Biết sản lượng của ngành 2 là 100 tính giá trị của lượng nguyên liệu mà các ngành cung cấp cho nó

MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TUYẾN DÙNGTRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ1. Mô hình cân đối liên ngành [mô hình Input – Outphut của Leontief]Mô hình Input – Output của Leontief [còn gọi là mô hình I/O] đề cập đến việcxác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản suất trong tổng thểnền kinh tế. Ở đây khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa ngành thuần tuý sảnxuất. Các giả thiết đặt ra để xây dựng mô hình như sau:• Mỗi ngành sản xuất một loại hàng hoá thuần nhất hoặc sản xuất một sốhàng hoá phối hợp theo tỷ lệ nhất định [coi mỗi tổ hợp hàng hoá theo tỷ lệ cốđịnh].• Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi ngành được sử dụng theo tỷlệ cố định.Trong nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại hàng hoá nào đó [output] đòihỏi sử dụng các loại hàng hoá khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào [input] củaquá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sảnxuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng nó bao gồm:- Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quátrình sản xuất- Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng cho quátrình sản xuất hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các tổ chứcxuất khẩu,..Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1, 2, 3, … , n. Để thuận tiệncho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta phải biểu diễn lượng cầu của tất cảcác loại hành hoá ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền. Tổng cầu về sản phẩm hànghoá của ngành i [i = 1, 2, … , n] được ký hiệu và xác định bởi:xi = xi1 + xi2 + … + xik + bi [i =1, 2, … , n]Ở đây:[*]xik là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho quá trình sảnxuất của mình [giá trị cầu trung gian].bi là giá trị sản phẩm của ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu [giátrị cầu cuối cùng]Tuy nhiên trong thực tế ta thường không có thông tin về giá trị cầu trung gianxik, nhưng người ta lại chủ động trong việc xác định tỉ phần chi phí đầu vào củasản xuất. Ký hiệu aik là tỉ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm củangành i, nó được tính bởi công thức: a ik =x ik[i, k = 1, 2, ... , n]xkChú ý rằng: 0 ≤ a ik < 1 và ở đây giả thiết aik là cố định đối với mỗi ngành sảnxuất i [k =1, 2, ... , n]. Người ta còn gọi a ik là hệ số chi phí đầu vào và ma trận A =[aik]n x n được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào [hay ma trận hệ số kỹ thuật].Giả sử aik = 0,4 có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phảm của mình,ngành k đã phải chi 0,3 đồng để mua sản phẩm của ngành i phục vụ cho quá trìnhsản xuất. x1  b1   x2  b2 Đặt X =  ; b =  ......  x b  n nTa gọi X là ma trận tổng cầu và b là ma trận cuối cùng. Khi đó, từ đẳng thức[*] thay xik = aikxk chúng ta cóx i = a i1 x 1 + a i 2 x 2 + ... + a in x n + b ii = 1,2,...., nHay biểu diễn dưới dạng ma trận : x 1   a 11   x 2  a 21 ...  =  ...  x  a n   n1a 12a 22...a n2Tức là X = AX + b... a 1n   x 1   b1    ... a 2 n   x 2   b 2 .+... ...   ...   ...    ... a nn   x n   b n [**]Từ [**] ta có [E – A]X = bỞ đây, E là ma trận đơn vị cấp n. Nếu E – A khả nghịch thìX = [E – A]-1b[***]Công thức [***] được gọi là công thức tính ma trận tổng cầu. Ma trận E – Ađược gọi là ma trận Leontief. Như vậy nếu chúng ta biết ma trận hệ số kỹ thuật Avà ma trận cầu cuối cùng thì sẽ xác định được giá trị tổng cầu của các ngành sảnxuất.Ví dụ 1. Giả sử nền kinh tế có hai ngành sản xuất : ngành 1 và ngành 2 có ma trận0,2 0,3 . Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm0,4 0,1hệ số kỹ thuật là A = của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 10, 20 tỷ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầuđối với mỗi ngành.Giải :x 1Ký hiệu X =   là ma trận tổng cầu ; với x1 là giá trị tổng cầu của ngành 1, x2 làx 2giá trị tổng cầu của ngành 2.10 Theo giả thiết ma trận cầu cuối b có dạng : b =   20 Theo công thức tính ma trận tổng cầu [***] ta có X = [E – A]-1.b1 0 0,2 0,3  0,8 − 0,31 0,9 0,3−1−=và [ E − A ] =0,6 0,4 0,80 1 0,4 0,1 − 0,4 0,9 Ta có E − A = Do đó X =1 0,9 0,3 10   25..  = 0,6 0,4 0,8  20  100 / 3 Vậy giá trị tổng cầu của ngành 1 là x1 = 25 tỷ đồngGiá trị tổng cẩu của ngành 2 là x2 = 100/3 tỷ đồngVí dụ 2. Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2,ngành 3. Biết ma trận hệ số kỹ thuật là:0,4 0,1 0,2A = 0,2 0,3 0,2 0,1 0,4 0,3với giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành thứ tự là 40, 40 và 110[đơn vị tính: nghìn tỷ đồng]. Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sảnxuất.Giải:1 0 0 0,4 0,1 0,2  0,6 − 0,1 − 0,2  Ta có E − A = 0 1 0 − 0,2 0,3 0,2 = − 0,2 0,7 − 0,20 0 1  0,1 0,4 0,3  − 0,1 − 0,4 0,7 Và [E − A]−10,41 0,15 0,16 1 =.0,16 0,40 0,16 0,2 0,15 0,25 0,40Vậy ma trận tổng cầu được xác định bởi x1 0,41 0,15 0,16   40   200  1 X = x2  =.0,16 0,40 0,16 . 40  =  200  x  0,2  0,15 0,25 0,40 110  300    3Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x 1 =200 tỷ đồng, x2 = 200nghìn tỷ đồng và x3 = 300 nghìn tỷ đồng.2. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hoá có liên quanGiả sử chúng ta nghiên cứu thị trường bao gồm n hàng hoá có liên quan: hànghoá 1, 2, … , n. Khái niệm này được hiểu là khi giá của một mặt hàng nào đó thayđổi thì nó không những ảnh hưởng tới lượng cung [ Q S ] và lượng cầu [ Q D ] củaiibản thân mặt hàng đó, mà còn ảnh hưởng đến giá và lượng cung, lượng cầu củamặt hàng còn lại. Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung vàlượng cầu vào giá của các mặt hàng hoá bời hàm cung và hàm cầu như sau:Q Si = Si [P1 , P2 ,..., Pn ]Q Di = D i [P1 , P2 ,..., Pn ]i = 1, 2, 3, … , nỞ đây, P1, P2, … , Pn ký hiệu theo thự tự là giá của hàng hoá 1, 2, ... , i, ... , nMô hình cân bằng thị trường n hàng hoá có liên quan được xác định bởi:Q Si = Q Dii = 1, 2, 3, ..., nNếu giả thiết các Q S , Q D [i =1, 2, 3, ... , n] có dạng tuyến tính thì mô hình trêniichính là một hệ gồm có n phương trình và n ẩn số P1, P2, ..., Pn.Giải hệ phương trình trên ta tìm được bộ giá cân bằng thị trường:P = [P1 , P 2 , ..., P n ]Thay vào Q S [Q D ] chúng ta thu được lượng cầu cân bằng thị trường:iiQ = [Q1 , Q 2 , ..., Q n ]Ví dụ 3. Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại hàng hoá như sau:Q S1 = −2 + 3P1 ;Q Di = 8 − 2P1 + P2Q S2 = −1 + 2P2 ;Q S2 = 11 + P1 − P2Ở đây: Q S ; Q S là lượng cung hàng 1, hàng 212Q D1 ; Q D 2 là lượng cầu hàng 1, hàng 2P1, P2 là giá của hàng hoá 1, hàng hoá 2Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số P 1 vàP2. Xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.GiảiThiết lập phương trìnhQ S1 = Q D1− 2 + 3P1 = 8 − P1 + P2P = 3⇔⇔ 1Q S2 = Q D 2− 1 + 2P2 = 11 + P1 − P2P2 = 5Vậy bộ giá cân bằng là [P1 ; P 2 ] = [3; 5]Q1 = −2 + 3P1 = 7Q 2 = −1 + 2P 2 = 9Lượng cầu cân bằng là Ví dụ 4. Xét thị trường gồm 3 hàng hoá gồm chè, cafê, cacao có hàm cung và hàmcầu tương ứng như sau:Q S1 = −10 + P1 ; Q D1 = 20 − P1 − P3 [chè]Q S2 = 2P2 ; Q D 2 = 40 − 2P2 − P3 [cafe]Q S3 = −5 + 3P3 2 ; Q D3 = 10 + P2 − P3 − P1 [cacao]Hãy thiết lập mô hình cân bằng thị trường của 3 loại hàng hoá trên. Xác địnhgiá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường.GiảiThiết lập mô hình:Q S1 = Q D1+ P3 = 302P14P2 + P3 = 40Q S2 = Q D 2 ⇔ P − P + 4P = 1523 1Q S3 = Q D3Xác định giá và lượng cầu cân bằng ở thị trường cafe ta đượcP2 =2856; Q2 =333. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dânXét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân ở dạng đơn giản, với các ký hiệu: Ylà tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư và C là tiêu dùngcủa các hộ gia đình.Ở đây, chúng ta giả thiết chi tiêu chính phủ và đầu tư là cố định G = G o và I =Io còn chi tiêu hộ gia đình có dạng tuyến tính:

C = aY + b [0 Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồmY = G o + I o + CY − C = G o + I o⇔C = AY + b− aY + C = bhai phương trình 2 ẩn số Y và C: Giải hệ bằng quy tắc Cramer chúng ta xác định được mức thu nhập cân bằngvà mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế:G o + Io + bY =1− aC = b + a [G o + I o ]1− aTiếp theo xét mô hình trong trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t%thường biểu diễn dưới dạng thập phân. Khi đó thu nhập sau thuế là:Yd = Y − tY = [1 − t ]Yvà hàm chi tiêu có dạng: C = aYd + b = a[1 – t]Y + bNếu xét mô hình còn chịu ảnh hưởng bởi yếu tố xuất khẩu X và nhập khẩu N.Y = G o + I o + C + X − NC = a [1 − t ]Y + bKhi đó mô hình có dạng Trong đó X và N có thể biểu biến là hàm của Y hoặc là giá trị cố định chotrước. Do vậy chúng ta vẫn biến đổi đưa mô hình về hệ gồm hai phương trình ẩn Yvà C.Ví dụ 5. Cho biết C = 0,80Yd + 250, I = Io, G = Go, Yd = [1- t]Y [ t là thuế suấtthu nhập]a] Xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằngb] Tính mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng với I o = 150 ; Go = 500[đơn vị : tỷ VNĐ] và t = 0,15GiảiĐầu tiên xác định mô hình cân bằngY = G o + I o + CY − C = G o + I o⇔C = 0,8Y + 250− 0,8[1 − t ]Y + C = 250a] Thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng làG o + I o + 250Y = 1 − 0,8[1 − t ]C = 0,8[1 − t ][G o + I o ] + 2501 − 0,8[1 − t ]b] Với Io = 150 ; Go = 500 ; t = 0,15 ta có150 + 500 + 250 900Y = 1 − 0,8[1 − 0,15] = 0,32 = 2812,5C = 0,8[1 − 0,15][150 + 500] + 250 = 692 = 2162,51 − 0,8[1 − 0,15]0,324. Mô hình IS – LMDùng mô hình IS – LM để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế chúngta xem xét cả hai thị trường hàng hoá và tiền tệ. Một trong những yếu tố quantrọng ảnh hưởng đến cả hai thị trường này là lãi suất r. Mục tiêu của chúng ta làphải xác định được mức thu nhập quốc dân và lãi suất ở trạng thái cân bằng.Xét thị trường hàng hoá với các yếu tố gồm chi tiêu chính phủ G = G o. Chi tiêu

hộ gia đình C = aY + b [0 nhập] đầu tư I = k – lr [k, l > 0]Y = C + I + Go = aY + b + k –lr +Go⇔ [1 –a]Y + lr = b + k + Go[1][1] gọi là phương trình đường ISXét thị trường tiền tệ với các yếu tố:Lượng cầu tiền L = L[Y, r] = mY – nr [m, n > 0] và lượng cung tiền M = Mo[được định trước]. Phương trình cân bằng của thị trường tiền tệ có dạng:L = M ⇔ mY − nr = M o[2][2] được gọi là đường LMĐể xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng Y và r chúng ta thiếtlập hệ phương trình 2 ẩn Y và r được gọi là mô hình IS – LM:[1 − a ] Y + lr = b + k + G omY − nr = M on [b + k + G o ] + lM oY =n [1 − a ] + mlGiải hệ này ta được r = − [1 − a ]M o + m[b + k + G o ]n [1 − a ] + mlVí dụ 6. Xét mô hình IS – LM vớiC = 0,6Y + 35I = 65 – rG = GoL = 5Y – 50rM = Moa] Xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng: Y và rb] Tính Y và r khi Go = 70; Mo = 1500 [nghìn tỷ VNĐ]Giảia] Phương trình đường IS:Y = C + I + Go = 0,6Y + 35 + 65 – r +Go⇔ 0,4Y + r = 100 + GoPhương trình đường LM: L = M o ⇔ 5Y − 50r = M o0,4Y + r = 100 + G ota được5Y − 50r = M oGiải hệ phương trình 5000 + 50G o + M oY=25r = 500 + 5G o − 0,4M o25b] Với Go = 70 và Mo = 1500 ta có5000 + 50G o + M o 5000 + 3500 + 1500 10000=== 400Y =252525r = 500 + 5G o − 0,4M o = 250 = 102525Tài liệu tham khảo1. Lê Đình Thuý [chủ biên], Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 1, NXBĐHKT Quốc dân, 2008.2. Nguyễn Huy Hoàng [Chủ biên], Toán cao cấp - Tập 1 [Đại số tuyến tính],NXB Giáo dục Việt Nam, 2009.3. Alpha C. Chiang ,Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc.Graw – Hill Book Copany, 1984.