Phép cộng, trừ số nguyên
PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ NGUYÊN
I. Cộng hai số nguyên cùng dấu
1. Phép cộng hai số nguyên dương
Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác \[0\].
Ví dụ: \[2 + 4 = 6\].
2. Phép cộng hai số nguyên âm
Để cộng hai số nguyên âm, ta làm như sau:
Bước 1: Bỏ dấu “-” trước mỗi số
Bước 2: Tính tổng của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Thêm dấu “-” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có tổng cần tìm.
Nhận xét:
- Tổng của hai số nguyên dương là số nguyên dương.
- Tổng của hai số nguyên âm là số nguyên âm.
Chú ý: Cho \[a,\,\,b\] là hai số nguyên dương, ta có:
\[\begin{array}{l}\left[ { + a} \right] + \left[ { + b} \right] = a + b\\\left[ { - a} \right] + \left[ { - b} \right] = - \left[ {a + b} \right]\end{array}\]
Ví dụ:
\[\left[ { - 3} \right] + \left[ { - 5} \right] = - \left[ {3 + 5} \right] = - 8\].
\[\left[ { - 13} \right] + \left[ { - 7} \right] = - \left[ {13 + 7} \right] = - 20\].
* Hai số đối nhau:
Hai số nguyên trên trục số nằm ở hai phía của điểm \[0\] và cách đều điểm \[0\] được gọi là hai số đối nhau.
Chú ý:
- Tổng 2 số đối nhau bằng 0
- Số đối của một số nguyên dương là một số nguyên âm.
- Số đối của một số nguyên âm là một số nguyên dương.
- Số đối của \[0\] là \[0.\]
Ví dụ:
+ Số đối của \[3\] là \[ - 3\].
+ Số đối của \[ - 12\] là \[12\].
+ Số đối của 2021 là \[ - 2021\].
* Quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu:
Để cộng hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:
Bước 1: Bỏ dấu “-” trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại.
Bước 2. Trong hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta lấy số lớn hơn trừ đi số nhỏ hơn.
Bước 3. Cho hiệu vừa nhận được dấu ban đầu của số lớn hơn ở Bước 2, ta có tổng cần tìm.
Nhận xét: Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng \[0\]: \[a + \left[ { - a} \right] = 0\].
Chú ý:
- Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta có tổng dương.
- Nếu số dương bằng số đối của số âm thì ta có tổng bằng \[0\].
- Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta có tổng âm.
Ví dụ:
a] \[\left[ { - 8} \right] + 2 = - \left[ {8 - 2} \right] = - 6.\]
b] \[17 + \left[ { - 5} \right] = 17 - 5 = 12\].
c] \[\left[ { - 5} \right] + 5 = 0\] [Do \[ - 5\] và \[5\] là hai số đối nhau].
Phép cộng số nguyên có các tính chất:
- Giao hoán: \[a + b = b + a\];
- Kết hợp: \[\left[ {a + b} \right] + c = a + \left[ {b + c} \right];\]
- Cộng với số \[0\]: \[a + 0 = 0 + a;\]
- Cộng với số đối: \[a + \left[ { - a} \right] = \left[ { - a} \right] + a = 0.\]
Ví dụ 1:
Tính một cách hợp lí: \[\left[ { - 34} \right] + \left[ { - 15} \right] + 34\]
Ta có:
\[\left[ { - 34} \right] + \left[ { - 15} \right] + 34\]
\[= \left[ { - 15} \right] + \left[ { - 34} \right] + 34\] [Tính chất giao hoán]
\[ = \left[ { - 15} \right] + \left[ {\left[ { - 34} \right] + 34} \right]\] [Tính chất kết hợp]
\[ = \left[ { - 16} \right] + 0\] [cộng với số đối]
\[ = - 16\] [cộng với số 0].
Ví dụ 2:
Trong một ngày, nhiệt độ ở Mát-xcơ-va lúc 5 giờ là \[ - {7^o}C\], đến 10 giờ tăng thêm \[{6^o}C\] và lúc 12 giờ tăng thêm \[{4^o}C\]. Nhiệt độ ở Mát-xcơ-va lúc 12 giờ là bao nhiêu?
Giải
Nhiệt độ ở Mát-xcơ-va lúc 12 giờ là:
\[\left[ { - 7} \right] + 6 + 4 = \left[ { - 7} \right] + \left[ {6 + 4} \right] = \left[ { - 7} \right] + 10 = 10 - 7 = 3\,\,\left[ {^oC} \right]\].
Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b:
a - b = a + [-b]
CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ NGUYÊN
- Nếu phép tính chỉ có phép cộng [phép trừ] thì ta sử dụng quy tắc cộng [trừ] hai số nguyên.
- Nếu phép tính có nhiều hơn một phép cộng và phép trừ ta thực hiện theo thứ tự từ trái qua phải.
Ví dụ:
Tính \[A = 15 - [ - 12] + 4\]
Ta thấy trong biểu thức A có chứa nhiều hơn một phép cộng [trừ] => Ta thực hiện theo thứ tự từ trái qua phải. Do đó ta làm như sau:
\[\begin{array}{l}A = 15 - [ - 12] + 4\\A = 15 + 12 + 4\\A = 27 + 4\\A = 31\end{array}\]
Vậy \[A = 31\].
Dựa vào đề bài để áp dụng một trong các quy tắc sau:
- Muốn tìm một số hạng trong một tổng ta lấy tổng trừ đi số hạng còn lại.
- Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu.
- Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng số trừ.
=> Kết luận.
Ví dụ:
Tìm \[x\], biết: \[30 - x = 12\]
Ta thấy trong phép trừ trên \[x\] là số trừ => Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ [số 30] trừ đi hiệu [số 12]. Do đó ta làm như sau:
\[\begin{array}{l}30 - x = 12\\x = 30 - 12\\x = 18\end{array}\]
Vậy \[x = 18\].
Bước 1: Áp dụng quy tắc cộng, trừ số nguyên để thực hiện các phép tính
Bước 2: So sánh kết quả vừa tìm được ở bước 1
Bước 3: Kết luận
Ví dụ:
So sánh \[A = - 13 - [ - 34] + 25\] và \[B = - 7 + 35 - 13\]
Bước 1:
\[\begin{array}{l}A = - 13 - [ - 34] + 25\\A = - 13 + 34 + 25\\A = 21 + 25\\A = 46\end{array}\]
\[\begin{array}{l}B = - 7 + 35 - 13\\B = 28 - 13\\B = 15\end{array}\]
Bước 2: Ta thấy \[46 > 15\] nên \[A > B\]
Bước 3: Vậy \[A > B\].
Tùy đặc điểm từng bài, ta có thể giải theo các cách sau :
- Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng
- Cộng [trừ] dần hai số một
- Cộng các số dương với nhau, cộng các số âm với nhau, cuối cùng cộng các kết quả vừa tính được với nhau.
Ví dụ:
Tính: \[A = 5 + [ - 18] + 95 + [ - 82] + 100\]
\[\begin{array}{l}A = 5 + [ - 18] + 95 + [ - 82] + 100\\A = [5 + 95] + \left[ {\left[ { - 18} \right] + \left[ { - 82} \right]} \right]\\A = 100 + \left[ { - 100} \right] + 100\\A = 0 + 100\\A = 100\end{array}\].
- Bước 1: Căn cứ vào yêu cầu của đề bài suy luận để quy về phép cộng [trừ] hai số nguyên
- Bước 2: Thực hiện phép tính
- Bước 3: Kết luận.
Ví dụ:
Nhiệt độ ở Sa Pa vào buổi trưa là \[{2^0}C\], đến tối nhiệt độ giảm \[{4^o}C\]. Tính nhiệt độ buổi tối tại SaPa.
Do nhiệt độ buổi tối giảm \[{4^o}C\] so với buổi trưa nên ta sử dụng phép trừ
Do nhiệt độ buổi tối giảm \[{4^o}C\] so với buổi trưa nên ta có: \[2 - 4 = - 2\,\,\left[ {^oC} \right]\]
Vậy nhiệt độ buổi tối tại SaPa là \[ - {2^o}C\].
- Bước 1: Thay giá trị của ẩn vào biểu thức
- Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng [trừ] hai số nguyên để thự hiện tính giá trị biểu thức.
- Bước 3: Kết luận.
Ví dụ:
Tính giá trị của \[M = 12 - x\] tại \[x = 20\]
Bước 1: Thay \[x = 20\] vào \[M\] ta được:
Bước 2:
\[\begin{array}{l}M = 12 - x\\M = 12 - 20\\M = - 8\end{array}\].
Vậy tại \[x = 20\] thì \[M=-8\].
- Bước 1: Liệt kê tất cả các số nguyên trong khoảng cho trước
- Bước 2: Tính tổng tất cả các số nguyên đó, chú ý nhóm từng cặp số đối nhau bằng cách sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp.
Ví dụ:
Tính tổng các số nguyên thỏa mãn: \[ - 5 < x \le 3\]
Bước 1: Theo đề bài có \[ - 5 < x \le 5\] nên \[x \in \left\{ { - 4;\, - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3} \right\}\]
Bước 2: Ta có:
\[\begin{array}{l}\left[ { - 4} \right] + \left[ { - 3} \right] + \left[ { - 2} \right] + \left[ { - 1} \right] + 0 + 1 + 2 + 3\\ = \left[ { - 4} \right] + \left[ {\left[ { - 3} \right] + 3} \right] + \left[ {\left[ { - 2} \right] + 2} \right] + \left[ {\left[ { - 1} \right] + 1} \right] + 0\\ = \left[ { - 4} \right] + 0 + 0 + 0 + 0\\ = - 4\end{array}\].
Trả lời câu hỏi Hoạt động, luyện tập, vận dụng trang 62, 63, 64, 65 Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống. Giải Bài 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16, 3.17 , 3.18 trang 66 SGK Toán lớp 6 tập 1 KNTT. Bài 14. Phép cộng và phép trừ số nguyên – Chương 3 Số nguyên
Từ gốc O trên trục số, di chuyển sang trái 3 đơn vị đến điểm A [h 3.10]. Điềm A biểu diễn số nào?
Điểm A biểu diễn số -3
Hoạt động 2 trang 62 SGK Toán 6
Di chuyển tiếp sang trái thêm 5 đơn vị đến điểm B [h3.11]. B chính là điểm biểu diễn kết quả của phép cộng [-3] + [-5]. Điểm B biểu diễn số nào? Từ đó suy ra giá trị của tổng [-3] + [-5].
Điểm B biểu diễn số -8
Từ đó ta có: [-3] + [-5] = -8
Luyện tập 1
Thực hiện các phép cộng sau:
[- 12] + [- 48]; [-236] + [- 1025].
[-12] + [-48] = -[12 + 48] = -60
[-236] + [-1 025] = -[236 + 1 025] = -1 261
Vận dụng 1 trang 63 Toán 6 KNTT
Sử dụng phép cộng hai số nguyên âm để giải bài toán sau [h.3.12]:
Một chiếc tàu ngầm cần lặn [coi là theo phương thẳng đứng] xuống điểm A dưới đáy biển. Khi tàu đến điểm B ở độ cao – 135 m, máy đo bảo rằng tàu còn cách A một khoảng 45 m. Hỏi điểm A nằm ở độ cao bao nhiêu mét?
Điểm A nằm ở độ cao: -[135 + 45] = -180[m]
Câu hỏi trang 63 Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống
Tìm số đối của 4, -5, 9, -11.
Trên trục số hai điểm có cùng khoảng cách đến gốc O được gọi là hai số đối nhau.
Số đối của 4, 45, 9, -11 lần lượt là: -4, 5, -9, 11
Luyện tập 2
Tìm số đối của mỗi số 5 và 42 rồi biểu diễn chúng trên cùng một trục số.
Số đối của 5 là -5; số đối của -2 là 2.
Hoạt động 3
Từ điểm A biểu diễn số -5 trên trục số di chuyển sang phải 3 đơn vị [h.3.15] đến điểm B. Điểm B biểu diễn kết quả phép cộng nào?
Điểm B biểu diễn kết quả phép cộng: [-5] + 3.
Hoạt động 4
Từ điểm A di chuyển sang phải 8 đơn vị [h.3.16] đến điểm C, Điểm C biểu diễn kết quả của phép cộng nào?
Điểm C biểu diễn kết quả phép cộng: [-5] + 8
Luyện tập 3 trang 64 Toán 6
Thực hiện phép tính: a] 203 + [-195]; b] [-137] + 86.
a] 203 + [-195] = 203 – 195 = 8
b] [-137] + 86 = -[137 – 86] = -51
Trả lời Vận dụng 2
Sử dụng phép cộng hai số nguyên khác dầu để giải bài toán sau:
Một máy thăm dò đáy biển ngày hôm trước hoạt động ở độ cao -946 m. Ngày hôm sau người ta cho máy nổi lên 55 m so với hôm trước. Hỏi ngày hôm sau máy thăm dò đáy biển hoạt động ở độ cao nào?
Ngày hôm sau, máy thăm dò hoạt động ở độ cao:
-946 + 55 = -891 [m]
Tranh luận trang 6 Toán 6 Kết nối tri thức
Đố bạn: tổng của hai số nguyên khác dấu là số dương hay số âm?
Em hãy trả lời giúp Vuông.
Dựa vào quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu:
Muốn cộng hai số nguyên khác dấu [không đối nhau], ta tìm hiệu hai phần số tự nhiên của chúng [số lớn trừ số nhỏ] rồi đặt trước hiệu tìm được dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.
Tổng của hai số nguyên khác dấu mang dấu của số hạng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Hoạt động 5
Tính và so sánh giá trị của a + b và b + a với a = -7, b = 11.
a + b = -7 + 11 = 4
b + a = 11 + [-7] = 4
Vậy a + b = b + a.
Hoạt động 6
Tính và so sánh giá trị của [a + b] + c và a + [b + c] với a = 2, b = -4, c = -6.
[a + b] + c = [2 + [-4]] + [-6] = [-2] + [-6] = -8
a + [b + c] = 2 + [[-4] + [-6]] = 2 + [-10] = -8
Luyện tập 4 trang 65 Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống
Tính một cách hợp lí:
a] [-2 019] + [-550] + [-451];
b] [-2] + 5+ [-6] + 9.
a] [-2 019] + [-550] + [-451] = [-2 019] + [-451] + [-550] = [[-2 019] + [-451]] + [-550] = [-2 470] + [-550] = 3 020
b] [-2] + 5 + [-6] + 9 = [[-2] + 5 ]+[ [-6] + 9] = 3 + 3 = 6
Hoạt động 7
Nửa tháng đầu một cửa hàng bán lẻ lãi được 5 triệu đồng, nửa tháng sau bị lỗ 2 triệu đồng. Hỏi tháng đó cửa hàng lãi hay lỗ bao nhiêu triệu đồng?
Cách 1: Hiệu giữa số tiền lãi và số tiền lỗ là: 5 – 2 = 3
Vậy cửa hàng đó lãi 3 triệu đồng
Cách 2: Lỗ 2 triệu nghĩa là lãi [-2] triệu
Vậy cửa hàng đó lãi: 5 + [-2] = 3 [triệu đồng]
Hoạt động 8
Hãy quan sát ba dòng đầu và dự đoán kết quả ở hai dòng cuối:
3 – 1 = 3 + [-1]
3 – 2 = 3 + [-2]
3 – 3 = 3 + [-3]
3 – 4 = ?
3 – 5 = ?.
Dự đoán: 3 – 4 = 3 + [-4]
3 – 5 = 3 + [-5].
Luyện tập 5 trang 66 Toán 6 KNTT
Tính các hiệu sau: a] 5 – [-3]; b] [-7] – 8.
Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b:
a – b = a + [-b].
a] 5 – [-3] = 5 + 3 = 8.
b] [-7] – 8 = [-7] + [-8] = -15.
Vận dụng 3 trang 66 Toán 6 tập 1
Nhiệt độ bên ngoài của một máy bay ở độ cao 10 000 m là -48oC. Khi hạ cánh, nhiệt độ ở sân bay là 27°C. Hỏi nhiệt độ bên ngoài của máy bay khi ở độ cao 10 000 m và khi hạ cánh chênh lệch bao nhiêu độ C?
Nhiệt độ bên ngoài của máy bay ở độ cao 10 000m và khi hạ cánh chênh lệch nhau:
27 – [-48] = 75 [oC]
Giải Bài 3.9 trang 66 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1
Tính tổng hai số cùng dấu:
a] [-7] + [-2]; b] [-8] + [-5]:
c] [-11] + [-7]; d] [-6] + [-15].
a] [-7] + [-2] = -[7 + 2] = -9
b] [-8] + [-5] = -[8 + 5] = -13
c] [-11] + [-7] = -[ 11 + 7] = -18
d] [-6] + [-15] = -[6 + 15] = -21
Bài 3.10 trang 66 Toán 6
Tính tổng hai số khác dấu:
a] 6 + [-2]; b] 9 + [-3];
c] [-10] + 4 d] [-1] + 8.
a] 6 + [-2] = 6 – 2 = 4
b] 9 + [-3] = 9 – 3 = 6
c] [-10] + 4 = -[10 – 4] = -6
d] [-1] + 8 = 8 – 1 = 7
Bài 3.11
Biểu diễn – 4 và sổ đổi của nó trên cùng một trục số.
Số đối của 4 là – 4. Ta biểu diễn chúng trên trục số:
Bài 3.12 trang 66 Toán lớp 6 Kết nối tri thức
Thực hiện các phép trừ sau:
a] 9 – [-2];
b] [-7] – 4
c] 27 – 30
d] [-63] – [-15].
a] 9 – [-2] = 9 + 2 = 11
b] [-7] – 4 = -7+ [-4] = -[7 + 4] = -11
c] 27 – 30 = 27+ [-30] = -[30 – 27] = -3
d] [-63] – [-15] = [-63] + 15 = -[63 -15]= – 48.
Bài 3.13 trang 66 Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống
Vẽ trục số và dùng phép cộng hai số khác dấu để giải bài toán:
Giả sử có một con ếch nhảy dọc theo một trục số. Đầu tiên ếch nhảy từ gốc O đến điểm A biểu diễn số 4. Tiếp theo, ếch nhảy theo chiều ngược lại đến điểm B cách điểm A một khoảng bằng 6 đơn vị. Hỏi điểm B biểu diễn số nào trên trục số?
Con ếch nhảy theo chiều ngược lại => Thực hiện phép trừ
Điểm B biểu diễn số: 4 – 6 = -2
Bài 3.14 Toán 6 trang 66
Mỗi hình sau đây mô phỏng phép tính nào? [Tất cả đều xuất phát từ gốc O].
a] Hình vẽ mô tả phép tính: 0 – 5 + 3 = -2
b] Hình vẽ mô tả phép tính: 0 + 2 – 5 = -3
Giải Bài 3.15
Tính nhẩm:
a] [-3] + [-2] b] [-8] – 7:
c] [-35] + [-15] d] 12 – [-8].
a] [-3] + [-2] = -[3 + 2] = -5
b] [-8] – 7 = [-8] + [-7] = -[8 + 7] = -15
c] [-35] + [-15] = -[35 + 15] = -50
d] 12 – [-8] = 12 + 8 = 20
Bài 3.16 SGK Toán 6 Kết nối tri thức
Tính một cách hợp lí:
a] 152 + [-73] – [-18] – 127;
b] 7 + 8+ [-9] + [-10].
Áp dụng tính chất giao hoán và phân phối của phép cộng
a] 152 + [-73] – [-18] – 127 = 152 – 73 +18 -127
= [152 + 18] – [127 + 73] = 170 – 200 = -30
b] 7 + 8 + [-9] + [-10] = [7 + 8] + [[-9] + [-10]]
= 15 + [-19] = -4.
Bài 3.17 Toán 6 KNTT
Tính giá trị của biểu thức [-156] – x, khi:
a] x = -26
b] x = 76
c] x = [-28] – [-143]
a] [-156] – x = [-156] – [-26] = [-156] + 26 = -130
b] [-156] – x = [-156] – 76 = [-156] + [-76] = -232
c] [-156] – x = [-156] – [-28] + [-143]
= [-156] + 28 + [-143] = -128 + [-143] = -271
Bài 3.18 SGK Toán lớp 6 trang 66
Thay mỗi dấu “*” bằng một chữ số thích hợp để có:
a] [\[ – \overline {6*} \]] + [-34] = – 100;
b] [-789] + \[\overline {2**} \] = -515.
Muốn tìm số hạng ta lấy hiệu trừ đi số hạng còn lại.
a] [\[ – \overline {6*} \]] + [-34] = – 100
[\[ – \overline {6*} \]] = -100 – [-34]
[\[ – \overline {6*} \]] = -100 + 34
[\[ – \overline {6*} \]] = 66
Vậy dấu * là chữ số 6.
b] [-789] + \[\overline {2**} \] = -515.
\[\overline {2**} \] = -515 – [-789]
\[\overline {2**} \] = -515 + 789
\[\overline {2**} \] = 274
Vậy hai dấu * lần lượt là 7 và 4.