- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho hai đường thẳng
\[{d_1}:\left\{ \matrix{
x = 8 + t \hfill \cr
y = 5 + 2t \hfill \cr
z = 8 - t \hfill \cr} \right.\] và \[{d_2}:{{3 - x} \over 7} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}\].
LG a
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
Phương pháp giải:
Kiểm tra tích\[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} \ne 0\]
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng\[{d_1}\] đi qua \[{M_1}\left[ {8;5;8} \right]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_1}} \left[ {1;2; - 1} \right]\].
Đường thẳng\[{d_2}\] đi qua \[{M_2}\left[ {3;1;1} \right]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_2}} \left[ { - 7;2;3} \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = \left[ {5;4;7} \right]\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left[ {8;4;16} \right]\].
Do đó \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} = 168 \ne 0\].
Vậy hai đường thẳng\[{d_1}\] và\[{d_2}\] chéo nhau.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \[{d_1}\] và \[{d_2}\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng qua O song song với cả \[{d_1}\] và \[{d_2}\].
\[Mp\left[ \alpha \right]\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left[ {2;1;4} \right]\].
Vậy \[\left[ \alpha \right]:2\left[ {x - 0} \right] + 1\left[ {y - 0} \right] + 4\left[ {z - 0} \right] = 0 \] \[\Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\].
Rõ ràng \[{M_1},{M_2} \notin \left[ \alpha \right]\].
Vậy\[\left[ \alpha \right]\] chính là mặt phẳng cần tìm.
LG c
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\[{d_1}\] và \[{d_2}\].
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau\[d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\]
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \[{d_1}\] và\[{d_2}\] là:
\[d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} \] \[= {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \]
LG d
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Giả sử PQ là đường vuông góc chung của\[{d_1}\] và\[{d_2}\] với \[P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}\]. Khi đó ta có các giá trị t và t sao cho: \[P\left[ {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 - t} \right],\,Q\left[ {3 - 7t'\,;\,1 + 2t'\,;\,1 + 3t'} \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow {PQ} = \left[ { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right]\].
Vectơ \[\overrightarrow {PQ} \] đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_1}} \]và \[\overrightarrow {{u_2}} \] nên
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 5 - 7t' - t + 2\left[ { - 4 + 2t' - 2t} \right] - \left[ { - 7 + 3t' + t} \right] = 0 \hfill \cr
- 7\left[ { - 5 - 7t' - t} \right] + 2\left[ { - 4 + 2t' - 2t} \right] + 3\left[ { - 7 + 3t' + t} \right] = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 6t' - 6t = 6 \hfill \cr
62t' + 6t = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t' = 0 \hfill \cr
t = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[P\left[ {7;3;9} \right]\,,\,Q\left[ {3;1;1} \right]\] và do đó, đường vuông góc chung của \[{d_1}\] và \[{d_2}\] có phương trình:
\[{{x - 3} \over {7 - 3}} = {{y - 1} \over {3 - 1}} = {{z - 1} \over {9 - 1}} \] \[\Leftrightarrow {{x - 3} \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z - 1} \over 4}\]