Bài 35 trang 61 sbt hình học 12 nâng cao

LG 1

Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kínhRcho trước.

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu bán kính đáy hình nón làx, chiều cao hình nón lày\((0 < x \le R,0 < y < 2R).\)

GọiSSlà đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón ta có

\({x^2} = y\left( {2R - y} \right).\)

GọiV1là thể tích khối nón thì

\(\eqalign{ & {V_1} = {1 \over 3}\pi {x^2}y = {1 \over 3}\pi y.y(2R - y) \cr & = {\pi \over 6}\left( {4R - 2y} \right).y.y \cr & \le {\pi \over 6}{\left( {{{4R - 2y + y + y} \over 3}} \right)^3} = {{32\pi {R^3}} \over {81}}. \cr} \)

Vậy thể tích \({V_1}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \({{32\pi {R^3}} \over {81}}\) khi và chỉ khi4R-2y=y

\( \Leftrightarrow y = {{4R} \over 3},\) từ đó \({x^2} = {{4R} \over 3}\left( {2R - {{4R} \over 3}} \right) = {{8{R^2}} \over 9}\) hay \(x = {{2R\sqrt 2 } \over 3}.\)

LG 2

Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kínhrcho trước.

Lời giải chi tiết:

Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cânSABvà cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kínhrvà hình tròn này nội tiếp tam giác cânSAB(H.79b)

Kí hiệu bán kính đáy hình nón làx,chiều cao hình nón lày (x > 0, y > 2r)thì

\(\left( {AH + SA} \right)r = {1 \over 2}AB.SH\)

\( \Leftrightarrow (x + \sqrt {{x^2} + {y^2}} )r = xy \Leftrightarrow {x^2} = {{{r^2}y} \over {y - 2r}},\)

Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kínhrlà

\({V_2} = {1 \over 3}\pi {x^2}y = {1 \over 3}\pi {r^2}.{{{y^2}} \over {y - 2r}}.\)

Ta có

\(\eqalign{ & {{{y^2}} \over {y - 2r}} = {{{y^2} - 4{r^2} + 4{r^2}} \over {y - 2r}} = y + 2r + {{4{r^2}} \over {y - 2r}} \cr & = y - 2r + {{4{r^2}} \over {y - 2r}} + 4r \cr & \ge 2\sqrt {(y - 2r).{{4{r^2}} \over {y - 2r}}} + 4r = 8r. \cr} \)

Từ đó \({V_2} \ge {1 \over 3}\pi .8{r^3},\) tức là \({V_2}\) đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi

\(y - 2r = {{4{r^2}} \over {y - 2r}} \Leftrightarrow y = 4r,\)

Từ đó \(x = r\sqrt 2 .\)