- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các bất phương trình mũ sau:
LG a
\[\displaystyle {[8,4]^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1\]
Phương pháp giải:
Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle {[8,4]^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1\]\[\displaystyle \Leftrightarrow 8,{4^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 8,{4^0}\]\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}} < 0 \]
\[ \Leftrightarrow x - 3 < 0\] [vì \[x^2+1>0,\forall x\]]
\[\Leftrightarrow x < 3\]
LG b
\[\displaystyle {2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}\]
Phương pháp giải:
Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle {2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}\]\[\displaystyle \Leftrightarrow {2^{|x - 2|}} > {2^{2|x + 1|}}\]\[\displaystyle \Leftrightarrow |x - 2| > 2|x + 1|\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {x - 2} \right]^2} > 4{\left[ {x + 1} \right]^2}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 4[{x^2} + 2x + 1]\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 4{x^2} + 8x + 4\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0\]\[\displaystyle \Leftrightarrow - 4 < x < 0\].
LG c
\[\displaystyle \frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}\]
Phương pháp giải:
Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle \frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}\]
\[ \Leftrightarrow {4^x} - {2^{x + 1}} + 8 < {8^x}{.2^{1 - x}}\] [vì\[{2^{1 - x}} > 0\]]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 - x}}\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{2x + 1}}\\
\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 - {2^{2x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 - {2.2^{2x}} < 0\\
\Leftrightarrow - {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < 0
\end{array}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} - 8 > 0\]
Đặt \[\displaystyle t = {2^x} > 0\] ta được: \[\displaystyle {t^2} + 2t - 8 > 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < - 4\\t > 2\end{array} \right.\].
Kết hợp với \[\displaystyle t > 0\] ta được \[\displaystyle t > 2\].
Suy ra \[\displaystyle {2^x} > 2 \Leftrightarrow x > 1\].
LG d
\[\displaystyle \frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}\]
Phương pháp giải:
Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\displaystyle t = {3^x}\left[ {t > 0} \right]\], ta có bất phương trình \[\displaystyle \frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t - 1}}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{{t + 5}} - \frac{1}{{3t - 1}} \le 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{3t - 1 - t - 5}}{{\left[ {t + 5} \right]\left[ {3t - 1} \right]}} \le 0\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{2t - 6}}{{\left[ {t + 5} \right]\left[ {3t - 1} \right]}} \le 0\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{2t - 6}}{{3t - 1}} \le 0\] [do \[\displaystyle t + 5 > 0\]]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{3} < t \le 3\]
Do đó \[\displaystyle \frac{1}{3} < {3^x} \le 3 \Leftrightarrow - 1 < x \le 1\] .
Vậy \[\displaystyle - 1 < x \le 1\].