Xét các số thực dương ab thỏa mãn a,b 2 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 2b

Xét các số thực dương \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[{\log _2}\dfrac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\]. Tìm giá trị nhỏ nhất \[{P_{\min }}\] của \[P = a + 2b\].

A.

\[{P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 3}}{2}\]

B.

\[{P_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt {10} - 7}}{2}\]

C.

\[{P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 1}}{2}\]

D.

\[{P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 5}}{2}\]

Câu hỏi: Cho các số thực dương \[a\], \[b\] thỏa mãn \[\ln \frac{{2 – 2ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b – 2\]. Tìm giá trị nhỏ nhất \[{P_{\min }}\] của \[P = a + 2b\].

A. \[{P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {10}- 3}}{2}\]. 

B. \[{P_{\min }} = \frac{{3\sqrt {10}- 7}}{2}\]. 

C. \[{P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {10}- 1}}{2}\]. 

D. \[{P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {10}- 5}}{2}\].

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \[ab < 1\].

Ta có \[\ln \frac{{2 – 2ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b – 3\]\[ \Leftrightarrow \ln \left[ {2 – 2ab} \right] + \left[ {2 – 2ab} \right] = \ln \left[ {a + b} \right] + \left[ {a + b} \right]\,\left[ * \right]\].

Xét hàm số \[y = f\left[ t \right] = \ln t + t\] trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].

Ta có \[f’\left[ t \right] = \frac{1}{t} + 1 > 0,\forall t > 0\]. Suy ra hàm số \[f\left[ t \right]\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\].

Do đó, \[\left[ * \right] \Leftrightarrow f\left[ {2\left[ {1 – ab} \right]} \right] = f\left[ {a + b} \right]\]\[ \Leftrightarrow 2\left[ {1 – ab} \right] = a + b\]\[ \Leftrightarrow a\left[ {2b + 1} \right] = 2 – b\]\[ \Leftrightarrow a = \frac{{ – b + 2}}{{2b + 1}}\].

Ta có \[P = a + 2b = \frac{{ – b + 2}}{{2b + 1}} + 2b = g\left[ b \right]\].

\[g’\left[ b \right] = \frac{{ – 5}}{{{{\left[ {2b + 1} \right]}^2}}} + 2 = 0\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {2b + 1} \right]^2} = \frac{5}{2}\]\[ \Leftrightarrow 2b + 1 = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\]\[ \Leftrightarrow b = \frac{{\sqrt {10}- 2}}{4}\].

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \[{P_{\min }} = g\left[ {\frac{{\sqrt {10}- 2}}{4}} \right] = \frac{{2\sqrt {10}- 3}}{2}\].

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit

• lý thuyết
• trắc nghiệm
• hỏi đáp
• bài tập sgk

xét các số thực dương a,b thỏa mãn a+b=2. Tìm max của biểu thức P=a^2*b

Các câu hỏi tương tự

• lý thuyết
• trắc nghiệm
• hỏi đáp
• bài tập sgk

xét các số thực dương a,b thỏa mãn a+b=2 . tìm Max của biểu thức P=a2b

Các câu hỏi tương tự