- LG a
- LG b
Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển độnglên xuống qua vị trí cân bằng.
Khoảng cách \[h\] từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm \[t\] giây được tính theo công thức \[h = |d|\] trong đó
\[d = 5\sin6t 4\cos6t\],
với \[d\] được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng \[d > 0\] khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, \[d < 0\] khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi :
LG a
Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[d=5\sin 6t - 4cos6t\] \[ = \sqrt {41} \left[ {{5 \over {\sqrt {41} }}\sin 6t - {4 \over {\sqrt {41} }}\cos 6t} \right] \] \[= \sqrt {41} \sin \left[ {6t - \alpha } \right]\]
trong đó số \[α\] được chọn sao cho \[\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {41} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {4 \over {\sqrt {41} .}}\]
Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được \[α 0,675\].
Vật ở vị trí cân bằng khi \[d = 0\], nghĩa là \[\sin[6t α] = 0\]
\[ \Leftrightarrow t = {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6}\] [với \[k \in\mathbb Z\]]
Ta cần tìm \[k\] nguyên dương sao cho \[0 t 1\]
\[0 t 1\] \[ 0 \le {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6} \le 1 \] \[\Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi }\]
Với \[α 0,675\], ta thu được \[-0,215 < k < 1,7\], nghĩa là \[k\in \{0;1\}\].
Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là :
\[t \approx {\alpha \over 6} \approx 0,11\] [giây] và \[t = {\alpha \over 6} + {\pi \over 6} \approx 0,64\] [giây]
LG b
Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?
[Tính chính xác đến \[{1 \over {100}}\] giây].
Lời giải chi tiết:
Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi \[|d|\] nhận giá trị lớn nhất.
Điều đó xảy ra nếu \[\sin[6t α] = ± 1\]. Ta có :
\[\sin \left[ {6t - \alpha } \right] = \pm 1 \]
\[\Leftrightarrow \cos \left[ {6t - \alpha } \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow t= {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6}\]
Ta tìm k nguyên dương sao cho \[0 t 1\]
\[\eqalign{
& 0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6} \le 1 \cr
& \Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } - {1 \over 2} \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi } - {1 \over 2} \cr} \]
Với \[α 0,675\], ta thu được \[-0,715 < k < 1,2\]; nghĩa là \[k \in {\rm{\{ }}0;1\} \]. Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là :
\[t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} \approx 0,37\,\left[ {s} \right]\] và \[t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + {\pi \over 6} \approx 0,90\,\left[ \text{s} \right]\]