33 bài tập - Thể tích khối lăng trụ (Phần 2) - File word có lời giải chi tiết

Câu 1. Cho lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của điểm 1

A

lên

 ABC

trùng với trọng tâm tam giác ABC,

1

2 3

3

a

AA 

. Thể tích khối lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

là:

A.

####### 1 1 1

3.

6

12

ABC A B C

a

V 

B.

####### 1 1 1

3.

6

6

ABC A B C

a

V 

C.

####### 1 1 1

3.

3

12

ABC A B C

a

V 

D.

####### 1 1 1

3.

3

4

ABC A B C

a

V 

Câu 2. Cho lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3 , cạnh bên có độ dài bằng

2 a. Hình chiếu của điểm 1

A

lên

 ABC 

trùng với trung điểm của BC. Thể tích khối lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

là:

A.

####### 1 1 1

3.

3 21

8

ABC A B C

a

V 

B.

####### 1 1 1

3.

21

24

ABC A B C

a

V 

C.

####### 1 1 1

3.

14

12

ABC A B C

a

V 

D.

####### 1 1 1

3.

14

8

ABC A B C

a

V 

Câu 3. Cho lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3. Hình chiếu của điểm 1

A

lên

 ABC 

trùng với trung điểm của BC, cạnh bên hợp với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ

ABC A B C. 1 1 1 là:

A.

####### 1 1 1

3.

3

12

ABC A B C

a

V 

B.

####### 1 1 1

3.

3 3

8

ABC A B C

a

V 

C.

1 1 1

3.

9

8

ABC A B C

a

V 

D.

1 1 1

3.

27

8

ABC A B C

a

V 

Câu 4. Cho lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3. Hình chiếu của điểm 1

A

lên

 ABC 

trùng với trung điểm của BC, mặt

 A AB 1 

hợp với mặt đáy một góc  thỏa mãn

2

tan

3

 

.

Thể tích khối lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

là:

A.

####### 1 1 1

3.

3

24

ABC A B C

a

V 

B.

####### 1 1 1

3.

3 3

8

ABC A B C

a

V 

C.

####### 1 1 1

3.

6

12

ABC A B C

a

V 

D.

####### 1 1 1

3.

6

9

ABC A B C

a

V 

Câu 5. Cho lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a . Hình chiếu

của điểm 1

A

lên

 ABC 

trùng với trung điểm của 1 1

, 2 2

AC S AA C Ca . Thể tích khối lăng trụ ABC A B C. 1 1 1

là:

A.

1 1 1

3.

2

ABC A B C

a

V 

B.

1 1 1

3.

6

ABC A B C

a

V 

C.

####### 1 1 1

3.

2

3

ABC A B C

a

V 

D.

####### 1 1 1

3.

2

6

ABC A B C

a

V 

Câu 6. Cho lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a . Hình chiếu

của điểm 1

A

lên

 ABC 

trùng với trung điểm của AC, cạnh 1

A B

hợp với đáy một góc 45°. Thể tích khối

lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

là:

A.

####### 1 1 1

3.

3

2

ABC A B C

a

V 

B.

####### 1 1 1

3.

3

6

ABC A B C

a

V 

C.

####### 1 1 1

3.

2

6

ABC A B C

a

V 

D.

####### 1 1 1

3.

2

4

ABC A B C

a

V 

Câu 7. Cho lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a . Hình chiếu

của điểm 1

A

lên

 ABC 

trùng với trung điểm của AC, mặt

 A AB 1 

hợp với đáy một góc 60°. Thể tích

khối lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

là:

A.

####### 1 1 1

3.

3

4

ABC A B C

a

V 

B.

####### 1 1 1

3.

3

6

ABC A B C

a

V 

C.

####### 1 1 1

3.

6

6

ABC A B C

a

V 

D.

####### 1 1 1

3.

6

9

ABC A B C

a

V 

Câu 8. Cho lăng trụ 1 1 1 1

ABCD A B C D.

có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Chân đường vuông góc kẻ từ

A 1 lên  ABCD  trùng với giao điểm của 2 đường chéo đáy, mặt  AA B B 1 1  hợp với đáy một góc 60°. Thể

tích khối lăng trụ 1 1 1 1

ABCD A B C D.

là:

A.

####### 1 1 1 1

3.

3

3

ABCD A B C D

a

V 

B.

####### 1 1 1 1

3.

3

2

ABCD A B C D

a

V 

C.

####### 1 1 1 1

3.

6

2

ABCD A B C D

a

V 

D.

####### 1 1 1 1

3.

6

6

ABCD A B C D

a

V 

Câu 9. Cho lăng trụ 1 1 1 1

ABCD A B C D.

có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD  120  . Biết 1

A ABC.

là

hình chóp đều và 1

A D

hợp với đáy một góc 45°. Thể tích khối lăng trụ 1 1 1 1

ABCD A B C D.

là:

A.

3

3 3

8

a

B. Đáp án khác C.

3

2

9

a

D.

3

5 3

8

a

Câu 17. Đáy của một hình hộp đứng là một hình thoi có đường chéo nhỏ bằng d và góc nhọn bằng  .

Diện tích của một mặt bên bằng S. Thể tích hình hộp đã cho là:

A.

sin

2

dS



B. dSsin  C.

1

sin

2

dS 

D.

cos

2

dS



Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. &

039; &

039; &

039; có thể tích là V. Gọi I, J lần lượt là trung điểm cạnh

AA &

039;và BB &

039;. Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC &

039;bằng:

A.

3

5

V

B.

4

5

V

C.

3

4

V

D.

2

3

V

Câu 19. Cho hình hộp ABCD A B C D. &

039; &

039; &

039; &

039; có đáy là hình chữ nhật với AB  3, AD 7. Hai mặt bên

 ABB A&

039; &

039;

và

 ADD A&

039; &

039;

lần lượt tạo với đáy những góc 45° và 60°. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh

bên bằng 1.

A. 3 B. 6 C. 9 D. Đáp án khác

Câu 20. Khối lăng trụ ABC A B C. &

039; &

039; &

039; có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng

đáy bằng 30°. Hình chiếu của đỉnh A &

039;trên mặt phẳng đáy

 ABC 

trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể

tích của khối lăng trụ đã cho là:

A.

3

3

4

a

B.

3

3

3

a

C.

3

3

12

a

D.

3

3

8

a

Câu 21. Cho hình hộp ABCD A B C D. &

039; &

039; &

039; &

039;. Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB D&

039; &

039; và khối hộp

ABCD A B C D. &

039; &

039; &

039; &

039;bằng:

A.

1

6 B.

1

2 C.

1

3 D.

1

4

Câu 22. Cho hình lăng trụ tam giác 1 1 1

ABC A B C.

mà mặt bên 1 1

ABB A

có diện tích bằng 4. Khoảng cách

giữa cạnh 1

CC

và mặt phẳng

 ABB A 1 1 

bằng 7. Khi đó thể tích khối lăng trụ 1 1 1

ABC A B C.

là:

A. 28 B.

14

3 C.

28

3 D. 14

Câu 23. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C. &

039; &

039; &

039;, M là trung điểm của AA &

039;. Mặt phẳng

 MBC&

039;

chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỷ số của hai phần đó bằng:

A.

5

6 B.

1

3 C. 1 D.

2

5

Câu 24. Cho hình lăng trụ ABC A B C. &

039; &

039; &

039; có thể tích là V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Khi đó thể tích của khối chóp C AMN&

039; là:

A. 3

V

B. 12

V

C. 6

V

D. 4

V

Câu 25. Cho hình lăng trụ ABC A B C. &

039; &

039; &

039;. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BB &

039; và CC &

039;. Mặt

phẳng

 AMN 

chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số

&

039; &

039; &

039;..A B C NMAA BCNM

V

V .

A.

1

3 B.

1

2 C. 2 D. 1

Câu 26. Cho lăng trụ ABC A B C. &

039; &

039; &

039; có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A &

039; lên

 ABC 

trùng

với trung điểm của BC. Thể tích của khối lăng trụ là

3

3

8

a

, độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là:

A. a B. 2 a C.

6

2

a

D. a 6

Câu 27. Đáy của khối lăng trụ ABC A B C. &

039; &

039; &

039; có đáy tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên với mặt đáy

của lăng trụ là 30°. Hình chiếu vuông góc của A &

039; xuống đáy

 ABC 

trùng với trung điểm H của cạnh BC.

Thể tích của khối lăng trụ là:

A.

3

2

3

a

B.

3

3

8

a

C.

3

2

12

a

D.

3

3

4

a

Câu 28. Cho hình hộp ABCD A B C D O. &

039; &

039; &

039; &

039;, là giao điểm của AC và BD. Tỷ số thể tích của khối chóp

O A B C D. &

039; &

039; &

039; &

039;và khối hộp ABCD A B C D. &

039; &

039; &

039; &

039;là:

A.

1

2 B.

1

6 C.

1

3 D.

1

4

Câu 29. Cho hình lập phương ABCD A B C D. &

039; &

039; &

039; &

039;, I là trung điểm của BB &

039;. Mặt phẳng

 DIC &

039;

chia khối

lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:

A.

1

3 B.

7

17 C.

4

14 D.

1

2

Câu 30. Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C. &

039; &

039; &

039; có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

BB &

039;và CC &

039;. Thể tích của khối ABCMN bằng:

A. 2

V

B. 3

V

C.

2

3

V

D. 4

V

Câu 31. Cho hình lập phương ABCD A B C D. &

039; &

039; &

039; &

039;. Mặt phẳng

 BDC &

039;

chia khối lập phương thành 2 phần

có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Chọn đáp án D

Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC

Ta có:

2 3 3

.

3 2 3

a a

AH  

Khi đó

2 2

2 2

1 1

4

3 3

a a

A H  A A  AH   a

Do đó

1 1 1

2 3

. 1

3 3

..

4 4

ABC A B C ABC

a a

V S A H  a

.

Câu 2. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của BC khi đó

 3 . 3

2 2

a a

AH  

Mặt khác

2

2 2 2

1 1

9 7

4

4 2

a a

A H  AA  AH  a  

Suy ra

 

1 1 1

2

3

. 1

3 3 7 3

..

4 2 8

ABC A B C ABC

a a a

V S A H 

.

Câu 3. Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC khi đó

 3 . 3

2 2

a a

AH  

Lại có:

  

 

1 1 1

3 3

, 60 tan 60

2

a

AA ABC  A AH    A H  AH  

Suy ra

 

1 1 1

2

3

. 1

3 3 3 3

..

4 2 8

ABC A B C ABC

a a a

V S A H 

.

Câu 4. Chọn đáp án B

Gọi H trung điểm của BC khi đó

 3 . 3

2 2

a a

AH  

Dựng HK  ABlại có 1

A H  AB

do đó

 A KH 1 AB

Suy ra



A KH 1   . Lại có

sin  3 .sin 60 3

2 4

a a

HK HB HBK  

Do đó

1

3 2

tan.

4 3 2

a a

A H HK  

Suy ra

 

1 1 1

2

3

. 1

3 3 3

..

4 2 8

ABC A B C ABC

a a a

V S A H 

.

Câu 5. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của AC, ta có

A H 1   ABC ; AC a 2

Khi đó 1 1

2

A H 1  AC  S ACC A A H AC 1. a 2  A H 1 a

Do vậy

1 1 1

2 3

.. 1.

2 2

ABC A B C ABC

a a

V S A H  a

.

Câu 6. Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của AC, ta có

A H 1   ABC ; AC a 2

Khi đó

  

 



A BH 1  A B 1 , ABC  45 

Mặt khác

1

2 2

2 2 2

AC a a

BH    A H

Do vậy

1 1 1

2 3

. 1

2 2

..

2 2 4

ABC A B C ABC

a a a

V S A H 

.

2

3 2 33

2..

4 3

a a

 a

.

Câu 10. Chọn đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC suy ra

&

039;

&

039;

AM BC

A M BC

AA BC

 

  

 

Do đó

&

039;

1

&

039;. 8 &

039; 4

2

S A BC A M BC   A M 

Lại có:

3 2

2 3 &

039; &

039; 2

2

a

AM    A A  A M  AM 

Suy ra

2. &

039; &

039; &

039;

4 3

. &

039; .2 8 3

4

V ABC A B C S ABC A A 

.

Câu 11. Chọn đáp án C

Dựng BH  AC lại có BB &

039; AC suy ra

 B AB&

039; AC

Do đó

    

 

AB C&

039; , ABC  B AB&

039;  45 

Lại có

BAH  180   120   60   BH AB sin 60  a 3

Suy ra

12

&

039; 3;. 3

2

BB a S ABC BH AC a

Do đó

2 3

VABC A B C . &

039; &

039; &

039; S ABC. BB &

039; a 3 3  3 a.

Câu 12. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của BC suy ra AH BC

Lại có AA &

039; BC suy ra

 A AH&

039; BC

Dựng

AF  A H&

039;  AF   A BC&

039; 

khi đó

6

; 3

2

a

AF  AH a

Mặt khác

2 2 2

1 1 1

&

039; 3

&

039;

AA a

AA AH AF

   

.

Suy ra

 

23. &

039; &

039; &

039;

2 3

. &

039;. 3 3

4

ABC A B C ABC

a

V S A A  a  a

.

Tam giác A AH&

039; vuông tại H, có

sin  &

039; &

039; &

039; sin 60. 3 3

&

039; 2

A H a

A AH A H a

AA

    

.

Thể tích khối lăng trụ là

2 3. &

039; &

039; &

039;

3 3 3 3

&

039;..

2 4 8

ABC A B C ABC

a a a

V  A H S  

.

Câu 17. Chọn đáp án D

Gọi hình hộp đứng là ABCD A B C D. &

039; &

039; &

039; &

039;với ABCD là hình thoi,

ABC   ,AC d

.

Diện tích một mặt bên là AA B B&

039; &

039; có diện tích S và AA &

039;h .

Gọi cạnh của hình thoi là

.

S

x S x h h

x

   

. Diện tích hình thoi là

2

S ABCDx 

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, có

AC 2 AB 2  BC 2  2. AB BC. .cos ABC

.

 

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 .cos 2 1 cos 4 .sin

2

2sin

2

d

x x d x d x d x

   

         

.

Câu 18. Chọn đáp án D

Gọi K là trung điểm của

.. &

039; &

039; &

039;

1

&

039;

2

CC  V ABC IJK  VABC A B C

.

Và

&

039;.      . &

039; &

039; &

039;

1 1 1 1

. &

039;,... &

039;,.

3 3 2 6

V C IJK  d C IJK S IJK  d C ABC S ABC  VABC A B C

Vậy

&

039;. &

039;.. &

039; &

039; &

039;. &

039; &

039; &

039;

1 1 2

2 6 3

V ABCIJC V ABC IJK  VC IJK  VABC A B C  VABC A B C  V

.

Câu 19. Chọn đáp án A

Kẻ

A H&

039;   ABCD , HM  AB HN,  AD

.

 A M &

039;  AB A N, &

039;  AD (định lý ba đường vuông góc).

    

 

 ABB A&

039; &

039; , ABCD  A MH&

039;  45 

Và

    

 

ADD A&

039; &

039; , ABCD  A NH&

039;  60 

.

Đặt A H&

039; x . Khi đó

2

2 3 4

&

039;

3 3

x x

A N AN HM



   

.

Mà

2

3 4 3

3 7

x

HM x x x



     

.

. &

039; &

039; &

039; &

039;

3

.. &

039; 3. 7. 3

7

 V ABCD A B C D  AB AD A H 

.

Câu 20. Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của

BC  A H&

039;   ABC

.

 AH là hình chiếu của A A&

039; trên mặt phẳng  ABC .

  



 

 

 AA &

039;, ABC  A A AH&

039; ,  A AH&

039;  30 

.

Tam giác A AH&

039; vuông, có

 &

039; &

039; &

039;

2

A H a

A AH A H

AH

  

.

Thể tích lăng trụ là

2 3

3 3

&

039;..

2 4 8

ABC

a a a

V A H S   

.

Câu 21. Chọn đáp án C

Ta có

. &

039; &

039; &

039; &

039;. &

039; &

039; &

039;. &

039; &

039; &

039; &

039;. &

039;. &

039; &

039;. &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039;

4

6

V ABCD A B C D V A A B D  VC B C D  VB ABC V D ADC  VACB D  VABCD A B C D VACB D

&

039; &

039;. &

039; &

039; &

039; &

039;. &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039;. &

039; &

039; &

039; &

039;. &

039; &

039; &

039; &

039;

2 1 1

3 3 3

ACB DABCD A B C D ABCD A B C D ACB D ACB D ABCD A B C DABCD A B C D

V

V V V V V

V

      

.

Câu 22. Chọn đáp án D

Ta có

CC 1 / / ABB A 1 1 

 d CC 1 ,  ABB A 1 1  d C  ,  ABB A 1 1  7

Bài ra 1 1 1

S ABB A  4  SA AB 2

 VABC A B C . &

039; &

039; &

039;  3 V A 1. ABC  3 VC A AB. 1

  1 1  1

1

3. ,. 7 14

3

 d C ABB A SA AB 

.

Câu 23. Chọn đáp án C

Lăng trụ tam giác đều ABC A B C. &

039; &

039; &

039;

 A A&

039;   ABC

và ABC đều.

Đặt AB BC CA  xvà A A&

039; h .

Kẻ

BP  AC  P  AC

.

Câu 26. Chọn đáp án C

Gọi H là trung điểm của cạnh

BC  A H&

039;  ABC

32. &

039; &

039; &

039;

1 3

&

039;. &

039;. sin 60

2 8

ABC A B C ABC

a

 V  A H S  A H a  

3

&

039;

2

a

 A H

mà

3 3 6

&

039;

2 2 2

AB a a

AH    A A

.

Câu 27. Chọn đáp án B

Cạnh

3 3

2 2

AB a

AH  

.

Ta có

  

  &

039; 1

&

039; , &

039; 30 tan 30

3

A H

A A ABC A AH

AH

      

32. &

039; &

039; &

039;

1 3

&

039; &

039;.. sin 60

2 2 2 8

ABC A B C ABC

a a a

 A H   V A H S  a  

.

Câu 28. Chọn đáp án C

Ta có

  

  

. &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; . &

039; &

039; &

039; &

039;. &

039; &

039; &

039; &

039;. &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039; &

039;

1

, &

039; &

039; &

039; &

039;. 1

3

3

, &

039; &

039; &

039; &

039;.

O A B C D A B C D O A B C DABCD A B C DABCD A B C D A B C D

V d O A B C D S V

V

V d O A B C D S



 

  

 

 .

Câu 29. Chọn đáp án B

Mặt phẳng

 IDC &

039;

cắt AB tại N, với NA NB .

Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD A B C D. &

039; &

039; &

039; &

039;bằng a.

Ta có

1 &

039; &

039; &

039;. &

039;. &

039;

1 1

&

039;. &

039; &

039;.

3 3

V V C DAB IN V C ADN  VC ANIB  CC S ADN  C B SANID

.

Mà

2

1

.

2 2 4

ADN

a a

S  a 

và

2

1

..

2 2 2 8

IBN

a a a

S  

2 2 32&

039; &

039; &

039;

1 3 5

2 8 8 24

ANIB C DAB IN

a a a

 S  a    V 

3 331

1 5 7

2 24 24

a a

 V  a  

 Phần còn lại

3 3322

7 17 7

24 24 17

a a V

V a

V

    

.

32. &

039; &

039; &

039;

1 3

&

039;.. sin 60

2 4

ABC A B C ABC

a

 V  A P S a a  

.