Biết x thỏa mãn x2−2;−x;5−6x lập thành cấp số cộng. tổng bình phương các giá trị x tìm được là

Phương pháp áp dụng a. Để ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, điều kiện là: a + c = 2b, bài toán được chuyển về việc giải phương trình. b. Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số cộng, điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}a + c = 2b\\b + d = 2c\end{array} \right.$ bài toán được chuyển về việc giải hệ phương trình.

Ví dụ minh họa
Thí dụ 1. Tìm x để ba số x$^2$ + 1, x - 2, 1 - 3x lập thành một cấp số cộng.

Để ba số x$^2$ + 1, x - 2, 1 - 3x lập thành một cấp số cộng, điều kiện là: [x$^2$ + 1] + [1 - 3x] = 2[x - 2] x$^2$ - 5x + 6 = 0 x = 2 ∨ x = 3. Vậy, với x = 2 hoặc x = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.

* Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là:

" Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình: ax$^3$ + bx$^2$ + cx + d = 0, với a ≠ 0 [1] có 3 nghiệm x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số cộng " Ta thực hiện như sau:

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó:

x$_1$ + x$_3$ = 2x$_2$, x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = -$\frac{b}{a}$ 3x$_2$ = -$\frac{b}{a}$ x$_2$ = -$\frac{b}{{3a}}$. Với x$_2$ = -$\frac{b}{{3a}}$ thay vào [1] ta được: a[-$\frac{b}{{3a}}$]$^3$ + b[-$\frac{b}{{3a}}$]$^2$ + c[-$\frac{b}{{3a}}$] + d = 0 2b$^3$ - 9abc + 27a$^2$d = 0. [2] Đó chính là điều kiện cần để [1] có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.

Điều kiện đủ: Từ [2] suy ra phương trình có nghiệm x$_2$ = -$\frac{b}{{3a}}$. Khi đó:

x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = -$\frac{b}{a}$ x$_1$ + x$_3$ - $\frac{b}{{3a}}$ = -$\frac{b}{a}$ x$_1$ + x$_3$ = -$\frac{{2b}}{{3a}}$ = 2x$_2$ x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số cộng. Vậy, điều kiện cần và đủ để [1] có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là: 2b$^3$ - 9abc + 27a$^2$d = 0. Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Thí dụ 2. Xác định m để phương trình: x$^3$ - 3x$^2$ - 9x + m = 0 [1]

có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó: x$_1$ + x$_3$ = 2x$_2$, [*] x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = 3 3x$_2$ = 3 x$_2$ = 1. Với x$^2$ = - 1 thay vào [1] ta được: 11 - m = 0 m = 11. Đó chính là điều kiện cần để [1] có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. Điều kiện đủ: Với m=11, ta được: x$^3$ - 3x$^2$ - 9x + 11 = 0 [x - 1][x$^2$ - 2x - 11] = 0 $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - \sqrt {12} \\{x_2} = 1\\{x_3} = 1 + \sqrt {12} \end{array} \right.$, thoả mãn [*] Vậy, với m=11 thoả mãn điều kiện đầu bài.

* Chú ý:
1. Trong bài toán trên ở điều kiện đủ ta khẳng định được:

* Phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt. * Ta có x$_1$ + x$_3$ = 2x$_2$, tức là x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số cộng. * Do đó, có kết luận m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài. Tuy nhiên, tồn lại bài toán mà các giá trị của tham số tìm được trong điều kiện cần không thoả mãn điều kiện đủ. Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hằng số bất định, như sau: Phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng [1] có ba nghiệm x$_0$ - d, x$_0$, x$_0$ + d, với d ≠ 0. Khi đó: x$^3$ - 3x$^2$ - 9x + m = [x - [x$_0$ - d]][x - x$_0$][x - [x$_0$ + d]] = [x - x$_0$][[x - x$_0$]2 - d2]= x$^3$ - 3x$_0$x$^2$ + [3$x_0^2$ - d2]x - $x_0^3$ + d2x$_0$. => $\left\{ \begin{array}{l} - 3 = - 3{x_0}\\ - 9 = 3x_0^2 - {d^2}\\m = - x_0^3 + {d^2}{x_0}\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\d = \pm 2\sqrt 3 \\m = 11\end{array} \right.$. Vậy, với m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài.

2. Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là:

" Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax$^4$+ bx$^2$ + c = 0. [1] có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng" Khi đó, ta thực hiện như sau: Đặt t = x$^2$, điều kiện t ≥ 0. Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng: at$^2$ + bt + c = 0. [2] Phương trình [1] có bốn nghiệm phân biệt [2] có hai nghiệm phân biệt dương 0 < t1 < t2 $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\ - b/a > 0\\c/a > 0\end{array} \right.$ [3] và khi đó bốn nghiệm của [1] là -$\sqrt {{t_2}} $, -$\sqrt {{t_1}} $, $\sqrt {{t_1}} $, $\sqrt {{t_2}} $. Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi: $\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = - 2\sqrt {{t_1}} \\ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \end{array} \right.$ $\sqrt {{t_2}} $=3$\sqrt {{t_1}} $ t2 = 9t1. [4] Theo định lí Viét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = - b/a\\{t_1}{t_2} = c/a\end{array} \right.$. [I] Thay [4] vào [I] được : $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + 9{t_1} = - b/a\\{t_1}.[9{t_1}] = c/a\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = - \frac{b}{{10a}}\\t_1^2 = \frac{c}{{9a}}\end{array} \right.$ => ${\left[ { - \frac{b}{{10a}}} \right]^2}$ = $\frac{c}{{9a}}$. [5] Kết hợp [5] và [3] nhận được điều kiện của tham số.

* Chú ý: Các em học sinh sẽ thấy được ví dụ trong phần "Các bài tập chọn lọc".

Với Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay Toán học lớp 11 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay.

A. Phương pháp giải

+ Điều kiện để ba số a; b; c lập thành cấp số cộng là c − b = b − a hay a + c= 2b.

+ Điều kiện để dãy số [un] là cấp số cộng là với ∀n ∈ N* thì: un+1 − un là hằng số [ không phụ thuộc vào n] .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định x để 3 số: 1 + 2x; 2x2 − 1; −2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn giải:

Ba số 1 + 2x; 2x2 − 1; −2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

Chọn B.

Ví dụ 2: Xác định a để 3 số 2-a; 6 + a2 ; 3a + 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của .     B. a= 4

C. a= ±2    D. a= ±√5

Hướng dẫn giải:

Ba số 2 - a; 6 + a2 ; 3a + 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:

6 + a2 − 2 + a = 3a + 2 - 6 - a2

⇔ 2a2 − 2a + 8 = 0 phương trình này vô nghiệm.

=> Không có giá trị nào của a thỏa mãn.

Chọn A.

Ví dụ 3: Xác định a; b để phương trình x3 + ax + b= 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. b = 0; a < 0    B. b = 0; a = 1

C. b = 0; a > 0    D. b > 0; a < 0

Hướng dẫn giải:

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là x1; x2 và x3

*Do 3 số này lập thành cấp số cộng nên x1 + x3 = 2x2 [1]

*Áp dụng hệ thức vi- et cho phương trình bậc 3 ta có:

x1 + x2 + x3 = 0 [2]

Từ [1] và [2] suy ra: 2x2 + x2 = 0 ⇔ x2 = 0

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm x = 0.Thay x = 0 vào phương trình đã cho ta được: 03 + a . 0 + b = 0 ⇔ b = 0.

* Với b = 0 phương trình đã cho trở thành: x3 + ax = 0

Do đó; để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi [*] có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi: a < 0.

Vậy điều kiện để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng là:

b = 0 và a < 0 .

chọn A.

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình mx4 − 2[m − 1]x2 + m − 1= 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Đặt x2 = t [t ≥ 0] khi đó phương trình đã cho trở thành:

mt2 − 2[m − 1]t + m − 1 = 0 [*]

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình [*] có 2 nghiệm dương phân biệt 0 < t1 < t2

Khi đó phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là −√t2; −√t1; √t1; √t2

Để 4 nghiệm này lập thành cấp số cộng thì:

Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình [*] ta có:

Thay t2 = 9t1 vào [1] ta được : 

thay vào [2] ta được:

Thử lại: Thay vào phương trình đã cho ta thấy 

 thỏa mãn.

Chọn B.

Ví dụ 5: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 .

A. 1,5,6,8    B. 2,4,6,8

C. 1,4,6,9     D. 1,4,7,8

Hướng dẫn giải:

Giả sử bốn số hạng đó là a- 3d; a- d; a+ d; a+ 3d với công sai là d’= 2d. Khi đó, ta có:

+ Nếu d = 1 thì bốn số cần tìm là: 2; 4; 6; 8

+ Nếu d = −1 thì bốn số cần tìm là: 8; 6; 4; 2

Chọn B.

Chú ý:

* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn.

* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai , là chẵn thì gọi công sai rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.

Ví dụ 6: Biết ba số: x2 + 1; x − 2 và 1 − 3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi có mấy giá trị nguyên dương của x thỏa mãn?

A. 0    B.1

C.2     D.3

Hướng dẫn giải:

Ta có: x2 + 1; x − 2 ; 1 − 3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

Vậy có hai giá trị nguyên dương của x thỏa mãn đầu bài.

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 250. Tìm 2 góc còn lại?

A. 65o ; 90o.     B. 75o ; 80o.

C. 60o ; 95o.     D. 60o ; 90o.

Hướng dẫn giải:

Gọi 3 góc của tam giác là u1 = 25; u2 = 25 + d và u3 = 25 + 2d.

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 nên ta có:

Vậy hai góc còn lại của tam giác là 600 và 950

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc Acó số đo nhỏ nhất và bằng 30o. Tìm tổng của góc lớn nhất và góc nhỏ nhất của tứ giác.

A. 180o     B. 150o.

C. 200o.     D. 210o.

Hướng dẫn giải:

Do 4 góc của tứ giác lập thành cấp số cộng và nên các góc còn lại của tứ giác là:

u2 = 30 + d; u3 = 30 + 2d và u4 = 30 + 3d

Do tổng bốn góc của 1 tứ giác là 3600 nên:

Vậy các góc còn lại của tứ giác là: 700; 1100 và 1500

=> Góc lớn nhất và góc nhỏ nhất của tứ giác là 1500 và 300

Chọn A.

Ví dụ 9: Xác định x để 3 số: 1 − x; x2; 1 + x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của x.    B. x = ±2.

C. x = ±1.    D. x = 0

Hướng dẫn giải:

Ba số: 1 − x; x2; 1 + x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi : 

Chọn C.

Ví dụ 10: Xác định n để ba số 2n - 9; n ;n+ 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?

A. n= 2     B. n= 3

C. n= 4     D. n= 5

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để ba số 2n – 9 ; n và n+ 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng là :

Chọn B.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Biết rằng 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. Hỏi số lớn nhất trong 3 số đó bằng bao nhiêu?

A. 14     B. 9

C. 11    D. 13

Câu 2: Tìm m để phương trình x4 − 2[m+1].x2 + 2m + 1 = 0 [1] có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m= 16     B. m= 11

C. m= 13     D. m= 12

Câu 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b ,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết 

, giá trị x+ y là:

A. 4     B. 1

C. 2     D. 3

Câu 4: Với giá trị nào của x để ba số: 10 − 3x; 2x2 + 3 và 7 − 4x theo thứ tự lập thành cấp số cộng?

Câu 5: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a và 3 cạnh lập thành cấp số cộng. Tính diện tích tam giác vuông đó theo a.

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình x3 − [3m + 1].x2 + 2mx = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

A. 0     B.1

C.2     D. 3

Câu 7: Tìm m để phương trình : x3 − 3x2 − 9x + m = 0 có ba nghiệm phâ biệt và các nghiệm đố theo thứ tự lập thành cấp số cộng .

A. m= 11     B. m= 12     C. m= -11     D. m= 18

Câu 8: Biết rằng 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của của chúng là 384. Tìm số bé nhất trong bốn số đó.

A. 2     B. 5 − √241

C. −√241     D. Đáp án khác

Câu 9: Xác định m để phương trình x3 − 3x2 − 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m= 16     B. m= 11

C. m= 13    D. m= 12

  Tải tài liệu

Bài viết liên quan

« Bài kế sau Bài kế tiếp »