- LG a
- LG b
Cho phương trình \[{x^2} + px - 5 = 0\]có nghiệm là \[x_1;x_2\]. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
LG a
\[x_1\]và \[-x_2\].
Phương pháp giải:
Áp dụng:
* Hệ thức Vi-ét:
Nếu \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\]là hai nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\,[a \ne 0]\]thì:
\[\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}& & \\ x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a} & & \end{matrix}\right.\]
*Phương trình có hai nghiệm \[x_1;x_2\] có dạng:\[\left[ {x - {x_1}} \right]\left[ {x - {x_2}} \right] = 0\].
Lời giải chi tiết:
Phương trình \[{x^2} + px - 5 = 0\]có hai nghiệm \[x_1\]và \[x_2\].
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - {p \over 1} = - p \cr
& {x_1}{x_2} = {{ - 5} \over 1} = - 5 \cr} \] [1]
Hai số \[-x_1\]và \[-x_2\]là nghiệm của phương trình:
\[\left[ {x - \left[ { - {x_1}} \right]} \right]\left[ {x - \left[ { - {x_2}} \right]} \right] = 0 \]
\[ \Leftrightarrow \left[ {x + {x_1}} \right]\left[ {x + {x_2}} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {x_2}x +{x_1}x +{x_1} {x_2} = 0 \]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + \left[ {{x_1} + {x_2}} \right]x + {x_1}{x_2} = 0 \;\;[2] \]
Từ [1] và [2] phương trình phải tìm là:\[{x^2} - px - 5 = 0\]
LG b
\[\displaystyle {1 \over {{x_1}}}\]và\[\displaystyle {1 \over {{x_2}}}\]
Phương pháp giải:
Áp dụng:
* Hệ thức Vi-ét:
Nếu \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\]là hai nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\,[a \ne 0]\]thì:
\[\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}& & \\ x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a} & & \end{matrix}\right.\]
*Phương trình có hai nghiệm \[x_1;x_2\] có dạng:\[\left[ {x - {x_1}} \right]\left[ {x - {x_2}} \right] = 0\].
Lời giải chi tiết:
Phương trình \[{x^2} + px - 5 = 0\]có hai nghiệm \[x_1\]và \[x_2\].
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - {p \over 1} = - p \cr
& {x_1}{x_2} = {{ - 5} \over 1} = - 5 \cr} \] [1]
Hai số \[\displaystyle {1 \over {{x_1}}}\]và \[\displaystyle {1 \over {{x_2}}}\]là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{
& \left[ {x - {1 \over {{x_1}}}} \right]\left[ {x - {1 \over {{x_2}}}} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - {1 \over {{x_2}}}x - {1 \over {{x_1}}}x + {1 \over {{x_1}}}.{1 \over {{x_2}}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - \left[ {{1 \over {{x_1}}} + {1 \over {{x_2}}}} \right]x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - {{{x_1} + {x_2}} \over {{x_1}{x_2}}}x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0\;\;\;[3] \cr} \]
Từ [1] và [3] suy ra phương trình phải tìm là:
\[\eqalign{
& {x^2} - {{ - p} \over { - 5}}x + {1 \over { - 5}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - {p \over 5}x - {1 \over 5} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5{x^2} - px - 1 = 0 \cr} \]