Bài tập về vị trí tương đối của đường thẳng

Bài tập ôn tập lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng$y=ax+b\,\,\,[a\neq0]\,\,[d]$ và đường thẳng$y=ax+b\,\,\,[a\neq0]\,\,[d]$

a]$[d]\parallel[d]\Leftrightarrow\begin{cases}a=a\\b\neq b\end{cases}$

b]$[d] [d]\Leftrightarrow\begin{cases}a=a\\b= b\end{cases}$

c] [d] cắt [d']$\Leftrightarrow a\neq a$

Chú ý: Khi$a\neq a$ và b = b' thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b.

d]$[d]\perp [d]\Leftrightarrow a.a=-1$

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

a] y = 3x + 4 và y =3x - 10

Xét y = 3x + 4 có a = 3; b = 4

Xéty =3x - 10 có a' = 3; b' = -10

Khi đó$\begin{cases}a=a\\b\neq b\end{cases}$ nên hai đường thẳng trên song song với nhau.

b] y = 2x + 7 và y = 3x + 8

Xéty = 2x + 7 có a = 2; b = 7

Xéty =3x - 10 có a' = 3; b' = -10

Khi đó$a\neq a$ nên hai đường thẳng đócắt nhau

c] y =5x + 9 và $y = - \frac{1}{5}x + 9$

Xét y=5x + 9 có a = 5; b = 9

Xét $y = - \frac{1}{5}x + 9$ có $a = - \frac{1}{5}; b = 9$

Ta có a.a' = - 1 nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau

2. Hệ số góc của đường thẳng y = a.x + b

a] Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

Giả sử$\alpha$ làgóc tạo bởi đường thẳng y = ax + b [a 0] và trục Ox. Khi đó α được xác định là góc tạo bởi phần phía trên trục Ox của đường thẳng y = ax + b [a 0] và chiều dương của trục Ox

\n\n\n\n

Ví dụ: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 3x + 2 và trục Ox [làm tròn đến phút]

Giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 2

Cho x = 0 thì y = 2 ta được điểm A[0; 2]

Cho y = 0 thì$x=-\frac{2}{3}$ ta được điểm$B[-\frac{2}{3};0]$

Đồ thị hàm số y = 3x + 2 là đường thẳng đi qua 2 điểmA[0; 2] và$B[-\frac{2}{3};0]$

\n\n

Ta gọi góc giữa đường thẳngy = 3x + 2 và trục Ox là góc$\alpha$ . Khi đó$\widehat{AOB}=\alpha$

Xét tam giác vuông AOB có$tan\alpha=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{\frac{2}{3}}=3$

Bằng cách tra bảng, ta tìm được$\alpha\approx71^034$

b] Hệ số góc

- Đường thẳng y = ax + b [b 0] có hệ số góc là $a = tan\alpha$ [trong đó $\alpha$ là góc tạobởi đường thẳng y = ax + b [b 0] và trục Ox]
- Khi hệ số a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn
- Khi a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù
Chú ý: Khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta cũng nói rằng a là hệ số góc của đường thẳng y = ax

Ví dụ: Đường thẳng y = 3x + 5 có hệ số góc là 3

Đường thẳng y = -7x - 6 có hệ số góc là - 7

Đường thẳng y = 5x có hệ số góc là 5