.Bằng khai triển Taylor, bỏ qua vi phân bậc cao, lấy số hạng thứ nhất: Khi đó áp suấttại trọng tâm mặt trái l à :(2.1)Áp suất tại trọng tâm mặt phải l à:(2.2)Lực thể tích tác dụng l ên một đơn vị khối lượng chất lỏng theo ph ương Ox là FxTĩnh học chất lỏngGV: Nguyễn Đức Vinh13Theo điều kiện cân bằng ta có:Xét theo phương x:(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)- Tương tự theo phương y và z ta có h ệ sau:(2.7)Tổng hộp ba phương trình ta có:(2.8)Đây là hệ phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng hay hệ ph ươngtrình Euler.Dưới dạng vecto phương trình viết lại như sau:(2.9)Phương trình này biểu thị sự phụ thuộc của áp suất thủy tĩnh theo tọa độ: p= p(x,y,z).Khi lực thể tích tác dụng v ào chất lỏng chỉ là trọng lực thì chất lỏng được gọi là chấtlỏng trọng lực. Trong hệ tọa đ ộ vuông góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướnglên trên, thì đối với lực thể tích F tác dụng l ên một đơn vị khối lượng của chất lỏng trọnglực, ta có: Fx = 0, Fy = 0, Fz = -g.Tĩnh học chất lỏngGV: Nguyễn Đức Vinh14Suy ra:; (2.10)(2.11)Lấy tích phân hai vế, ta đ ược phương trình cân bằng tĩnh lực học chất lỏng nh ư sau:constρgPz (2.12)Phương trình trên được gọi là phương trình cơ bản của tĩnh lực học chất lỏng. Nóđược dùng để xác định áp suất thủy tĩnh trong khối chất lỏng tại những điểm khác nhau vàchỉ rõ trong khối chất lỏng đồng nhất ở trạng thái tĩnh th ì mọi điểm cùng nằm trên mặtphẳng nằm ngang đều có c ùng một áp suất thủy tĩnh, gọi là mặt đẳng áp.Tính chất của mặt đẳng áp- Mặt đẳng áp là mặt có áp suất bằng nhau.- Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực là những mặt song song và thẳng góc với trụcoz. Nói cách khác chúng là nh ững mặt phẳng nằm ngangNhận xét:- Những điểm cùng độ sâu thì áp suất sẽ bằng nhau đối với cùng một loại chất lỏng- Những điểm ở sâu h ơn thì áp suất thuỷ tĩnh sẽ lớn hơn và ngược lại.Ví dụ 1:- Trong hình vẽ sau ba điểm A, B, C có c ùng độ sâu h cùng áp suất mặt thoáng nhưnhau thuộc ba hình thì có áp suất bằng nhau (trong tr ường hợp cùng thông với khí quyển).3. Sự cân bằng chất lỏng trọng lực3.1. Định luật bình thông nhau:Tĩnh học chất lỏngGV: Nguyễn Đức Vinh15 Nếu hai bình thông nhau đựng chất lỏng khácnhau có áp suất mặt thoáng bằng nhau, độ cao củachất lỏng mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chấtlỏng đến mặt thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với trọnglượng đơn vị của chất lỏng tức là:Nhận xét: Nếu chất lỏng chứa ở b ình thông nhau cùng m ột loại (γ1=γ2) thì mặt tự docủa chất lỏng ở hai bình cùng trên một độ cao tức h1=h23.2. Định luật pascalVí dụ: xét một bình chứa chất lỏng.Áp suất tại điểm A trong một b ình chứa chất lỏng là:pa= p0 + γh (2.13)Nếu ta tăng áp suất tại mặt thoáng l ên ∆p thì áp suất tại điểm A đó sẽ là:PII= (p0+ ∆p) + γh (2.14)Vậy tại A áp suất tăng:PII- pa = ∆pPhát biểu định luật pascal: “Độ biếnthiên của áp suất thủy tĩnh tr ên mặt giới hạncủa một thể tích chất lỏng cho tr ước đượctruyền đi nguyên vẹn đến mọi điểm của thểtích chất lỏng đó”.Trong chất lỏng không bị nén ép ở trạngthái tĩnh nếu ta tăng áp suất P0 tại mặt thoánglên một giá trị nào đó, thì áp suất P ở mọi vị tríkhác nhau trong chất lỏng cũng tăng lên mộtgiá trị như vậy.Nhiều máy móc đã được chế tạo theo địnhluật Pascal như: Máy ép thủy lực, máy kích, máy tíc h năng, các bộ phận truyền động Xét một ứng dụng máy ép thủy lực:Hình 2.2 Bình thông nhauHình 2.3. Sơ đồ lực tác dụngTĩnh học chất lỏngGV: Nguyễn Đức Vinh16Máy gồm hai xy lanh có diện tích khác nhau thông với nhau, chứa c ùng một chất lỏngvà có pittông di chuy ển. Pittông nhỏ gắn v ào đòn bẩy, khi một lực F nhỏ tác dụng v à ápsuất tại xylanh lên đòn bẩy, thì lực tác dụng lên pittông nhỏ sẽ tăng lên và bằng P1, áp suấttại xilanh nhỏ bằng111Ppw, trong đó w1 là diện tích mặt cắt ngang xilanh nhỏ.Theo định luật Pascal, áp suất p1 này sẽ truyền tới mọi điểm trong môi chất lỏng, dođó sẽ truyền lên mặt pittong lớn w2Như vậy, tổng áp lực P tác dụng lên pittông:(2.15)Hình 2.4. Máy ép thủy lựcQua (2.15) ta thấy tỷ lệ w2/w1 càng lớn thì lực P2 càng lớn. Điều này có nghĩa là nếutiết diện w2 lớn hơn w1 bao nhiêu lần thì lực P2 cũng lớn hơn P1 bấy nhiêu lần3.3. Áp lực của chất lỏng l ên đáy bình và thành bìnhÁp suất trên thành bình thay đổi theo chiều sâu của chất lỏng chứa trong b ình và đượctính theo công thức: (xem hình 1.)PA = P0 + ghA(2.16)Trong đó Po là áp suất tác dụng từ bên ngoài vào mặt thoáng chất lỏng.Tĩnh học chất lỏngGV: Nguyễn Đức Vinh17Hình 2.5: Áp suất thủy tĩnh tại điểm ADo đó, lực tác dụng lên thành và đáy b ình không phụ thuộc vào hình dáng và th ể tíchcủa bình mà chỉ phụ thuộc vào độ sâu của mực chất lỏng trong b ình và diện tích tác dụng.G = P.F = (P0 + gH)F (2.17)Trong đó F là diện tích thành hoặc đáy bình chịu tác dụng của áp lực.Từ công thức (2.17) ta thấy, áp lực chung của chất lỏng tác dụng l ên thành bình đượchợp bởi 2 lực:- Lực do áp suất bên ngoài P0 truyền vào chất lỏng đến mọi điểm trong b ình vớitrị số như nhau- Lực do áp suất của cột chất lỏng hay áp suất d ư gH gây ra thì thay đổi theochiều cao thành bình, càng sâu tr ị số càng lớn.4. Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh.Ta có phương trình cơ bản tĩnh lực học chất lỏng nh ư sau:4.1. Ý nghĩa hình học: Z: là độ cao hình học của điểm đang xét với mặt chuẩn nằm ngang. p/γ: độ cao áp suất H: gọi là cột nước thủy tĩnh, nó là độ cao đo áp tuyệt đối (nếu p l à áp suấttuyệt đối) hoặc dư (nếu p là áp suất dư).Tĩnh học chất lỏngGV: Nguyễn Đức Vinh18Vậy phương trình cơ bản thủy tĩnh học có nghĩa là: Trong một môi trường chất lỏngđứng cân bằng, cột n ước thủy tĩnh đối với bất kỳ một điểm nào là một hằng số.Hình 2.6 Sơ đồ biểu diễn mức năng l ượng4.2. Ý nghĩa năng lượng (ý nghĩa vật lý): Z: Vị năng đơn vị, hoặc gọi tỷ vị năng. p/γ: Áp năng đơn vị, hoặc gọi tỷ áp năng H: Thế năng đơn vị, hoặc gọi tỷ thế năng.Vậy thế năng đơn vị của chất lỏng đứng cân bằng l à một hằng số đối với mọi điểmtrong chất lỏng.5. Áp suất chất lỏng trong tĩnh t ương đối5.1. Bình chứa chất lỏng chuyển động tịnh tiến có gia tốc không đổiĐể xác định qui lụât phân bố áp suấtchúng ta chọn hệ toạ độ không quán tính (hệtoạ độ được gắn vào bình chứa chất lỏng).Thành phần gia tốc khối theo các trụ toạ độ:Phân bố áp suất:Với: Fx = -a; Fy = 0; Fz = -g.Hình 2.7 Chất lỏng chuyển động tịnhtiếnTĩnh học chất lỏngGV: Nguyễn Đức Vinh19Suy ra:(2.18)Đối với hai điểm A v à B theo phương thẳng đứng:*A BA BB A ABap pgZ gZp p hp p h       (2.19)Phương trình mặt đẳng áp:0aadx gdz ax gz C z x Cg         (2.20)5.2. Bình quay đều (w=const)Chuyển động quay của b ình được truyền vào chất lỏng. Phân tố lỏng ở tại r sẽ có vậntốc u = r.w . Lực chất lỏng tác dụng l ên phân tố lỏng gồm có trọng lực v à và lực ly tâm.chuyển độngPhân bố áp suất:Trong trường hợp này ta có:Theo phương trình vi phân cơ bản, thaycác giá trị lực vào ta có:Suy ra:(2.21)Đối với hai điểm A v à B theo phương thẳng đứng:Hình 2.8 Bình quay đềuTĩnh học chất lỏngGV: Nguyễn Đức Vinh202 2 2 2*2 2A A B BA BB A ABap w r p w rZ Zg gp p hp p h         (2.22)Phương trình mặt đẳng áp:2 22 22 2022w rw xdx w ydy gdz z Cgw rz Cg       (2.23)Đây là phương trình của những mặt parabônlôit. Khi C=0 chún g ta có phương trìnhmặt thoáng.Từ phương trình trên ta thấy: nếu w càng lớn thì đỉnh parabôn càng tụt xuống, thậmchí xuống dưới đáy bình. Trong bơm li tâm có v òng quay lớn thì lực ly tâm lớn hơn trọnglực nên chúng ta có thể bỏ qua thành phần trọng lực. Mặt đẳng áp trong trường hợp nàylà mặt trụ đối xứng với trục quay. Áp suất đ ược tính theo công thức sau:(2.24)

YOMEDIA

ADSENSE

Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:

YOMEDIA

1.Áp suất thủy tĩnh

  Khối chất lỏng ở trạng thái tĩnh chịu hai lực tác dụng: lực khối và lực mặt. Khi ρ =const thì lực khối tỷ lệ thuận với thể tích khối chất lỏng và tác dụng lên mọi phần tử của thể tích khối chất lỏng đó. Lực tác dụng lên bề mặt khối chất lỏng gọi là lực mặt.

Áp suất thủy tĩnh có đặc điểm:

 - Tác dụng theo phương pháp tuyến và hướng vào trong chất lỏng. Vì nếu theo phương bất kì và có lực kéo ra phía ngoài thì sẽ làm chất lỏng chuyển động, trái với điều kiện cân bằng tĩnh của chất lỏng.

 - Tại một điểm bất kì trong chất lỏng có giá trị bằng nhau theo mọi phương.

 -  Là hàm số của tọa  độ p=(x, y, z) nên tại những  điểm khác nhau trong chất lỏng thì có giá trị khác nhau.

2.Phương trình cơ bản của tĩnh lực học chất lỏng

Phương trình (*) được gọi là phương trình cơ bản của tĩnh lực học chất lỏng. Nó  được dùng  để xác  định áp suất thủy tĩnh trong khối chất lỏng tại những điểm khác nhau và chỉ rõ trong khối chất lỏng đồng nhất ở trạng thái tĩnh thì mọi điểm cùng nằm trên mặt phẳng nằm ngang đều có cùng một áp suất thủy tĩnh.

Trong phương trình (*):

-  Đại lượng z đặc trưng chiều cao hình học tại điểm đang xét so với mặt chuẩn và có đơn vị là m. 

Xét điểm A trong bình kín chứa nước có áp suất trên bề mặt pB>pA. Ống kín đầu được hút chân không nên p0=0.

Chiều cao cột nước trong ống ha được gọi là chiều cao pezomét (chiều cao cột áp) ứng với áp suất tuyệt đối vì lúc này đang so với áp suất chân không tuyệt đối p0=0:

pa= ρg ha

  Còn ống hở đầu có áp suất là pa (áp suất khí quyển) nên chiều cao của cột nước là chiều cao pezomét ứng với áp suất dư  tại điểm A vì lúc này đang so với áp suất khí quyển: 

pdư=pA-pa= ρg hdư

Như vậy, hiệu số chiều cao pezomét ứng với áp suất tuyệt đối và áp suất dư chính bằng chiều cao ứng với áp suất khí quyển tức là pa/ρg =10mH2O.

Điểm 4.6/5 dựa vào 87 đánh giá

• SmartPay : Mở ví điện tử đơn giản tiện lợi Click xem
• Pierre Cardin : Sale off cuối năm 50% Click xem
• MB Android : Miễn phí chuyển khoản tới tất cả các ngân hàng Click xem