Bài viết hướng dẫn phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số, tức là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến, không đổi trên các khoảng [nữa khoảng hay đoạn] nào trong tập xác định của hàm số đó, đây là một dạng toán quen thuộc trong chủ đề đại cương về hàm số ở chương trình Đại số 10 chương 2.
- PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Cho hàm số $f$ xác định trên $K$. • Hàm số $y=f\left[ x \right]$ đồng biến [tăng] trên $K$ nếu $\forall {{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}\in K:$ ${{x}_{1}}1$ $\Rightarrow \frac{f\left[ {{x}_{2}} \right]-f\left[ {{x}_{1}} \right]}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0$ nên hàm số $y=x+\frac{1}{x}$ đồng biến trên khoảng $\left[ 1;+\infty \right].$
Ví dụ 2. Cho hàm số $y={{x}^{2}}-4.$
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên $\left[ -\infty ;0 \right]$ và trên $\left[ 0;+\infty \right].$
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên $\left[ -1;3 \right]$, từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ -1;3 \right].$
Tập xác định của hàm số: $D=R.$
- $\forall {{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}\in \mathbb{R}$, ${{x}_{1}}0.$ Ta có $T=f\left[ {{x}_{2}} \right]-f\left[ {{x}_{1}} \right]$ $=\left[ x_{2}{2}-4 \right]-\left[ x_{1}{2}-4 \right]$ $=x_{2}{2}-x_{1}{2}$ $=\left[ {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right].\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right].$ Nếu ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}\in \left[ -\infty ;0 \right]$ $\Rightarrow T0$. Vậy hàm số $y=f\left[ x \right]$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right].$
- Bảng biến thiên của hàm số $y={{x}^{2}}-4$ trên $\left[ -1;3 \right]:$
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\max}\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} y = 5$ khi và chỉ khi $x=3$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} y = – 4$ khi và chỉ khi $x=0.$ [ads] Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=\sqrt{4x+5}+\sqrt{x-1}$ trên tập xác định của nó. Áp dụng giải phương trình:
- $\sqrt{4x+5}+\sqrt{x-1}=3.$
- $\sqrt{4x+5}+\sqrt{x-1}=\sqrt{4{{x}^{2}}+9}+x.$
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} 4x+5\ge 0 \\ x-1\ge 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge -\frac{5}{4} \\ x\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge 1.$ Suy ra tập xác định của hàm số: $\text{D}=\left[ 1;+\infty \right].$ Với mọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}\in \left[ 1;+\infty \right]$, ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ ta có: $f\left[ {{x_2}} \right] – f\left[ {{x_1}} \right]$ $ = \sqrt {4{x_2} + 5} + \sqrt {{x_2} – 1} $ $ – \sqrt {4{x_1} + 5} – \sqrt {{x_1} – 1} $ $ = \frac{{4\left[ {{x_2} – {x_1}} \right]}}{{\sqrt {4{x_2} + 5} + \sqrt {4{x_1} + 5} }}$ $ + \frac{{{x_2} – {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} – 1} + \sqrt {{x_1} – 1} }}$ $ = \left[ {{x_2} – {x_1}} \right]$$\left[ {\frac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5} + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x_2} – 1} + \sqrt {{x_1} – 1} }}} \right].$ Suy ra $\frac{f\left[ {{x}_{2}} \right]-f\left[ {{x}_{1}} \right]}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ $=\frac{4}{\sqrt{4{{x}_{2}}+5}+\sqrt{4{{x}_{1}}+5}}$ $+\frac{1}{\sqrt{{{x}_{2}}-1}+\sqrt{{{x}_{1}}-1}}>0.$ Nên hàm số $y=\sqrt{4x+5}+\sqrt{x-1}$ đồng biến trên khoảng $\left[ 1;+\infty \right].$
- Vì hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right]$ nên:
+ Nếu $x>1$ $\Rightarrow f\left[ x \right]>f\left[ 1 \right]$ hay $\sqrt{4x+5}+\sqrt{x-1}>3$, suy ra phương trình $\sqrt{4x+5}+\sqrt{x-1}=3$ vô nghiệm.
+ Nếu $x\sqrt{4t+5}+\sqrt{t-1}$, suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Nếu $x