Các dạng toán và phương pháp giải Toán 8 Ngô Văn Thọ

Tài liệu gồm 202 trang Fractal và hướng áp giải bài tập hoàn chỉnh Toán 8 – Đại số và Hình học do thầy giáo Ngô Văn Thọ biên soạn. Trong mỗi chuyên đề [tương ứng với từng chương] được phân loại cụ thể, nêu các bước giải toán, các tỉ dụ minh họa đều có lời giải cụ thể và các bài tập áp dụng để học trò tự luyện tập.

Nội dung tài liệu:
PHẦN A. Đại số 8
Chương I. Nhân và chia đa thức
1. Nhân 1 đơn thức với 1 đa thức – nhân 1 đơn thức với 1 đa thức
2. Hằng đẳng thức
3. Nhân tử các đa thức

+ Vấn đề 1. Phương pháp thừa số thường gặp + Vấn đề 2. Phương pháp nhóm nhiều số hạng + Vấn đề 3. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức + Vấn đề 4. 1 số cách thức khác

4. Chia đa thức

+ Bài toán 1. Chia đơn thức cho đơn thức + Bài toán 2. Chia đa thức cho đơn thức + Bài toán 3. Chia đa thức cho đa thức

Chương II. Phân số đại số

1. Phân số đại số

+ Bài toán 1. Tìm điều kiện để phân số có nghĩa + Bài toán 2. Dạng toán tìm trị giá của 1 biến để phân số nhận 1 trị giá nào ấy + Bài toán 3. Chứng minh 1 phân số luôn có nghĩa

2. Thuộc tính căn bản của phân số đại số

+ Vấn đề 1. Phân số bằng nhau + Bài toán 2. Rút gọn phân số

3. Phép toán phân số

+ Vấn đề 1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số. + Vấn đề 2. Thực hiện các phép toán về phân số

Chương III. Phương trình hàng đầu 1 ẩn số

1. Giới thiệu về phương trình

+ Bài toán 1. Chứng minh rằng 1 số là nghiệm của 1 phương trình + Bài toán 2. Số nghiệm của 1 phương trình + Bài toán 3. Chứng minh rằng 2 phương trình tương đương với nhau

2. Phương trình hàng đầu với 1 ẩn số

+ Vấn đề 1. Phương trình có thể quy về phương trình hàng đầu + Vấn đề 2. Phương trình năng suất + Bài toán 3. Phương trình chứa ẩn trong mẫu

3. Gicửa ải toán bằng cách lập phương trình

+ Vấn đề 1. Kiểu so sánh + Bài toán 2. Dạng bài tìm số có 2 và 3 chữ số + Vấn đề 3. Kiểu làm việc chung – làm riêng 1 việc + Vấn đề 4. Dạng vận động đều + Bài toán 5. Gõ có nội dung hình học

Chương IV. Bất phương trình hàng đầu 1 ẩn

1. Bất đồng đẳng

+ Vấn đề 1. Chứng minh chân lý dựa vào khái niệm và các thuộc tính căn bản + Vấn đề 2. Phương pháp chiếm điểm cộng + Bài toán 3. Chứng minh bất đẳng thức dựa trên phép đồng dạng. bất đồng đẳng

2. Đơn bậc nhất tiên ko bằng nhau 1 ẩn số

3. Phương trình chứa dấu tuyệt đối
[ads] TIẾT DIỆN. GEometry 8
Chương I. Tứ giác
1. Hình tứ giác

+ Bài toán 1. Sử dụng thuộc tính về góc của tứ giác để tính góc + Bài toán 2. Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán về các cạnh của 1 tứ giác

2. Hình thang – hình thang vuông

+ Vấn đề 1. Thuộc tính về góc của hình thang + Bài toán 2. Chứng minh tứ giác là hình thang, hình thang vuông.

3. Hình thang cân

+ Bài toán 1. Sử dụng thuộc tính của hình thang cân để tính và chứng minh + Bài toán 2. Chứng minh tứ giác là hình thang cân

4. Đoạn giữa của tam giác, của hình thang

5. Đối xứng trục
6. Hình bình hành

+ Vấn đề 1. Áp dụng thuộc tính của hình bình hành để chứng minh thuộc tính hình học + Vấn đề 2. Áp dụng các tín hiệu để chứng minh 1 tứ giác là hình bình hành

7. Đối xứng tâm

8. Hình chữ nhật

+ Vấn đề 1. Áp dụng các tín hiệu để chứng minh 1 tứ giác là hình chữ nhật + Bài toán 2. Áp dụng kiến ​​thức về hình chữ nhật để giải toán

9. Hình thoi

+ Vấn đề 1. Áp dụng các tín hiệu để chứng minh 1 tứ giác là hình thoi + Bài toán 2. Áp dụng kiến ​​thức về hình thoi để giải toán

10. Hình vuông

+ Vấn đề 1. Áp dụng các tín hiệu để chứng minh tứ giác là hình vuông + Bài toán 2. Áp dụng kiến ​​thức về hình vuông để giải toán

Chương II. Đa giác

Chương III. tam giác đồng dư
1. Định lý Talet trong tam giác – thuộc tính của đường phân giác

+ Bài toán 1. Tính độ dài đoạn thẳng, tỉ số, diện tích + Bài toán 2. Chứng minh rằng 2 đường thẳng song song

2. Các tam giác đồng dạng

+ Bài toán 1. Dùng các tam giác đồng dạng để tính
+ Bài toán 2. Chứng minh rằng 2 tam giác đồng dạng

Tải xuống tài liệu

Các dạng toán và cách thức giải Toán 8 – Ngô Văn Thọ

Tài liệu gồm 202 trang phân dạng và chỉ dẫn cách thức giải Toán 8 toàn tập – Đại số và Hình học, tài liệu được biên soạn bởi thầy Ngô Văn Thọ. Trong mỗi chuyên đề [ứng với mỗi chương] đều được phân dạng cụ thể, nếu các bước giải toán, các vì dụ minh họa có giải cụ thể và phần bài tập vận dụng để học trò tự luyện. Nội dung tài liệu: PHẦN A. ĐẠI SỐ 8 Chương I. Phép nhân và phép chia các đa thức 1. Nhân đơn thức với đa thức – nhân đa thức với đa thức 2. Hằng đẳng thức 3. Phân tích đa thức thành nhân tử + Vấn đề 1. Phương pháp đặt nhân tử chung + Vấn đề 2. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử + Vấn đề 3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức + Vấn đề 4. 1 số cách thức khác 4. Chia đa thức + Vấn đề 1. Chia đơn thức cho đơn thức + Vấn đề 2. Chia đa thức cho đơn thức + Vấn đề 3. Chia đa thức cho đa thức Chương II. Phân thức đại số 1. Phân thức đại số + Vấn đề 1. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa + Vấn đề 2. Dạng toán tìm trị giá của biến để phân thức nhận 1 trị giá nào ấy + Vấn đề 3. Chứng minh 1 phân thức luôn có nghĩa 2. Thuộc tính căn bản của phân thức đại số + Vấn đề 1. Phân thức bằng nhau + Vấn đề 2. Rút gọn phân thức 3. Các phép toán về phân thức + Vấn đề 1. Quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức + Vấn đề 2. Thực hiện các phép toán trên phân thức Chương III. Phương trình hàng đầu 1 ẩn 1. Bắt đầu về phương trình + Vấn đề 1. Chứng minh 1 số là nghiệm của 1 phương trình + Vấn đề 2. Số nghiệm của 1 phương trình + Vấn đề 3. Chứng minh 2 phương trình tương đương 2. Phương trình hàng đầu 1 ẩn + Vấn đề 1. Phương trình đưa được về dạng phương trình hàng đầu + Vấn đề 2. Phương trình tích + Vấn đề 3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu 3. Gicửa ải toán bằng cách lập phương trình + Vấn đề 1. Loại so sánh + Vấn đề 2. Loại tìm số gồm 2, 3 chữ số + Vấn đề 3. Loại làm chung – làm riêng 1 việc + Vấn đề 4. Loại vận động đều + Vấn đề 5. Loại có nội dung hình học Chương IV. Bất phương trình hàng đầu 1 ẩn 1. Bất đẳng thức + Vấn đề 1. Chứng minh bđt dựa vào khái niệm và thuộc tính căn bản + Vấn đề 2. Phương pháp làm trội + Vấn đề 3. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức cô–si 2. Bất phương trình hàng đầu 1 ẩn 3. Phương trình chứa dấu trị giá tuyệt đối [ads] PHẦN B. HÌNH HỌC 8 Chương I. Tứ giác 1. Tứ giác + Vấn đề 1. Sử dụng thuộc tính về các góc của 1 tứ giác để tính góc + Vấn đề 2. Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ tới các cạnh của 1 tứ giác 2. Hình thang – hình thang vuông + Vấn đề 1. Thuộc tính các góc của 1 hình thang + Vấn đề 2. Chứng minh 1 tứ giác là hình thang, hình thang vuông 3. Hình thang cân + Vấn đề 1. Sử dụng thuộc tính của hình thang cân để tính toán và chứng minh + Vấn đề 2. Chứng minh 1 tứ giác là hình thang cân 4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang 5. Đối xứng trục 6. Hình bình hành + Vấn đề 1. Áp dụng thuộc tính của hình bình hành để chứng minh thuộc tính hình học + Vấn đề 2. Áp dụng tín hiệu nhận diện để chứng minh 1 tứ giác là hình bình hành 7. Đối xứng tâm 8. Hình chữ nhật + Vấn đề 1. Áp dụng tín hiệu nhận diện để chứng minh 1 tứ giác là hình chữ nhật + Vấn đề 2. Áp dụng tri thức hình chữ nhật để giải toán 9. Hình thoi + Vấn đề 1. Áp dụng tín hiệu nhận diện để chứng minh 1 tứ giác là hình thoi + Vấn đề 2. Áp dụng tri thức hình thoi để giải toán 10. Hình vuông + Vấn đề 1. Áp dụng tín hiệu nhận diện để chứng minh 1 tứ giác là hình vuông + Vấn đề 2. Áp dụng tri thức hình vuông để giải toán Chương II. Đa giác Chương III. Tam giác đồng dạng 1. Định lí Ta-lét trong tam giác – thuộc tính đường phân giác + Vấn đề 1. Tính độ dài đoạn thẳng, tỉ số, diện tích + Vấn đề 2. Chứng minh 2 đường thẳng song song 2. Tam giác đồng dạng + Vấn đề 1. Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán

+ Vấn đề 2. Chứng minh 2 tam giác đồng dạng

[adsbygoogle = window.adsbygoogle || []].push[{}];
Tải tài liệu

#Các #dạng #toán #và #phương #pháp #giải #Toán #Ngô #Văn #Thọ

#Các #dạng #toán #và #phương #pháp #giải #Toán #Ngô #Văn #Thọ

Cẩm Nang Tiếng Anh

với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. [A + B][C + D] = AC + AD + BC + BD VD1: 1]. 8x.[ 3×3 – 6x +4 ] = 8x.3×3 +8x.[ –6x] +8x.4= 24 x4 – 48×2 + 32x. 1 1 2]. 2×2.[x2 + 5x – ] = 2×3.x2 + 2×3.5x – 2×3. = 2×5 + 10×4 – x3. 2 2 1 6 1 3]. [ 3x3y – x 2  xy].6 xy 3 = 18×4 y4 – 3x3y3 + x2y4. 2 5 5 1 5 4]. [4×3 – 5xy + 2x] [– xy] = –2×4 y + x2y2 – x2y 2 2 VD2: Tính 1]. [x + 3][x2 + 3x –5] = x3 +3×2 –5x +3×2 + 9x–15 = x3 + 6×2 +4x –15. 2]. [xy–1] [ xy+5] = x2y2 + 5xy – xy –5 = x2y2 + 4xy – 5 2 3]. [2x –5][3x + 7x –1] = 2x[3×2 + 7x – 1] – 5[ 3×2 + 7x – 1] = 6×3 +14×2 – 2x – 15×2 – 35x+5 = 6×3 – x2 – 37x + 5. 1 1 4]. [ xy –1][x3 –2x –6] = x4 y –x2y –3xy –x3 +2x + 6. 2 2 2 2 Áp dụng: [x – y] [x + xy + y ] = x [x2 + xy + y2] – y [x2 + xy + y2] = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3 = x3 – y3 Bài 1. Nhân đơn thức với đa thức: 1]. 3×2[5×2 – 2x – 4] 2]. xy2[x2y + x3y2 + 3x2y3] 3]. xyz[x2y + 3yz2 + 4xy2z] 1 3 4]. 2×2[4×2 − 5xy + 8y3] 5]. 2xy2[5×2 + 3xy − 6y3] 6]. – x2y[xy2 – xy + x2y2] 2 4 2 1 1 7]. [3xy – x2 + y]. x2y 8]. [4×3 – 5xy + 2x][ – xy] 9]. 2×2[x2 + 3x + ] 3 2 2 2 3 2 10 3 10]. – x4y2[6×4 − x2y3 – y5] 11]. x3[x + x2 – x5] 12]. 2xy2[xy + 3x2y – xy3] 9 2 3 4 3 3 10 4 3 4 1 13]. 3x[2×3 – x2 – 4x] 14]. x3y5[7×4 + 5x2y − x y –y ] 5 21 3 Bài 2. Nhân đa thức với đa thức: 1]. [2x  5][3x + 7] 2]. [3x + 2][4x  5] 3]. [x  2][x2 + 3x  1] 4].[x + 3][2×2 + x  2] 5]. [2x  y][4×2  2xy + y2] 6]. [x +3][x2 –3x + 9] – [54 + 3 x] 7].[3x + 4×2  2][ x2 +1 + 2x] 8]. [2x – y][4×2 + 2xy + y2] 9]. [2x + y][4×2 – 2xy + y2] 2 10].[x – 2][3x – 2x + 1] 11].[x + 2][x2 + 3x + 2] 12.] [2×2 + 1][x2 – x +3] 13].[xy – 1][x2y – 3xy2] 14]. [x + 3][x2 – x + 2] 15]. [x2 – x + 2][2x – 3] 2 2 2 2 16].[x – 2xy – y ][x – y] 17]. [x – 3xy + y ][x + y] 18]. [x – 5][x2 – 6x + 1] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 1

TOÁN HỌC

LỚP 8

19]. [2×2 – 1][3×2 – x + 2] 22]. [7x – 1][2×2 – 5x + 3] 1

2

25]. [− x2+y3][8×3 −

4 2 x y –y2]

3

20]. [2 – 3×2][x3 + 2×2 – 3] 23]. [5x + 3][3×2 + 6x + 7]

26]. [2xy2−7x2y][

21]. [9x – 2][x2 – 3x + 5]
24]. [6×2 + 5y2][2×2– y2]

1 2 x + 5xy − 4y3]

2

Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức: 1]. A = 5x[4×2 – 2x + 1] – 2x[10×2 – 5x – 2] 2]. 2x [3×2 − 5x + 8] − 3×2[2x − 5 ] – 16x 3]. B = 5x[x2 – 3] + x2[7 – 5x] – 7×2 4]. C = [x – 2][x4 + 2×3 + 4×2 + 8x +16] 5]. D = 4×2 – 28x + 49 6]. E = x3 – 15×2 + 75x 7]. F = [x + 1][x – 1][ x2 + x + 1][ x2 – x + 1] 8]. G = x[x – y] + [x + y] 9]. H = 5x[x – 4y] – 4y[y – 5x] 10]. I = x[x2 – y2] – x2[x + y] + y[x2 – x] 11]. J = [x + y][x3 – x2y + xy2 – y3] 12]. K = 4×2[5x – 3y] – 5×2[4x + y] 13]. L = [x2y + y3][x2 + y2] – y[x4+ y4]

14]. [2×2 + y] [x − 6xy ] − 2x [x – 3y2] [x + 1 ] + 6x2y [y − 2x]

với x= 15 với x = − 15 với x = – 5 với x = 3 với x = 4 với x = 25 với x = 3 với x = 6 và y =8 với x= – 1/5; y= –1/2 với x = 1/2 và y = 100 với x = 2 và y = – 1/2 với x = –2; y = –3 với x = 0,5; y = – 2

với x = − 2 và y = 3

BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

b] [2x  1][3x  2][3 – x]

c] [ x  3][ x2  3x – 5]

d] [ x  1][ x2 – x  1] e] [2×3  3x  1].[5x  2]

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

f] [ x2  2x  3].[ x  4]

a] [ x2 –1][ x2  2x]

a] 2x3y[2×2 – 3y  5yz]

b] [ x – 2y][ x2y2  xy  2y]

2 2 e] [ x – y][ x2  xy  y2 ] x y.[3xy – x2  y] 3 Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

d]

2 xy[ x2y – 5x  10y] 5 1  f]  xy –1 .[ x3 – 2x – 6] 2 

c]

a] [ x  y][ x4  x3y  x2y2  xy3  y4 ]  x5  y5 b] [ x  y][ x4  x3y  x2y2  xy3  y4 ]  x5  y5 c] [a  b][a3  a2b  ab2  b3]  a4  b4 d] [a  b][a2  ab  b2 ]  a3  b3 Bài 4. Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:

a] A  [ x  2][ x4  2×3  4×2  8x  16]

với x  3 .

b] B  [ x  1][ x7  x6  x5  x4  x3  x2  x  1]
c] C  [ x  1][ x6  x5  x4  x3  x2  x  1]

với x  2 .

với x  2 .

d] D  2x[10×2  5x  2]  5x[4×2  2x  1] với x  5 . Bài 5. Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức: 1 a] A  [ x3  x2y  xy2  y3][ x  y] với x  2, y   .

2

ĐS: A  211 ĐS: B  255 ĐS: C  129 ĐS: D  5

ĐS: A 

255
16

ĐS: B  275 1 1 3 c] C  [ x2  2xy  2y2 ][ x2  y2 ]  2x3y  3x2y2  2xy3 với x   , y   . ĐS: C  2 2 16 Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

b] B  [a  b][a4  a3b  a2b2  ab3  b4 ]

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

với a  3, b  2 .

nguồn tham khảo: internet

Trang 2

TOÁN HỌC

LỚP 8

a] A  [3x  7][2x  3]  [3x  5][2x  11] b] B  [ x2  2][ x2  x  1]  x[ x3  x2  3x  2] c] C  x[ x3  x2  3x  2]  [ x2  2][ x2  x  1] d] D  x[2x  1]  x2[ x  2]  x3  x  3 e] E  [ x  1][ x2  x  1]  [ x  1][ x2  x  1] Bài 7. * Tính giá trị của đa thức:

a] P[ x]  x7  80×6  80×5  80×4  …  80x  15

với x  79

b] Q[ x]  x14  10×13  10×12  10×11  …  10×2  10x  10

với x  9

c] R[ x]  x4  17×3  17×2  17x  20 với x  16
d] S[ x]  x10  13×9  13×8  13×7  …  13×2  13x  10

ĐS: P[79]  94 ĐS: Q[9]  1

ĐS: R[16]  4

với x  12

ĐS: S[12]  2

II. HẰNG ĐẲNG THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau: 1. [A + B]2 = A2 + 2AB + B2 2. [A – B]2 = A2 – 2AB + B2 3. A2 – B2 = [A + B][A – B] 4. [A + B]3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5. [A – B]3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 6. A3 + B3 = [A + B][A2 – AB + B2] 7. A3 – B3 = [A – B][A2 + AB + B2] Chú ý: Các công thức 4] và 5] còn được viết dưới dạng: [A + B]3 = A3 + B3 + 3AB[A + B] [A – B]3 = A3 – B3 – 3AB[A – B] Từ công thức 1] và 2] ta suy ra các công thức: [A + B + C]2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC [A – B + C]2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC [A – B – C]2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC Ví dụ 1: Khai triển: a] [5x + 3yz]2 = 25×2 + 30xyz + 9y2z2 b] [y2x – 3ab]2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2 c] [x2 – 6z][x2 + 6z] = x4 – 36z2 d] [2x – 3]3 = [2x]3 – 3.[2x]2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8×3 – 36×2 + 54x – 27 e] [a + 2b]3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3 g] [x2 + 3][x4 + 9 – 3×2] = [x2]3 + 33 = x6 + 27 h] [y – 5][25 + 2y + y2 + 3y] = [y – 5][y2 + 5y + 25] = y3 – 53 = y3 – 125 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a] A = [x + y]2 – [x – y]2 = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xy Hoặc: A = [x + y + x – y][x + y – x + y] = 2x.2y = 4xy b] B = [x + y]2 – 2[x + y][x – y] + [x – y]2 = x2 + 2xy + y2 – 2×2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2 c] C = [x + y]3 – [x – y]3 – 2y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3 = 6x2y Ví dụ 3: Chứng minh: [a + b + c]2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Ta có: VT = [a + b + c]2 = [[a + b] + c]2 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 3

TOÁN HỌC

LỚP 8

=[a + b]2 + 2[a + b]c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP Vậy đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 4: Chứng minh: a] a3 + b3 = [a + b]3 – 3ab[a + b] Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Áp dụng: Tìm tổng lập phương của hai số biết rằng tích hai số đó bằng 6 và tổng hai số đó bằng – 5 Gọi hai số đó là a và b thì ta có: a3 + b3 = [a + b]3 – 3ab[a + b] = [- 5]3 – 3.6 [- 5] = – 125 + 90 = -35 b] a3 – b3 = [a – b]3 + 3ab[a – b] Ta có: VP = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2 = a3 – b3 Ví dụ 5: Tính nhanh: a] 1532 + 94 .153 + 472 = 1532 + 2.47.153 + 472 = [153 + 47]2 = 2002 = 40000 b] 1262 – 152.126 + 5776 = 1262 – 2.126.76 + 762 = [126 – 76]2 = 502 = 2500 c] 38.58 – [154 – 1][154 + 1] = 158 – [158 – 1] = 1 d] [2 + 1][22 + 1][24 + 1] … [220 + 1] + 1 = = [2 – 1][2 + 1] [22 + 1][24 + 1] … [220 + 1] + 1 = = [22 – 1] [22 + 1][24 + 1] … [220 + 1] + 1 = = [24 – 1][24 + 1] … [220 + 1] + 1 = =… = [220 – 1][220 + 1] + 1 = 240 – 1 + 1 = 240 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu: 25 5 5 5 a] x2 + 5x + = x2 + 2. x + [ ]2 = [x + ]2 2 2 2 4 2 2 2 b] 16x – 8x + 1 = [4x] – 2.x.4 + 1 = [4x – 1]2 c] 4×2 + 12xy + 9y2 = [2x]2 + 2.2x.3y + [3y]2 = [2x + 3y]2 d] [x + 3][x + 4][x + 5][x + 6] + 1 = [x + 3][x + 6][x + 4][x + 5] + 1 = [x2 + 6x + 3x + 18][x2 + 4x + 5x + 20] + 1 = [x2 + 9x + 18][x2 + 9x + 18 + 2] + 1 = [x2 + 9x + 18]2 + 2[x2 + 9x + 18].1 + 12 = [x2 + 9x + 18 + 1]2 = [x2 + 9x + 19]2 e] x2 + y2 + 2x + 2y + 2[x + 1][y + 1] + 2 = x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + 2 + 2 = x2 + y2 + 22 + 4x + 4y + 2xy = [x + y + 2]2 g] x2 – 2x[y + 2] + y2 + 4y + 4 = x2 – 2xy – 4x + y2 + 4y + 4 = x2 + y2 + 22 – 2xy – 4x + 4y = [x – y – 2 ]2 2 2 h] x + 2x[y + 1] + y + 2y + 1 = x2 + 2x[y + 1] + [y + 1]2 = [x + y + 1]2 Bài tập 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay một hiệu: a] x3 + 3×2 + 3x + 1 = [x + 1]3 1 1 1 1 1 b] 27y3 – 9y2 + y = [3y]3 – 3.[3y]2. + 3.3y.[ ]2 – [ ]3 = [3y – ]3 27 3 3 3 3 6 4 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 c] 8x + 12x y + 6x y + y = [2x ] + 3.[2x ] .y + 3.[2x ].y + y = [2x + y]3 d] [x + y]3[x – y]3 = [[x + y][x – y]]3 = [x2 – y2]3 Bài tập 3: Rút gọn biểu thức: a] [2x + 3]2 – 2[2x + 3][2x + 5] + [2x + 5]2 = [2x + 3 – 2x – 5]2 = [-2]2 = 4 b] [x2 + x + 1][x2 – x + 1][x2 – 1] = [x2 + 1 + x][x2 + 1 – x][x2 – 1] = [[x2 + 1]2 – x2] [x2 – 1] = [x2 – 1][x2 + 1]2 – x2[x2 – 1] = [x4 – 1][x2 + 1] – x4 + x2 = x6 + x4 – x2 – 1 – x4 + x2 = x6 – 1 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 4

TOÁN HỌC

LỚP 8

c] [a + b – c]2 + [a – b + c]2 – 2[b – c]2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac – 2b2 + 4bc – 2c2 = 2a2 d] [a + b + c]2 + [a – b – c]2 + [b – c – a]2 + [c – a – b]2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac + b2 + c2 + a2 – 2bc + 2ac – 2ab + c2 + a2 + b2 – 2ac + 2ab – 2bc = 4a2 + 4b2 + 4c2 = 4[a2 + b2 + c2] Bài tập 4: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu * a] 8×3 + * + * + 27y3 = [* + *]3 = [2x]3 + 3.[2x]2.3y + 3.2x.[3y]2 + [3y]3 = [2x + 3y]3 = 8×3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = [2x + 3y]3 b] 8×3 + 12x2y + * + * = [* + *]3 = [2x]3 + 3.[2x]2.y + 3.2x.y2 + y3 = [2x + y]3 = 8×3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = [2x + y]3 c] x3 – * + * – * = [* – 2y]3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = [x – 2y]3 Bài tập 5: CMR với mọi giá trị của biến x ta luôn có: a] – x2 + 4x – 5 < 0 Ta có: – x2 + 4x – 5 = – [x2 – 4x + 5] = – [x2 – 4x + 4 + 1] = – [[x – 2]2 + 1] Mà [x – 2]2 ≥ 0 nên [x – 2]2 + 1 > 0 Do đó – [[x – 2]2 + 1] < 0 với mọi giá trị của biến x b] x4 + 3×2 + 3 > 0 Ta có: x4 ≥ 0 ; 3×2 ≥ 0 nên x4 + 3×2 + 3 > 0 , với mọi x c] [x2 + 2x + 3][x2 + 2x + 4] + 3 > 0 Ta có: [x2 + 2x + 3][x2 + 2x + 4] + 3 = [x2 + 2x + 3][x2 + 2x + 3 + 1] + 3 = [x2 + 2x + 3]2 + [x2 + 2x + 3] + 1 + 2 = [x2 + 2x + 3]2 + [x2 + 2x + 1] + 5 = [x2 + 2x + 3]2 + [x + 1]2 + 5 Ta có: [x2 + 2x + 3]2 ≥ 0; [x + 1]2 ≥ 0 nên [x2 + 2x + 3]2 + [x + 1]2 + 5 > 0 , với mọi x Bài tập 6: So sánh: a] 2003.2005 và 20042 Ta có: 2003.2005 = [2004 – 1][2004 + 1] = 20042 – 1 < 20042 b] 716 – 1 và 8[78 + 1][74 + 1][72 + 1] Ta có: 716 – 1 = [78]2 – 1 = [78 + 1][78 – 1] = [78 + 1][74 + 1][74 – 1] = [78 + 1][74 + 1][72 + 1][72 – 1] = [78 + 1][74 + 1][72 + 1][7 + 1][7 – 1] = =[78 + 1][74 + 1][72 + 1]8.6 > [78 + 1][74 + 1][72 + 1].8 Bài tập 7: Cho a – b = m ; a.b = n .Tính theo m, n giá trị của các biểu thức sau: a] [a + b]2 = [a 2 + 2ab + b2 – 4ab + 4ab = [a – b]2 + 4ab Thay a – b = m, a.b = n vào biểu thức ta được : [a + b]2 = m2 + 4n b] a2 + b2 = [a + b]2 – 2ab = m2 – 2n c] a3 – b3 = [a – b]3 + 3ab[a – b] = m3 + 3m.n = m[m2 + 3n] Bài tập 8: Cho a + b = p ; a – b = q . Tìm theo p,q giá trị của các biểu thức sau: a] a.b = ? Ta có: [a + b]2 – [a – b]2 = 4ab p2  q2 [ a  b] 2  [ a  b] 2  ab = = 4 4 p2  q2 b] a3 + b3 = [a + b]3 – 3ab[a + b] = p3 – 3p. = 4 4 p 3  3 p[ p 2  q 2 ] 4 p 3  3 p 3  3 pq 2 p 3  3 pq 2 p[ p 2  3q 2 ]    4 4 4 4 BÀI TẬP TỔNG HỢP Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 5

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 1. Điền vào chỗ trống cho thích hợp:
a] x2  4x  4  ……….

b] x2  8x 16  ……….

c] [ x  5][ x  5]  ………..

d] x  12x  48x  64  …… e] x  6x  12x  8  …… f] [ x  2][ x2  2x  4]  ……
3

2

3

2

g] [ x  3][ x2  3x  9]  …….

h] x2  2x  1  ……

i] x2 –1 ……

k] x2  6x  9  …….

l] 4×2 – 9  …….

m] 16×2 – 8x  1  ……

o] 36×2  36x  9  ……..

p] x3  27  ….

a] [2x  3y]2

b] [5x – y]2

c] [2x  y2 ]3

2  2   d]  x 2  y  .  x 2  y  5  5 



1  e]  x   4



g] [3×2 – 2y]3

h] [ x  3y][ x2  3xy  9y2 ]

n] 9×2  6x  1  …….
Bài 2. Thực hiện phép tính:

2

1 2 f]  x 2  2

3

 y



3

i] [ x 2  3].[ x 4  3x 2  9]

k] [ x  2y  z][ x  2y – z] l] [2x –1][4×2  2x  1] m] [5  3x]3 Bài 3. Tính giá trị biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức: a] A  x3  3×2  3x  6 với x  19 b] B  x3  3×2  3x -1 với x  11 ĐS: a] A  8005 b] B  1001. Bài 4. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a] [2x  3][4×2  6x  9]  2[4×3  1]

b] [4x  1]3  [4x  3][16×2  3]

c] 2[ x3  y3]  3[ x2  y2 ] với x  y  1 d] [ x  1]3  [ x  1]3  6[ x  1][ x  1]
e]

[ x  5]2  [ x  5]2

x2  25 ĐS: a] 29 b] 8

Bài 5. Giải các phương trình sau:

f]
c] –1

[2x  5]2  [5x  2]2 x2  1

d] 8

a] [ x  1]3  [2  x][4  2x  x2 ]  3x[ x  2]  17

e] 2

f] 29

b] [ x  2][ x2  2x  4]  x[ x2  2]  15

c] [ x  3]3  [ x  3][ x2  3x  9]  9[ x  1]2  15 d] x[ x  5][ x  5]  [ x  2][ x2  2x  4]  3 10 11 2 7 ĐS: a] x  b] x  c] x  d] x   25 2 15 9 Bài 6. So sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:

a] A  1999.2001 và B  20002

b] A  216 và B  [2  1][22  1][24  1][28  1]

c] A  2011.2013 và B  20122

d] A  4[32  1][34  1]…[364  1] và B  3128  1

BÀI TẬP NÂNG CAO Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a] M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = [x – 2]2 + 3 Ta thấy: [x – 2]2 ≥ 0 nên M ≥ 3 Hay GTNN của M bằng 3 Giá trị này đạt được khi [x – 2]2 = 0  x – 2 = 0  x = 2 b] N = [x2 – 4x – 5][x2 – 4x – 19] + 49 N = [x2 – 4x – 5 ][x2 – 4x – 5 – 14] + 49 N = [x2 – 4x – 5]2 – 14[x2 – 4x – 5] + 49 N = [x2 – 4x – 5]2 – 2.7[x2 – 4x – 5 ] + 72 N = [x2 – 4x – 5 – 7 ]2 = [x2 – 4x – 12 ]2 Ta thấy : [x2 – 4x – 12]2 ≥ 0 nên N ≥ 0 Hay GTNN của N bằng 0 Giá trị này đạt được khi x2 – 4x – 12 = 0  [x – 6][x + 2] = 0 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 6

TOÁN HỌC

LỚP 8

 x = 6 ; hoặc x = -2 c] P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 P = x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 + 2 = [x – 3]2 + [y – 1]2 + 2 Ta thấy: [x – 3]2 ≥ 0; và [y – 1]2 ≥ 0 nên P ≥ 2 Hay GTNN của P bằng 2 Giá trị này đạt được khi x – 3 = 0 và y – 1 = 0  x = 3 và y = 1 Chú ý về GTNN và GTLN của một biểu thức: Cho một biểu thức A, ta nói rằng số k là GTNN của A nếu ta c/m được 2 điều kiện: a] A ≥ k với mọi giá trị của biến đối với biểu thức A b] Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của A để khi thay vào, A nhận giá trị k. Tương tự, cho một biểu thức B, ta nói rằng số h là GTLN của B nếu ta c/m được 2 điều kiện: a] B ≤ h với mọi giá trị của biến đối với biểu thức B. b] Đồng thời, ta tìm được các giá trị của biến cụ thể của B để khi thay vào, B nhận giá trị h. Có hai loại sai lầm thường gặp của HS: 1] Khi chứng minh được a], vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện b] 2] Đã hoàn tất được a] và b], tuy nhiên, bài toán đòi hỏi xét trên một tập số nào đó thôi, tức là thêm các yếu tố ràng buộc, mà HS không để ý rằng giá trị biến tìm được ở bước b] lại nằm ngoài tập cho trước đó. Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A = [x2 + 1]2 + 4 Giả sử lời giải như : Vì [x2 + 1]2 ≥ 0 nên A ≥ 4 . Vậy GTNN của biểu thức là 4. Kết luận về GTNN như thế là mắc phải sai lầm loại 1], tức là quên kiểm tra điều kiện b] . Thực ra để cho A bằng 4, ta phải có [x2 + 1]2 = 0 , nhưng điều này không thể xảy ra được với mọi giá trị của biến x. Ví dụ 2: Cho x và y là các số hữu tỉ và x ≠ y .Tìm GTNN của biểu thức 1 B = [x – y]2 + 2 2 Giả sử lời giải như sau: 1 Vì [x – y]2 ≥ 0 nên B ≥ 2 2 Mặt khác khi thay x = y = 1, B nhận giá trị 2 Vậy GTNN của biểu thức B là 2. ở đây, kết luận về GTNN như thế là mắc phải sai lầm loại 2], tức là quên kiểm tra điều kiện ràng buộc x ≠ y . Bài tập 2: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a] A = x2 – 4x + 9 Ta có : A = x2 – 4x + 4 + 5 = [x – 2]2 + 5 Ta thấy [x – 2]2 ≥ 0, nên [x – 2]2 + 5 ≥ 5 Hay GTNN của A bằng 5 , giá trị này đạt được khi [x – 2]2 = 0  x–2=0  x=2 b] B = x2 – x + 1 1 1 3 1 3 Ta có: B = x2 – 2. x +  = [x – ]2 + 2 2 4 4 4 3 1 Vậy GTNN của B bằng , giá trị này đạt được khi x = 4 2 3 9 9 3 9 c] C = 2×2 – 6x = 2[x2 – 3x] = 2[[x2 – 2. x + ]  ] = 2[x – ]2 2 4 4 2 2 9 3 Vậy GTNN của C bằng – , giá trị này đạt được khi x = 2 2 Bài tập 3: Tìm GTLN của các đa thức: a] M = 4x – x2 + 3 = – x2 + 4x – 4 + 7 = 7 – [x2 – 4x + 4] = 7 – [x – 2]2 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 7

TOÁN HỌC

LỚP 8

Ta thấy: [x – 2]2 ≥ 0 ; nên – [x – 2]2 ≤ 0 . Do đó: M = 7 – [x – 2]2 ≤ 7 Vậy GTLN của biểu thức M bằng 7, giá trị này đạt được khi x = 2 1 1 1 1 1 b] N = x – x2 = – x2 + 2. x –  =  [ x  ] 2 4 4 4 2 2 1 1 Vậy GTLN của N bằng , giá trị này đạt được khi x = 4 2 19 1 1 c] P = 2x – 2×2 – 5 = 2[ – x2 + x – 5] = 2[[ – x2 + 2. x – ] – ] 2 4 4 19 19 1 = – [x – ]2 ≤ 2 2 2 19 1 Vậy GTLN của biểu thức P bằng , giá trị này đạt được khi x = 2 2 Chú ý: Dạng toán này tương tự dạng : Chứng minh 1 biểu thức luôn dương, hoặc luôn âm, hoặc lớn hơn, nhỏ hơn 1 số nào đó. Bài tập 4 : Tìm x , biết rằng: a] 9×2 – 6x – 3 = 0 9×2 – 2.3x.1 + 1 – 4 = 0 [3x – 1]2 – 4 = 0 [3x – 1 + 2][3x – 1 – 2] = 0 [3x + 1][3x – 3] =0 1  x 3 x  1  0 3 x  1  3 3 x  3  0  3 x  3     x  1 3 2 b] x + 9x + 27x + 19 = 0 x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – 8 =0 [x + 3]3 – 8 = 0 [x + 3]3 – 23 = 0 [x + 3 – 2][[x + 3]2 + 2[x + 3] + 4] = 0 [x + 1][x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + 4] =0 [x + 1][x2 + 8x + 19] = 0 [x + 1][x2 + 2.4x + 16 + 3] = 0 [x + 1][[x + 4]2 + 3] = 0 x + 1 = 0 Vì [x + 4]2 + 3 > 0 , với mọi giá trị của biến x. x = -1 c] x[x + 5][x – 5] – [x + 2][x2 – 2x + 4] = 3 x[x2 – 25] – [x3 + 8] – 3 = 0 x3 – 25x – x3 – 8 – 3 = 0 – 25x = 11 11 x=25 Bài tập 5 : Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0 [x2 + 2x + 1] + [y2 – 6y + 9] + [4z2 – 4z + 1] = 0 [x + 1]2 + [y – 3]2 + [2z – 1]2 = 0   x  1 x  1  0    y  3  0  y  3 2 z  1  0  1  z  2  Bài tập 6 : Cho a + b = 1 .Tính a3 + 3ab + b3 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 8

TOÁN HỌC

LỚP 8

Ta có: a3 + 3ab + b3 = [a + b]3 – 3ab[a + b] + 3ab = [a + b]3 – 3ab + 3ab = [a + b]3 = 1 [ Vì a + b = 1] Bài tập 7 : Chứng minh các biểu thức sau nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến: a] A = x2 – x + 1 1 1 3 1 3 A = x2 – 2. x +  = [x – ] 2  2 4 4 2 4 1 2 3 1 2 Vì [x – ] ≥ 0 nên [x – ]  > 0 , với mọi giá trị của biến 2 2 4 Hay A > 0 , với mọi giá trị của biến. b] B = [x – 2][x – 4] + 3 = x2 – 4x – 2x + 8 + 3 = x2 – 6x + 9 + 2 = [x – 3]2 + 2 Vì [x – 3]2 ≥ 0 nên [x – 3]2 + 2 > 0, với mọi giá trị của biến Hay B > 0, với mọi giá trị của biến. c] C = 2×2 – 4xy + 4y2 + 2x + 5 C = x2 – 4xy + 4y2 + x2 + 2x + 1 + 4 = [x – 2y]2 + [x + 1]2 + 4 Vì [x – 2y]2 ≥ 0 , và [x + 1]2 ≥ 0 nên [x – 2y]2 + [x + 1]2 + 4 > 0, với mọi x Hay C > 0, với mọi x. Bài tập 8 : Chứng minh các đẳng thức sau: a] [a2 + b2]2 – 4a2b2 = [a + b]2[a – b]2 Ta biến đổi vế trái: VT = [a2 + b2]2 – 4a2b2 = [a2 + b2]2 – [2ab]2 = [a2 + b2 + 2ab][a2 + b2 – 2ab] = [a + b]2[a – b]2 = VP. Vậy đẳng thức được chứng minh. 2 b] [a + b2][x2 + y2] = [ax – by]2 + [bx + ay]2 Ta có: VT = [a2 + b2][x2 + y2] = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 = a2x2 – 2ax.by + b2y2 + a2y2 + 2ay.bx + b2x2 = [ax – by]2 + [bx + ay]2 = VP. Vậy đẳng thức được chứng minh. c] a3 – b3 + ab[a – b] = [a – b][a + b]2 Ta có : VT = a3 – b3 + ab[a – b] = [a – b][a2 + ab + b2] + ab[a – b] = [a – b][a2 + ab + b2 + ab] = [a – b][a + b]2 d][a – b]3 + [b – c]3 + [c – a]3 = 3[a – b][b – c][c – a] VT = [a – b]3 + [b – c]3 + [c – a]3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3 – 3c2a + 3ca2 – a3 = – 3a2b + 3ab2 – 3b2c + 3bc2 – 3c2a + 3ca2 VP = 3[a – b][b – c][c – a] = 3[ab – ac – b2 + bc][c – a] = 3[abc – a2b – ac2 + a2c – b2c + ab2 + bc2 – abc] = – 3a2b – 3ac2 + 3a2c – 3b2c + 3ab2 + 3bc2 Vậy VT = VP Do đó đẳng thức được chứng minh. Bài tập 9 : Giải các phương trình sau: a] x2 – 4x + 4 = 25 [x – 2]2 – 25 = 0 [x – 2 + 5][x – 2 – 5] = 0 [x + 3][x – 7] = 0 x + 3 = 0 hoặc x – 7 = 0 x = -3 hoặc x = 7 b] [5 – 2x]2 – 16 = 0 [5 – 2x + 4][5 – 2x – 4] = 0 [9 – 2x][1 – 2x] = 0 9 – 2x = 0 hoặc 1 – 2x = 0

9 = 2x hoặc 2x = 1

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 9

TOÁN HỌC

LỚP 8

9 1 hoặc x = 2 2 3 2 c] [x – 3] – [x – 3][x + 3x + 9] + 9[x + 1]2 = 15 x3 – 9×2 + 27x – 27 – x3 + 27 + 9×2 + 18x + 9 – 15 = 0 27x + 18x + 9 – 15 = 0 45x = 6 2 x= 15 Bài tập 10 : Tính giá trị của các biểu thức: a] A = 49×2 – 56x + 16 , với x = 2 Ta có: A = [7x – 4]2 Với x = 2 thì: A = [7.2 – 4]2 = 102 = 100 b] B = 27×3 + 54×2 + 36x + 8 , với x = – 2 Ta có: B = [3x]3 + 3.[3x]2.2 + 3.[3x].4 + 23 = [3x + 2]3 Với x = -2 thì:

B = [3.[-2] + 2]3 = [-4]3 = – 64

x=

c] C = [x – 1]3 – 4x[x + 1][x – 1] + 3[x – 1][x2 + x + 1] + 3[x – 1]2 , với x = –

2
5

Ta có: C = [x – 1]3 – 4x[x2 – 1] + 3[x3 – 1] + 3[x2 – 2x + 1] C = x3 – 3×2 + 3x – 1 – 4×3 + 4x + 3×3 – 3 + 3×2 – 6x + 3 C=x–1 7 2 2 Với x = thì: C = – – 1 = 5 5 5 Bài tập 11 : CMR tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương. Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n , n + 1 , n + 2 , n + 3 . Khi đó ta có: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là: A = n[n + 1][n + 2][n + 3]+ 1 A= [n2 + 3n][n2 + 3n + 2] + 1 = [n2 + 3n]2 + 2[n2 + 3n] + 1 = [n2 + 3n + 1]2 Vì n là số tự nhiên nên [n2 + 3n + 1]2 là một số chính phương. Vậy n[n + 1][n + 2][n + 3] là một số chính phương. BÀI TẬP Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a] A  5x – x2

b] B  x – x2

d] D  – x2  6x  11 e] E  5  8x  x2

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

c] C  4x – x2  3
f] F  4x  x2  1

a] A  x2 – 6x  11

b] B  x2 – 20x  101

d] D  [ x  1][ x  2][ x  3][ x  6]

e] E  x2  2x  y2  4y  8 f] x2  4x  y2  8y  6

c] C  x2  6x  11

g] G  x2 – 4xy  5y2  10x – 22y  28 HD: g] G  [ x  2y  5]2  [ y  1]2  2  2 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức [nếu có]: A = x2 – 4x + 1 B = 4×2 + 4x + 11 2 C = x + 4x + 8 D = 7 – 8x + x2 E = x[x – 6] F = [x – 3]2 + [x – 11]2 G = [x –1][x + 3][x + 2][x + 6] H = [x + 1][x – 2][x – 3][x – 6] 2 I = 5 – 8x – x J = 4x – x2 +1 2 2 K = x [2– x ]. Bài 4. Cho a  b  S và ab  P . Hãy biểu diễn theo S và P, các biểu thức sau đây: Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 10

TOÁN HỌC
a] A  a2  b2

LỚP 8 b] B  a3  b3 c] C  a4  b4 III. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VẤN ĐỀ I. Phương pháp đặt nhân tử chung

AB + AC = A[B +C]

Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử [Dùng phương pháp đặt nhân tử chung] a] 5x[x – 2] – 3×2[x – 2] = [x – 2].x.[5 – 3x] b] 3x[x – 5y] – 2y[5y – x] = 3x[x – 5y] + 2y[x – 5y] = [x – 5y][3x + 2y] c] y2[x2 + y] – zx2 – zy = y2[x2 + y] – z[x2 + y] = [x2 + y][y2 – z] VẤN ĐỀ II. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích thành nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm. – Khi nhóm các hạng tử cần chú ý: + Làm xuất hiện nhân tử chung + Hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [Sử dụng phương pháp nhóm các số hạng] a] 5×2 – 5xy + 7y – 7x = [5×2 – 5xy] + [7y – 7x] = 5x[x – y] – 7[x – y] = [x – y][5x – 7] b] 3×2 + 6xy + 3y2 – 3z2 = 3[x2 + 2xy + y2 – z2] = 3[[x + y]2 – z2] = 3[x + y + z][x + y – z] c] ab[x2 + y2] + xy[a2 + b2] = abx2 + aby2 + a2xy + b2xy = [abx2 + a2xy] + [aby2 + b2xy] = ax[bx + ay] + by[ay + bx] = [ay + bx][ax + by] d] a2[b – c] + b2[c – a] + c2[a – b] = a2b – a2c + b2c – ab2 + ac2 – bc2 = [a2b – ab2] – [a2c – b2c] + [ac2 – bc2] = ab[a – b] – c[a – b][a + b] + c2[a – b] = [a – b][ab – c [a + b] + c2] = [a – b][ab – ac – bc + c2] = [a – b][[ab – bc] – [ac – c2]] = [a – b][b[a – c] – c[a – c]] = [a – b][a – c][b – c] VẤN ĐỀ III. Phương pháp dùng hằng đẳng thức Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của các đa thức. Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [Sử dụng các hằng đẳng thức] a] 16×2 – [x2 + 4]2 = [4x]2 – [x2 + 4] = [4x + x2 + 4][4x – x2 – 4] = – [x + 2]2[x – 2]2 b] [x2 + xy]2 – [y2 + xy]2 = [x2 + xy + y2 + xy][x2 + xy – y2 – xy] = [x + y]2[x2 + y2] c] [x + y]3 + [x – y]3 = [x + y + x – y][[x + y]2 – [x + y][x – y] + [x – y]2] = 2x[x2 + 2xy + y2 – x2 + y2 + x2 – 2xy + y2]

= 2x[x2 + 3y2]

VẤN ĐỀ IV. Một số phương pháp khác – Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử . – Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. a] Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương. b] Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung. – Phương pháp đổi biến [Hay phương pháp đặt ẩn phụ] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 11

TOÁN HỌC

LỚP 8

– Phương pháp hệ số bất định. – Phương pháp xét giá trị riêng. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: [Phối hợp các phương pháp trên] a] a3 + b3 + c3 – 3abc = [a + b]3 – 3ab[a + b] + c3 – 3abc = [[a + b]3 + c3] – [3ab[a + b] + 3abc] = = [a + b + c][[a + b]2 – [a + b]c + c2] – 3ab[a + b + c] = [a + b + c] [ a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = [a + b + c][a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac] Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: [sử dụng phương pháp tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử] 3×2 – 8x + 4 Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn. Cách 1: [Tách hạng tử thứ hai] 3×2 – 8x + 4 = 3×2 – 6x – 2x + 4 = 3x[x – 2] – 2[x – 2] = [x – 2][3x – 2] Cách 2: [Tách hạng tử thứ nhất] 3×2 – 8x + 4 = 4×2 – 8x + 4 – x2 = [2x – 2]2 – x2 = [2x – 2 + x][2x – 2 – x] = [3x – 2][x – 2] Nhận xét: Trong cách 1, hạng tử – 8x được tách thành hai hạng tử – 6x và – 2x .Trong đa thức 3×2 – 6x – 2x + 4 , hệ số của các hạng tử là 3; – 6; – 2; 4. Các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp – 2 lần hệ số liền trước, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung x – 2 Một cách tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử b c bx thành b1x + b2x sao cho 1  , tức là b1b2 = ac. a b2 Trong thực hành ta làm như sau: – Bước 1: Tìm tích a.c -Bước 2: Phân tích tích a.c ra tích của hai thừa số nguyên tố bằng mọi cách. -Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Trong bài tập trên, đa thức 3×2 – 8x + 4 có a = 3 ; b = -8 ; c = 4 . Tích a.c = 3.4 = 12 Phân tích 12 ra tích của hai thừa số , hai thừa số này cùng dấu [vì tích của chúng bằng 12], và cùng âm [để tổng của chúng bằng – 8] 12 = [-1][- 12] = [-2][- 6] = [- 3][- 4] Chon hai thừa số tổng bằng – 8 , đó là – 2 và – 6 . Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4×2 – 4x – 3 Cách 1: [tách hạng tử thứ hai] 4×2 – 4x – 3 = 4×2 + 2x – 6x – 3 = 2x[2x + 1] – 3[2x + 1] = [2x + 1][2x – 3] Cách 2: [Tách hạng tử thứ ba] 4×2 – 4x – 3 = 4×2 – 4x + 1 – 4 = [2x – 1]2 – 22 = [2x – 1 + 2][2x – 1 – 2] = [2x + 1][2x – 3] Nhận xét: Qua hai bài tập trên, ta thấy việc tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích: – Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đo mà xuất hiện nhân tử chung [cách 1] -Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương [cách 2] Với các đa thức có từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức. Ví dụ 4: Phân tích các đa thức thành nhân tử: a] x2 – 6x + 5 Đối với mỗi bài ta có thể biến đổi và giải theo nhiều cách khác nhau: Cách 1: x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 = x[x – 1] – 5[x – 1] = [x – 1][x – 5] Cách 2: x2 – 6x + 5 = x2 – 6x + 9 – 4 = [x – 3]2 – 22 = [x – 3 – 2][x – 3 + 2] = [x – 5][x – 1] Cách 3: x2 – 6x + 5 = x2 – 2x + 1 – 4x + 4 = [x – 1]2 – 4[x – 1] = [x – 1][x – 1 – 4] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 12

TOÁN HỌC

LỚP 8

= [x – 1][x – 5] Cách 4: x2 – 6x + 5 = x2 – 1 – 6x + 6 = [x – 1][x + 1] – 6[x – 1] = [x – 1][x + 1 – 6] = [x – 1][x – 5] Cách 5: x2 – 6x + 5 = 3×2 – 6x + 3 – 2×2 + 2 = 3[x – 1]2 – 2[x2 – 1] = [x – 1][3x – 3 – 2x – 2] = [x – 1][x – 5] Cách 6: x2 – 6x + 5 = 5×2 – 10x + 5 – 4×2 + 4x = 5[x – 1]2 – 4x[x – 1] = [x – 1][5x – 5 – 4x] = [x – 1][x – 5] Cách 7: x2 – 6x + 5 = 6×2 – 6x – 5×2 + 5 = 6x[x – 1] – 5[x – 1][x + 1] = [x – 1][6x – 5x – 5] = [x – 1][x – 5] 4 b] x + 2×2 – 3 Cách 1: x4 + 2×2 – 3 = x4 – x2 + 3×2 – 3 = x2[x2 – 1] + 3[x2 – 1] = [x2 – 1][x2 + 3] = [x – 1][x + 1][x2 + 3] Cách 2: x4 + 2×2 – 3 = x4 + 2×2 + 1 – 4 = [x2 + 1]2 – 4 = [x2 + 1 – 2][x2 + 1 + 2] = [x2 – 1][x2 + 3] = [x – 1][x + 1][x2 + 3] Cách 3: x4 + 2×2 – 3 = x4 + 3×2 – x2 – 3 = x2[x2 + 3] – [x2 + 3] = [x2 + 3][x2 – 1] = [x – 1][x + 1][x2 + 3] Cách 4: x4 + 2×2 – 3 = x4 – 1 + 2×2 – 2 = [x2 – 1][x2 + 1] + 2[x2 – 1] = [x2 – 1][x2 + 1 + 2] = [x – 1][x + 1][x2 + 3] Cách 5: x4 + 2×2 – 3 = x4 – 9 + 2×2 + 6 = [x2 – 3][x2 + 3] + 2[x2 + 3] = [x2 + 3][x2 – 3 + 2] = [x2 + 3][x – 1][x + 1] Cách 6: x4 + 2×2 – 3 = 3×4 – 3 – 2×4 + 2×2 = 3[x4 – 1] – 2×2[x2 – 1] = [x2 – 1][3×2 + 3 – 2×2] = [x – 1][x + 1][x2 + 3] Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: [Sử dụng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử] a] x4 + 64 = [x2]2 + 82 + 2.×2.8 – 16×2 = [x2 + 8]2 – 16×2 = [x2 + 8 – 4x][x2 + 8 + 4x] = [x2 – 4x + 8][x2 + 4x + 8] b] x5 + x4 + 1 = [x5 + x4 + x3] – [x3 – 1] = x3[x2 + x + 1] – [x – 1][x2 + x + 1] = [x2 + x + 1][x3 – x + 1] Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: [Sử dụng phương pháp đổi biến] a] [x2 + 2x][x2 + 2x + 4] + 3 Đặt x2 + 2x = t Đa thức trên trở thành: t[t + 4] + 3 = t2 + 4t + 3 = t2 + t + 3t + 3 = t[t + 1] + 3[t + 1] = [t + 1][t + 3] Thay t = x2 + 2x , ta được: [x2 + 2x + 1][x2 + 2x + 3] b] [x2 + 4x + 8]2 + 3x[x2 + 4x + 8] + 2×2 Đặt t = x2 + 4x + 8 Đa thức trên trở thành: t2 + 3x.t + 2×2 = t2 + 2tx + x2 + x2 + xt = [t + x]2 + x[x + t] = [t + x][t + x + x] = [t + x][t + 2x] Thay t = x2 + 4x + 8 , ta được: [x2 + 4x + 8 + x][x2 + 4x + 8 + 2x] = [x2 + 5x + 8][x2 + 6x + 8] BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Phân tích các đa thức thành nhân tử: Bài tập 1: a]3x2y2 + 15x2y – 21xy2 = 3xy[xy + 5x – 7y] b] 4x[x – 2y] + 12y[2y – x] = 4x[x – 2y] – 12y[x – 2y] = 4[x – 2y][x – 3] c] 4x[x + 1]2 – 5×2[x + 1] – 4[x + 1] = [x + 1][4x – 5×2 – 4] Bài tập 2: a] x2 – y2 + 2x + 1 = [x2 + 2x + 1] – y2 = [x + 1]2 – y2 = [x + 1 + y][x + 1 – y] b] [x2 + 9]2 – 36×2 = [x2 + 9 + 6x][x2 + 9 – 6x] = [x + 3]2[x – 3]2 c] x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = [x – y]2 – [z – t]2 = [x – y + z – t][x – y – z + t] d] x3 – 3×2 + 3x – 1 – y3 = [x – 1]3 – y3 = [x – 1 – y][[x – 1]2 + [x – 1]y + y2] e] [x2 – 2x + 1]3 + y6 = [x – 1]6 + y6 = [[x – 1]2]3 + [y2]3 = [[x – 1]2 + y2] [[x – 1]4 – [x – 1]2y2 + y4] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 13

TOÁN HỌC

LỚP 8

g] x4y4 – z4 = [x2y2]2 – [z2]2 = [x2y2 + z2][x2y2 – z2] = [x2y2 + z2][xy + z][xy – z] h] – 125a3 + 75a2 – 15a + 1 = [1 – 5a]3 Bài tập 3: a] x3 – 4×2 + 8x – 8 = [x3 – 8] – [4×2 – 8x] = [x – 2][x2 + 2x + 4] – 4x[x – 2] = [x – 2][x2 + 2x + 4 – 4x] = [x – 2][x2 – 2x + 4] b] a2 + b2 – a2b2 + ab – a – b = [a2 – a] + [ab – b] + [b2 – a2b2] = a[a – 1] + b[a – 1] – b2[a2 – 1] = [a – 1][a + b – ab2 – b2] = [a – 1][[a – ab2] + [b – b2]] = [a – 1][a[1 – b][1 + b] + b[1 – b]] = [a – 1][1 – b ][a + ab + b] c] x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz = [x2y + xy2] + [xz2 + yz2] + [x2z + y2z + 2xyz] = = xy[x + y] + z2[x + y] + z[x2 + 2xy + z2]= xy[x + y] + z2[x + y] + z[x + y]2 =[x + y][xy + z2 + zx + zy] = [x + y][[xy + zy] + [zx + z2] = [x + y][y[x + z] + z[x + z]] = [x + y][x + z][y + z] d] 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z = [8xy3 – 24y2] – [5xyz – 15z] = 8y2[xy – 3] – 5z[xy – 3] = [xy – 3][8y2 – 5z] e] x4 – x3 – x + 1 = x3[x – 1] – [x – 1] = [x – 1][x3 – 1] = [x – 1][x – 1][x2 + x + 1] Bài tập 4: a] x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 – x2y2 = [x2 + y2]2 – x2y2 = [x2 + y2 – xy][x2 + y2 + xy] b]x3 + 3x – 4 = x3 – 1 + 3x – 3 = [x – 1][x2 + x + 1] + 3[x – 1] = [x – 1][x2 + x + 1 + 3] = [x – 1][x2 + x + 4] c] x3 – 3×2 + 2 = x3 – x2 – 2×2 + 2 = x2[x – 1] – 2[x2 – 1] = [x – 1][x2 – 2x – 2 ] d] 2×3 + x2 – 4x – 12 = [x2 – 4x + 4] + [2×3 – 16] = [x – 2]2 + 2[x3 – 8] = [x – 2]2 + 2[x – 2][x2 + 2x + 4] = [x – 2][x – 2 + 2×2 + 4x + 8] = [x – 2][2×2 + 5x + 6] Bài tập 5 : a] 25×2[x – y] – x + y = 25×2[x – y] – [x – y] = [x – y][25×2 – 1] = [x – y][5x – 1][5x + 1] b] 16×2[z2 – y2] – z2 + y2 = 16×2[z2 – y2] – [z2 – y2] = [z2 – y2][16×2 – 1] = [z – y][z + y][4x – 1][4x + 1] c] x3 + x2y – x2z – xyz = [x3 – x2z] + [x2y – xyz] = x2[x – z] + xy[x – z] = [x – z][x2 + xy] = x[x + y][x – z] d] 12x5y + 24x4y2 + 12x3y3 = 12x3y[x2 + 2xy + y2] = 12x3y[x + y]2 1 2 1 e] [x + y2]2 – mx2y2 = m[ 2 [x2 + y2]2 – x2y2] = m m 1 2 1 = m[ [x + y2] – xy] [ [x2 + y2] + xy] m m 1 2 1 f] [x + y2]2 – 2x2y2 = 2[ [x2 + y2]2 – x2y2] 2 4 1 1 = 2[ [x2 + y2] + xy] [ [x2 + y2] – xy] 2 2 1 1 1 1 1 g] 4x3y + yz3 = 4y[x3 + z3] = 4y[x + z][x2 – xz + z2] 8 2 2 2 4 h] x9 + x8 – x – 1 = x8[x + 1] – [x + 1] = [x + 1][x8 – 1] = [x + 1][x2 – 1][x4 + x2 + 1] = [x + 1][x + 1][x – 1][x4 + x2 + 1] = [x + 1]2[x – 1][x4 + x2 + 1] Bài tập 6 : a] a2 + 2b2 – 2c2 + 3ab + ac = = a2 + 2ab + 2ac + 2b2 – 2c2 + ab – ac = a[a + 2b + 2c] + 2[b2 – c2] + a[b – c] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 14

TOÁN HỌC

LỚP 8

= a[a + 2b + 2c] + [b – c][2b + 2c + a] = [a + 2b + 2c][a + b – c] b] a2 – 2b2 – 2c2 – ab + 5bc – ac = a2 + ab – 2ac – 2ab – 2b2 + 4bc + ac + bc – 2c2 = a[a + b – 2c] – 2b[a + b – 2c] + c[a + b – 2c] = [a + b – 2c][a – 2b + c] c] a4 + 2a3 + 1 Cách 1: a4 + 2a3 + 1 = a4 + a3 + a3 + 1 = a3[a + 1] + [a + 1][a2 – a + 1] = [a + 1][a3 + a2 – a + 1] Cách 2: a4 + 2a3 + 1 = a4 + a3 + a3 + a2 – a2 – a + a + 1 = a3[a + 1] + a2[a + 1] – a[a + 1] + [a + 1] = [a + 1][a3 + a2 – a + 1] d] m3 + 2m – 3 = m3 – 1 + 2m – 2 = [m – 1][m2 + m + 1] + 2[m – 1] = [m – 1][m2 + m + 1 + 2] = [m – 1][m2 + m + 3] e] 4a2 – 4b2 – 4a + 1 = [4a2 – 4a + 1] – 4b2 = [2a – 1]2 – 4b2 = [2a – 1 + 2b][2a – 1 – 2b] f] 8b2 + 2b – 1 = 9b2 – b2 + 2b – 1 = 9b2 – [b – 1]2 = [3b – b + 1][3b + b – 1] g] a2 + b2 + 2a – 2b – 2ab = [a2 – 2ab + b2] + [2a – 2b] = [a – b]2 + 2[a – b] = [a – b][a – b + 2] Bài tập 7: a] xm+2 – xm = xm[x2 – 1] = xm[x – 1][x + 1] b] xn + 3 – xn = xn[x3 – 1] = xn[x – 1][x2 + x + 1] c] xp + 3 + xp = xp[x3 + 1] = xp[x + 1][x2 – x + 1] d] x2q – xq = xq[xq – 1] xq[x – 1][xq – 1 + xq – 2 + … + x2 + x + 1] Bài tập 8: Tính giá trị cua các biểu thức sau: a] A = xy – 4y – 5x + 20, với x = 14 ; y = 5,5 Ta có A = xy – 4y – 5x + 20 = y[x – 4] – 5[x – 4] = [x – 4][y – 5] Với x = 14 ; y = 5,5, ta có: A = [14 – 4][5,5 – 5] = 10. 0,5 = 1 1 4 b] B = x2 + xy – 5x – 5y ; với x = 5 ; y = 4 5 5 B= x[x + y] – 5[x + y] = [x + y][x – 5] 1 4 Với x = 5 ; y = 4 , ta có: 5 5 1 1 1 4 B = [5 + 4 ] [5 – 5] = 10. = 2 5 5 5 5 c] C = xyz – [xy + yz + zx] + x + y + z – 1 , với x = 9; y = 10; z = 11. Ta có: C = xyz – xy – yz – zx + x + y + z – 1 = = [xyz – xy] – [yz – y] – [zx – x] + [z – 1] = = xy[z – 1] – y[z – 1] – x[z – 1] + [z – 1] = [z – 1][xy – y – x + 1] . Với x = 9; y = 10; z = 11,ta có: C = [11 – 1][9.10 – 10 – 9 + 1] = 10.72 = 720 d] D = x3 – x2y – xy2 + y3 , với x = 5,75 ; y = 4,25 Ta có: D = [x3 + y3] – xy[x + y] = [x + y][x2 – xy + y2 – xy] = [x + y][[x[x – y] – y[x – y]] = [x + y][x – y]2 Với x = 5,75 ; y = 4, 25 , ta có : D = [5,75 + 4,25][5,75 – 4,25]2 = 10.1,52 = 10.2,25 = 22,5 Bài tập 9: Tìm x, biết: a] x2 – 10x + 16 = 0 x2 – 10x + 25 – 9 = 0 [x – 5]2 – 33 = 0 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 15

TOÁN HỌC

LỚP 8

[x – 5 – 3][x – 5 + 3] = 0 [x – 8][x – 2] = 0 x – 8 = 0 hoặc x – 2 =0 x = 8 hoặc x = 2 b] x2 – 11x – 26 = 0 x2 + 2x – 13x – 26 = 0 x[x + 2] – 13[x + 2] =0 [x + 2][x – 13] = 0 x + 2 = 0 hoặc x – 13 = 0 x = -2 hoặc x = 13 c] 2×2 + 7x – 4 = 0 2×2 – x + 8x – 4 = 0 x[2x – 1] + 4[2x – 1] = 0 [2x – 1][x + 4] =0 2x – 1 = 0 hoặc x + 4 = 0 1 x = hoặc x = -4 2 Bài tập 10: Tìm x, biết: a] [x – 2][x – 3] + [x – 2] – 1 = 0 [x – 2][x – 3 + 1] – 1 = 0 [x – 2][x – 2] = 1 [x – 2]2 = 1 x – 2 = 1 hoặc x – 2 = – 1 x = 3 hoặc x = 1 b] [x + 2]2 – 2x[2x + 3] = [x + 1]2 x2 + 4x + 4 – 4×2 – 6x = x2 + 2x + 1 4×2 + 4x – 3 = 0 4×2 + 4x + 1 – 4 = 0 [2x + 1]2 – 22 = 0 [2x + 1 – 2][2x + 1 + 2] = 0 [2x – 1][2x + 3] = 0 2x – 1 = 0 hoặc 2x + 3 = 0 1 3 x = ; hoặc x = 2 2 3 2 c] 6x + x = 2x 6×3 + x2 – 2x = 0 x[6×2 + x – 2] = 0 x[6×2 + 4x – 3x – 2] = 0 x[2x[3x + 2] – [3x + 2]] = 0 x[3x + 2][2x – 1] = 0 x = 0 hoặc 3x + 2 = 0 hoặc 2x – 1 = 0 2 1 x = 0; x = – ; x = 3 2 8 5 2 d] x – x + x – x + 1 = 0 Nhân hai vế với 2: 2×8 – 2×5 + 2×2 – 2x + 2 = 0  [x8 – 2×5 + x2] + [x2 – 2x + 1] + [x8 + 1] = 0  [x4 – x]2 + [x – 1]2 + x8 + 1 = 0 Vế trái lớn hơn 0, vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm. BÀI TẬP NÂNG CAO: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Bài tập 1: a] ab[a – b] + bc[b – c] + ca[c – a] =ab[a – b] + bc[b – a + a – c] + ac[c – a] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 16

TOÁN HỌC

LỚP 8

=ab[a – b] – bc[a – b] + bc[a – c] – ac[a – c] = [a – b][ab – bc] + [a – c][bc – ac] = b[a – b][a – c] – c[a – c][a – b] = [a – b][a – c][b – c] b] a[b2 – c2] + b[c2 – a2] + c[a2 – b2] = a[b2 – c2] + b[ c2 – b2 + b2 – a2] + c[a2 – b2] = a[b2 – c2] – b[b2 – c2] – b[a2 – b2] + c[a2 – b2] = [b2 – c2][a – b] – [a2 – b2][b – c] = [b – c][b + c][a – b] – [a – b][a + b][b – c] = [a – b][b – c][b + c – a – b] = [a – b][b – c][c – a] c] a[b3 – c3] + b[c3 – a3] + c[a3 – b3] = a[b3 – c3] + b[ c3 – b3 + b3 – a3] + c[a3 – b3] = a[b3 – c3] – b[b3 – c3] – b[a3 – b3] + c[a3 – b3] = [b3 – c3][a – b] – [a3 – b3][b – c] = [b – c][b2 + bc + c2][a – b] – [a – b][a2 + ab + b2][b – c] = [a – b][b – c][b2 + bc + c2 – a2 – ab – b2] = [a – b][b – c][bc + c2 – a2 – ab] = [a – b][b – c][[bc – ab] + [c2 – a2]] = [a – b][b – c][ b[c – a] + [c – a][c + a]] = [a – b][b – c][c – a][b + c + a] Bài tập 2: a] x2 + 7x + 12 = x2 + 4x + 3x + 12 = x[x + 4] + 3[x + 4] = [x + 4][x + 3] b] 3×2 – 8x + 5 = 3×2 – 3x – 5x + 5 = 3x[x – 1] – 5[x – 1] = [x – 1][3x – 1] c] x4 + 5×2 – 6 = x4 – x2 + 6×2 – 6 = x2[x2 – 1] + 6[x2 – 1] = [x2 – 1][x2 + 6] = [x – 1][x + 1][x2 + 6] d] x4 – 34×2 + 225 = x4 – 2.17×2 + 289 – 64 = [x2 – 17]2 – 64 = [x2 – 17 + 8][x2 – 17 – 8] = [x2 – 9][x2 – 25] = [x – 3][x + 3][x – 5][x + 5] Bài tập 3: a] x2 – 5xy + 6y2 = x2 – 2xy – 3xy + 6y2 = x[x – 2y] – 3y[x – 2y] = [x – 2y][x – 3y] b] 4×2 – 17xy + 13y2 = 4×2 – 4xy – 13xy + 13y2 = 4x[x – y] – 13y[x – y] = [x – y][4x – 13y] Bài tập 4: a] x5 – x4 – x3 – x2 – x – 2 = x5 – 2×4 + x4 – 2×3 + x3 – 2×2 + x2 – 2x + x – 2 = x4[x – 2] + x3[x – 2] + x2[x – 2] + x[x – 2] + [x – 2] = [x – 2][x4 + x3 + x2 + x + 1] b] x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 – 1 = [x9 – x7] – [x6 – x4] – [x5 – x3] + [x2 – 1] = x7[x2 – 1] – x4[x2 – 1] – x3[x2 – 1] + [x2 – 1] = [x2 – 1][x7 – x4 – x3 + 1] = [x2 – 1][ [x7 – x3] – [x4 – 1]] = [x2 – 1][x4 – 1][x3 – 1] = [x – 1][x + 1][x2 + 1][x2 – 1][x – 1][x2 + x + 1] = [x – 1][x + 1][x2 + 1][x – 1][x + 1][x – 1][x2 + x + 1] = [x – 1]3[x + 1]2 [x2 + 1][x2 + x + 1] Bài tập 5: a] x5 + x + 1 = x5 + x4 – x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x + 1 = [x5 + x4 + x3] – [x4 + x3 + x2] + [x2 + x + 1] = x3[x2 + x + 1] – x2[x2 + x + 1] + [x2 + x + 1] = [x2 + x + 1][x3 – x2 + 1] b] x8 + x4 + 1 = x8 + x4 – x2 + x2 – x + x + 1 = [x8 – x2] + [x4 – x] + x2 + x + 1 = x2[x6 – 1] + x[x3 – 1] + [x2 + x + 1] = x2[x3 – 1][x3 + 1] + x[x – 1][x2 + x + 1] + [x2 + x + 1] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 17

TOÁN HỌC

LỚP 8

= x2[x – 1][x2 + x + 1][x3 + 1] + x[x – 1][x2 + x + 1] + [x2 + x + 1] = [x2 + x + 1][ x2[x – 1][x3 + 1] + x[x – 1] + 1] = [x2 + x + 1][ [x3 – x2][x3 + 1] + x2 – x + 1] = [x2 + x + 1][x6 + x3 – x5 – x2 + x2 – x + 1] = [x2 + x + 1][x6 – x5 + x3 – x + 1] = [x2 + x + 1][ [x6 – x5 + x4] – [x4 – x3 + x2] + [x2 – x + 1]] = [x2 + x + 1][x4[x2 – x + 1] – x2[x2 – x + 1] + [x2 – x + 1]] = [x2 + x + 1][x2 – x + 1][x4 – x2 + 1] Nhận xét: Phương pháp trên có thể sử dụng đối với các đa thức có dạng: x5 + x4 + 1 ; x8 + x4 + 1 ; x10 + x8 + 1; … là những đa thức có dạng xm + xn + 1 trong đó m = 3k + 1 ; n = 3h + 2 . Khi tìm cách giảm dần số mũ của lũy thừa ta cần chú ý đến các biểu thức dạng x6 – 1 ; x3 – 1 là những biểu thức chia hết cho [x2 + x + 1] – Tuy nhiên, tùy theo đặc điểm của mỗi bài ta có thể có những cách giải khác gọn hơn, chẳng hạn đối với bài 5b: x8 + x4 + 1 = [x8 + 2×4 + 1] – x4 = [x4 + 1]2 – [x2]2 = [x4 + 1 + x2][x4 + 1 – x2] = [[x4 + 2×2 + 1] – x2] [x4 – x2 + 1] = [[x2 + 1]2 – x2] [x4 – x2 + 1] = [x2 + 1 – x ][x2 + x + 1] [x4 – x2 + 1] BÀI TẬP TỔNG HỢP THEO DẠNG VẤN ĐỀ I. Phương pháp đặt nhân tử chung Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:

a] 4×2  6x

b] 9x4y3  3x2y4

c] x3  2×2  5x

d] 3x[ x  1]  5[ x  1] e] 2×2[ x  1]  4[ x  1] f] 3x  6xy  9xz Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:

b] 4x3y2  8x2y3  2x4y

a] 2x2y  4xy2  6xy

c] 9x2y3  3x4y2  6x3y2  18xy4 d] 7x2y2  21xy2z  7xyz  14xy 5 3 e] a3x2y  a3x4  a4x2y 2 2 Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: 1]. 2×2 – 4x 2]. 3x – 6y 3]. x2 – 3x 2 3 4]. 4x – 6x 5]. x – 4x 6]. 9x3y2 + 3x2y2. 7]. x3 + 2×2 + 3x 8]. 6x2y + 4xy2 + 2xy 9]. 5×2[x – 2y] – 15x[x – 2y] 10]. 3[x – y] – 5x[y – x] 11]. 3x[x – 1] + 5[1 – x] 12]. 2[2x – 1] + 3[1 – 2x] 13]. 10x[x – y] – 8y[y – x] 14]. 3x[y + 2] – 3[y + 2] 15]. x2 – y2 – 2x + 2y 2 2 2 16]. 2x + 2y – x – xy 17]. x – 2x – 4y – 4y 18]. x2y – x3 – 9y + 9x 19]. x2[x – 1] + 16[1– x] 20]. 2×2 + 3x – 2xy – 3y 21]. x3 – 4×2 + 4x 2 2 2 22]. 15x y + 20xy  25xy 23]. 4x + 8xy  3x  6y 24]. x3 + 6×2 + 9x. 25]. x2 – xy + x – y 26]. xy – 2x – y2 + 2y 27]. x2 + x – xy – y 2 2 2 2 28]. x + 4x – y + 4 29] x – 2xy + y – 4 30]. x2 – 2xy + y2 – x + y 31]. xz + yz – 5x – 5y 32]. x2 – y2 – 2x – 2y 33]. x2 – 1 – 2xy + 2y 2 2 34]. [x + 3] – [2x – 5][x+ 3]. 35]. [3x + 2] + [3x – 2]2 – 2[9×2 – 4] VẤN ĐỀ II. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a] x3  2×2  2x  1 3 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

b] x2y  xy  x  1

c] ax  by  ay  bx

nguồn tham khảo: internet

Trang 18

TOÁN HỌC

LỚP 8

d] x2  [a  b] x  ab e] x2y  xy2  x  y Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] ax  2x  a2  2a

f] ax2  ay  bx2  by

b] x2  x  ax  a

c] 2×2  4ax  x  2a

d] 2xy  ax  x2  2ay e] x3  ax2  x  a Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] x2  2x  4y2  4y

f] x2y2  y3  zx2  yz

b] x4  2×3  4x  4

c] x3  2x2y  x  2y

d] 3×2  3y2  2[ x  y]2 e] x3  4×2  9x  36 f] x2  y2  2x  2y Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a] [ x  3][ x  1]  3[ x  3] b] [ x  1][2x  1]  3[ x  1][ x  2][2x  1] c] [6x  3]  [2x  5][2x  1] d] [ x  5]2  [ x  5][ x  5]  [5  x][2x  1] e] [3x  2][4x  3]  [2  3x][ x  1]  2[3x  2][ x  1] Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] [a  b][a  2b]  [b  a][2a  b]  [ a  b][ a  3b]

b] 5xy3  2xyz  15y2  6z

c] [ x  y][2x  y]  [2x  y][3x  y]  [ y  2x]

d] ab3c2  a2b2c2  ab2c3  a2bc3

e] x2[ y  z]  y2[ z  x]  z2[ x  y] Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử: 1]. x2 + 8x + 15 2]. x2 – x – 12 3]. x2 – 8x +7. 4]. x2 – 5x + 6 5]. x2 – 3x – 2 6]. x2 – 6x + 8 2 2 7]. 3x + 9x – 30 8]. x – 9x + 18 9]. x2 – 5x – 14 10]. x2 – 7x + 12 11]. x2 – 7x + 10 12]. x2 + 6x + 5 2 2 13]. 3x – 5x – 2 14]. 2x + x – 6 15]. 7×2 + 50x + 7 2 2 16]. 12x + 7x – 12 17]. 15x + 7x – 2 18]. 2×2 + 5x + 2 19]. 4×2 – 36x – 56 20]. 2×2 + 10x + 8 21]. x2 + 4xy – 21y2 2 2 2 2 22]. 5x + 6xy + y 23]. x + 2xy – 15y 24]. x2 – 4xy + 10y2 25]. x4 + x2 – 2 26]. x4 + 4×2 – 5 27]. x3 – 19x – 30 3 3 2 28]. x – 7x – 6 29]. x – 5x – 14x VẤN ĐỀ III. Phương pháp dùng hằng đẳng thức Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] 4×2  12x  9

b] 4×2  4x  1

d] 9×2  24xy  16y2

e]

x2  2xy  4y2

4

g] 16a4b6  24a5b5  9a6b4 h] 25×2  20xy  4y2
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

c] 1  12x  36×2 f]  x2  10x  25

i] 25×4  10x2y  y2

a] [3x  1]2  16

b] [5x  4]2  49×2

c] [2x  5]2  [ x  9]2

d] [3x  1]2  4[ x  2]2

e] 9[2x  3]2  4[ x  1]2

f] 4b2c2  [b2  c2  a2 ]2

g] [ax  by]2  [ay  bx]2

h] [a2  b2  5]2  4[ab  2]2

i] [4×2  3x  18]2  [4×2  3x]2

k] 9[ x  y  1]2  4[2x  3y  1]2
m] x2  2xy  y2  4m2  4mn  n2

l] 4×2  12xy  9y2  25 Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] 8×3  64

b] 1  8x6y3

d] 8×3  27

e] 27×3 

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

y3
8

nguồn tham khảo: internet

c] 125×3  1 f] 125×3  27y3

Trang 19

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a] x3  6×2  12x  8 b] x3  3×2  3x  1 c] 1  9x  27×2  27×3 3 3 1 d] x3  x2  x  e] 27×3  54x2y  36xy2  8y3 2 4 8 Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] x2  4x2y2  y2  2xy

c] 25  a2  2ab  b2

b] x6  y6

d] 4b2c2  [b2  c2  a2 ]2 e] [a  b  c]2  [a  b  c]2  4c2 Bài 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] [ x2  25]2  [ x  5]2

b] [4×2  25]2  9[2x  5]2

c] 4[2x  3]2  9[4×2  9]2

d] a6  a4  2a3  2a2 e] [3×2  3x  2]2  [3×2  3x  2]2 Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

b] [ x  y]3  [ x  y]3

a] [ xy  1]2  [ x  y]2

d] 4[ x2  y2 ]  8[ x  ay]  4[a2  1] Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] x3  1  5×2  5  3x  3

c] 3x4y2  3x3y2  3xy2  3y2

e] [ x  y]3  1  3xy[ x  y  1]

b] a5  a4  a3  a2  a  1

c] x3  3×2  3x  1  y3

d] 5×3  3x2y  45xy2  27y3 e] 3×2[a  b  c]  36xy[a  b  c]  108y2[a  b  c] Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức: 1]. [x + y]2  25 2]. 100 – [3x – y]2 3]. 64×2 – [8a + b]2. 4]. 4a2b4 – c4d2. 5]. 7×3 – a3b3. 6]. 16×3 + 54y3. 3 3 2 2 7]. 8x – y . 8]. [a + b] – [2a – b] 9]. [a + b]3 – [a – b]3 10]. [a + b]3 + [a – b]3 11] [6x – 1]2 – [3x + 2] 12]. [3x – 1]2 – 16 2 2 2 2 13]. [5x – 4] – 49x . 14]. [2x + 5] – [x – 9] . 15]. [3x + 1]2 – 4[x – 2]2 16]. 9[2x + 3]2 – 4[x + 1]2. 17]. 4b2c2 – [b2 + c2 – a2 ]2 18]. [ax + by]2 – [ay + bx]2 2 2 2 2 19]. [a + b – 5] – 4[ab + 2] 20]. 25 – a2 + 2ab – b2 21]. x6 – y6 22]. x2 – 4x2y2 + y2 + 2xy 23]. [xy + 1]2 – [x + y]2 24]. x3 – 3×2 +3x– 1 – y3. 2 2 2 2 2 6 25] [x – 25] – [x – 5] 26]. –4x + 12xy – 9y + 25 27]. x – x4 + 2×3 + 2×2 3 28]. [x + y] – 1 – 3xy[x + y – 1] 29]. 4[2x – 3]2 – 9[4×2 – 9]2. 30]. x3 – 1 + 5x – 5 + 3x – 3 31]. [2x + 2]2 + 2[2x+2][2x – 2] + [2x – 2]2. VẤN ĐỀ IV. Một số phương pháp khác Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [tách một hạng tử thành nhiều hạng tử]

a] x2  5x  6

b] 3×2  9x  30

c] x2  3x  2

d] x2  9x  18

e] x2  6x  8

f] x2  5x  14

g] x2  6x  5 h] x2  7x  12 i] x2  7x  10 Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [tách một hạng tử thành nhiều hạng tử]

a] 3×2  5x  2

b] 2×2  x  6

c] 7×2  50x  7

d] 12×2  7x  12

e] 15×2  7x  2

f] a2  5a  14

g] 2m2  10m  8 h] 4 p2  36 p  56 i] 2×2  5x  2 Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [tách một hạng tử thành nhiều hạng tử]

a] x2  4xy  21y2

b] 5×2  6xy  y2

c] x2  2xy  15y2

d] [ x  y]2  4[ x  y]  12 e] x2  7xy  10y2 f] x2yz  5xyz  14yz Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [tách một hạng tử thành nhiều hạng tử]

a] a4  a2  1

b] a4  a2  2

c] x4  4×2  5

d] x3  19x  30

e] x3  7x  6

f] x3  5×2  14x

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 20

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [thêm bớt cùng một hạng tử]
a] x4  4

b] x4  64

c] x8  x7  1

d] x8  x4  1

e] x5  x  1

f] x3  x2  4

g] x4  2×2  24
HD: Số hạng cần thêm bớt:

h] x3  2x  4

i] a4  4b4

a] 4 x2

c] x2  x

b] 16×2

d] x2

e] x2

f] x2

g] 4 x2 h] 2×2  2x i] 4a2b2 Bài 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [đặt biến phụ]

a] [ x2  x]2  14[ x2  x]  24

b] [ x2  x]2  4×2  4x  12

c] x4  2×3  5×2  4x  12 d] [ x  1][ x  2][ x  3][ x  4]  1 e] [ x  1][ x  3][ x  5][ x  7]  15 f] [ x  1][ x  2][ x  3][ x  4]  24 Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [đặt biến phụ]

a] [ x2  4x  8]2  3x[ x2  4x  8]  2×2

b] [ x2  x  1][ x2  x  2]  12

c] [ x2  8x  7][ x2  8x  15]  15 d] [ x  2][ x  3][ x  4][ x  5]  24 VẤN ĐỀ V. Tổng hợp Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] x2  4x  3

b] 16x  5×2  3

c] 2×2  7x  5

d] 2×2  3x  5

e] x3  3×2  1  3x

f] x2  4x  5

g] [a2  1]2  4a2

h] x3  3×2 – 4x  12

i] x4  x3  x  1
m] x4  4×2 – 5

k] x4 – x3 – x2  1 l] [2x  1]2 – [ x –1]2 Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a]  x  y2  x2  y

b] x[ x  y]  5x  5y

c] x2  5x  5y  y2

d] 5×3  5x2y  10×2  10xy

e] 27×3  8y3

f] x2 – y2 – x – y

g] x2  y2  2xy  y2

h] x2  y2  4  4x

i] x6  y6

k] x3  3×2  3x  1– 27z3 l] 4×2  4x – 9y2  1

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

m] x2 – 3x  xy – 3y

a] 5×2  10xy  5y2  20z2

b] x2  z2  y2  2xy

c] a3  ay  a2 x  xy

d] x2  2xy  4z2  y2

e] 3×2  6xy  3y2  12z2

f] x2  6xy  25z2  9y2

g] x2  y2  2yz  z2

h] x2 – 2xy  y2 – xz  yz

i] x2 – 2xy  tx – 2ty

k] 2xy  3z  6y  xz l] x2  2xz  2xy  4yz

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

m] [ x  y  z]3 – x3 – y3 – z3

a] x3  x2z  y2z  xyz  y3

b] bc[b  c]  ca[c  a]  ab[a  b]

c] a2 [b  c]  b2[c  a]  c2[a  b]

d] a6  a4  2a3  2a2

e] x9  x7  x6  x5  x4  x3  x2  1

f] [ x  y  z]3  x3  y3  z3

g] [a  b  c]3  [a  b  c]3  [b  c  a]3  [c  a  b]3 h] x3  y3  z3  3xyz Bài 5. Giải các phương trình sau:

a] [ x  2]2 – [ x – 3][ x  3]  6

b] [ x  3]2  [4  x][4 – x]  10

c] [ x  4]2  [1– x][1  x]  7

d] [ x – 4]2 – [ x – 2][ x  2]  6

e] 4[ x – 3]2 – [2x –1][2x  1]  10

f] 25[ x  3]2  [1– 5x][1  5x]  8

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 21

TOÁN HỌC

LỚP 8

g] 9[ x  1]2 – [3x – 2][3x  2]  10
Bài 6. Chứng minh rằng:

h] 4[ x –1]2  [2x –1][2x  1]  3

a] a2 [a  1]  2a[a  1] chia hết cho 6 với a  Z . b] a[2a  3]  2a[a  1] chia hết cho 5 với a  Z . c] x2  2x  2  0 với x  Z . d]  x2  4x  5  0 với x  Z . Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử tổng hợp: 1]. x2 – 25 + y2 + 2xy 2]. 81×2 – 6yz – 9y2 – z2 3]. 3×2  6xy + 3y2 4]. 2×2 + 2y2  x2z + z  y2z  2 5]. x2  2xy + y2  16 6]. x6  x4 + 2×3 + 2x 2 2 2 2 2 7]. x + 2x + 1 – y 8]. x + 2xy + y – 9z . 9]. x3 – 10×2 + 25x – 16xy2. 10]. 3xy2 – 2xy +12x 11]. 5y3  10xy2  5yx2  20y 12]. x2 + 2xy + y2 – xz – yz 13]. 9×2 + y2 + 6xy 14]. 8 – 12x + 6×2 – x3 15].125×3 – 75×2 + 15x – 1 2 2 3 2 16]. x – xz – 9y + 3yz 17]. x – x – 5x + 125 18]. x3 +2×2 – 6x – 27 19]. 12×3 + 4×2 – 27x – 9 20]. 4×4 + 4×3 – x2 – x 21]. x6 – x4 – 9×3 + 9×2. 4 3 2 2 2 2 22]. x – 4x + 8x – 16x + 16 23]. 3a – 6ab + 3b – 12c 24]. a2 + 2ab + b2 – ac – bc 25]. ac – bc – a2 + 2ab – b2 26]. x4 + 4 27]. [x – y +5]2 – 2[x– y +5] + 1 4 8 7 28]. x + 64 29]. x + x + 1 30]. x8 + x4 + 1. 31]. x5 + x + 1. 32]. x3 + x2 + 4 33]. x4 + 2×2 – 24. 3 2 34]. x – 2x – 4. 35]. x + 4x + 3 36]. 16x – 5×2 – 3. 2 2 37]. 2x + 7x + 5 38]. 2x + 3x – 5 39]. x2 – 4x – 5. 40]. x4 + x3 + x + 1 41]. [x2 + 1]2 – 4×2 42]. x3 – 3×2 – 4x + 12 4 3 2 2 2 43]. x – x – x + 1 44]. [2x + 1] – [x – 1] 45]. x4 + 4×2 – 5. 46]. – x – y2 + x2 – y. 47]. x[x + y] – 5x – 5y 48]. x2 – 5x + 5y – y2 . 2 2 2 2 2 49]. x – y – x – y. 50]. x – y – 2xy + y . 51]. x2 – y2 + 4 – 4x. 52]. x2 + xy – 3x – 3y. 53]. 4×2 + 4x – 9y2 + 1. 54]. 5×3 – 5x2y – 10×2 + 10xy. 2 2 2 2 2 2 55]. 5x – 10xy + 5y – 20z 56]. x – z + y – 2xy 57]. x3 – xy – x2z + yz. 58]. x2 – 2xy – 4z2 + y2 59]. 3×2 – 6xy + 3y2 – 12z2 60]. x2 – 6xy + 9y2 – 25z2. 2 2 2 61]. [x + x] – 14[x + x]+ 24. 62]. [x2 + x]2 +4×2 + 4x – 12. 63]. [x + 1][x + 2][x + 3][x + 4] + 1. 64]. [x + 1][x + 2][x + 3][x + 4] – 24. 65]. [x + 1][x + 3][x + 5][x + 7] + 15. 66]. [x + 2][x + 3][x + 4][x + 5] – 24. 4 3 2 67]. x + 2x + 5x + 4x – 12. 68]. [x2 + x + 1][x2 + x + 2] – 12. 69]. [x2 + 8x + 7][x2 + 8x + 15] + 15. 70]. [x2 + 4x + 8]2 + 3x[x2 + 4x + 8] + 2×2. 3 3 3 3 71]. [x+y+x] – x – y – z . 72]. xy[x + y] + yx[y – z] – zx[z + x]. 6 4 3 2 73]. x – x + 2x + 2x . 74]. x2[y – z] + y2[z – x] + z2[x – y] 3 3 3 75]. x + y + z – 3xyz. 76]. x[x + 4][x – 4] – [x2 + 1][x2 – 1]. 77]. [y – 3][y + 3][y2 + 9] – [y2 + 2][y2 – 2]

78]. [a + b – c]2 – [a – c]2 – 2ab + 2bc.

IV. CHIA ĐA THỨC VẤN ĐỀ I. Chia đơn thức cho đơn thức TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Chia đơn thức cho đơn thức: – Đơn thức A gọi là chia hết cho đơn thức B  0 nếu có một đơn thức C sao cho A = B.C; C được gọi là thương của A chia cho B. – Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 22

TOÁN HỌC

LỚP 8

– Quy tắc chia đơn thức A cho đơn thức B [trường hợp A chia hết cho B]: + Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. + Chia từng lũy thừa của biến trong A cho lũy của cùng biến đó trong B. + Nhân các kết quả tìm được với nhau. Ví dụ 1: Chia các đơn thức: a] 15a2b3c : [3a2b] = 5b2c b] – 21xy5z3 : [7xy2z3] = – 3y3 2 c] 2m3n : [- 3m2n] = – m. 3 1 1 3 d] [ – a3b4c5] : [ a2bc5] = – ab3 3 2 2 BÀI TẬP Chia các đơn thức: Bài 1 1] [–2]5:[ –2]3 2] [–y]7:[ –y]3 3] [x]12:[ –x10] 6 3 5 2 4] [2x ]:[2x] 5] [–3x] :[–3x] 6] [xy2]4:[xy2]2 Bài 2

a] [2]5 : [2]3

b] [ y]7 : [ y]3

c] x12 : [ x10 ]

d] [2×6 ] : [2x]3

e] [3x]5 : [3x]2

f] [ xy2 ]4 : [ xy2 ]2

VẤN ĐỀ II. Chia đa thức cho đơn thức Chia đa thức cho đơn thức: – Đa thức A gọi là chia hết cho đơn thức B ≠ 0, nếu có mọt đa thức C sao cho A = B.C – Đa thức A chia hết cho đơn thức B khi các đơn thức hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B. – Quy tắc chia đa thức A cho đơn thức B [trường hợp A chia hết cho B]: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả lại với nhau. Ví dụ: Thực hiên các phép chia: a] 30[a + b]5 : 6[a + b]2 = 5[a + b]3 13 b] 13[x – y]7 : 5[x – y]3 = [x – y]4 5 1 2 3 c] [m – 2n]3 : [m – 2n]2 = [m – 2n]2 10 5 3 BÀI TẬP Bài 1. Thực hiện phép tính: b] [ x  y]4 : [ x  2]3 5 e] 5[ x  y]5 : [ x  y]2

6

c] [ x2  2x  4]5 : [ x2  2x  4]

a] 6xy2 : 3y

b] 6x2y3 : 2xy2

c] 8x2y : 2xy

d] 5x2y5 : xy3

e] [4x4y3] : 2x2y

f] xy3z4 : [2xz3]

h] 9x2y4z :12xy3

i] [2x3y][3xy2 ] : 2x3y2

a] [ x  2]9 : [ x  2]6 1 d] 2[ x2  1]3 : [ x2  1] 3

Bài 2. Thực hiện phép tính:

g]
k]

3 3 3  1 2 2 x y : x y  4  2



[3a2b]3[ab3]2

[a2b2 ]4 Bài 3. Thực hiện phép tính: Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

l]

[2xy2 ]3[3x2y]2
[2x3y2 ]2

nguồn tham khảo: internet

Trang 23

TOÁN HỌC

LỚP 8
b] [3×4  2×3  x2 ] : [2x]

a] [2×3  x2  5x] : x
 1 

d] [ x3 – 2x2y  3xy2 ] :   x  2





c] [2×5  3×2 – 4×3] : 2×2

e] 3[ x  y]5  2[ x  y]4  3[ x  y]2  : 5[ x  y]2

Bài 4. Thực hiện phép tính:
a] [3x5y2  4x3y3  5x2y4 ] : 2x2y2

3  3 3 9 b]  a6 x3  a3x4  ax5  : ax3 7 10 5

 5

c] [9x2y3  15x4y4 ] : 3x2y  [2  3x2y]y2

d] [6×2  xy] : x  [2x3y  3xy2 ] : xy  [2x  1] x

3 e] [ x2  xy] : x  [6x2y5  9x3y4  15x4y2 ] : x2y3 2 VẤN ĐỀ III. Chia đa thức cho đa thức Chia đa thức một biến đã sắp xếp: – Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biến B ≠ 0, trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên. – Với hai đa thức tùy ý A và B của mọt biến [B ≠ 0], tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R Trong đó R = 0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B. Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết. Nếu R ≠ 0 thì phép chia A cho B là phép chia có dư. Ví dụ 1: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức : a] [5×3 – 4×2 + 7x] : x = 5×2 – 4x + 7 1 1 7 1 7 b] [xy2 + x2y3 + x3y] : 5xy = y  xy 2  x 2 5 15 10 3 2 Ví dụ 2: Tìm điều kiện của n để phép chia thực hiện được [n là số tự nhiên] a] x5yn : xny3 3≤n≤5 Suy ra: n = 3 ; 4 ; 5. b] xn + 2 .y3 : x5 yn . Điều kiện: n ≤ 3 và n ≥ 3 , suy ra n = 3 c] [a + b]5n [a – b]7 : [a + b]15 .[a – b]n Điều kiện: 5n ≥ 15 và n ≤ 7 Suy ra: 3 ≤ n ≤ 7 Vậy n = 3 ; 4; 5; 6; 7. Ví dụ 3: Tìm điều kiện của tự nhiên n để phép chia sau đây là phép chia hết: 1 2 a] [4x10y – xy7 + x5y4] : 2xnyn 5 3 Điều kiện để phép chia đó là phép chia hết : 10  n 1  n  5  n  n  1 . Suy ra n = 0 ; n = 1  1  n 7  n  4  n b] [21x2y3 + 9x4y2 + 7x5y3] : 7xn + 1 yn + 1

Điều kiện để phép chia đó là phép chia hết :

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 24

TOÁN HỌC

LỚP 8

2  n  1 3  n  1  4  n  1  2  n  1. Suy ra n ≤ 1 . Vậy n = 0 ; n = 1  2  n  1  5  n  1  3  n  1 Chú ý: Nếu đa thức bị chia khuyết một bậc trung gian nào đóthì khi viết ta để trống một khoảng tương ứng với bậc khuyết đó. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Chia đơn thức cho đơn thức: a] 121a3b2c : [11a2bc] = 11ab b] 125a4b3c2 : [- 25a4b3c] = – 5c c] 15[x + y]5 : 3[x + y]2 = 5[x + y]3 d] 27[x – y]3 : 9[x – y]2 = 3[x – y] 2 e] 4[9x + y – z]5 : 6[x + y – z]3 = [x + y – z]2 3 g] [a + b – c ]5 : [c – a – b]3 = [a + b – c]5 : [ – [a + b – c]3] = – [a + b – c]2 Bài tập 2: Điền vào dấu * : 1 a] 4*y5 : *x2* = x3y2 3 n+2 n–1 2 b] 20x *:*x y = 5*yn – 1 Bài tập 3: Tìm số tự nhiên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B: A = 4xn + 1 y2 ; B = 3x3yn – 1 n  1  3 n  2  2n3 Điều kiện:  2  n  1 n  3 Tìm thương của A : B trong trường hợp đó: 4 Với n = 2 thì: A : B = 4x3y2 : 3x3y = y 3 4 Với n = 3 thì: A : B = 4x4y2 : 3x3y2 = x 3 Bài tập 4: Tính giá trị của các biểu thức sau: a] [ – ax2y3]4 : [- ax2y3]3 = – ax2y3 1 3 1 Với x = ; y   ; a  , ta có giá trị của biểu thức là: 3 5 2 1 1 3 1 1 27 3  = – [ ] 2 [ ] 3  . . 2 3 5 2 9 125 250 3 2 2 [3m n p] 9m 6 n 4 p 2 p  b] = 3 3 3 6 4 27m n. p.2m n 54m n p 6 1 1 1 1 Với m = – 389 ; p   ; n = 0,273 thì giá trị của biểu thức là: []:6=25 2 12 2 Bài tập 5: làm tính chia: 3 3 2 1 a] [15×5 – 3×4 + 5×2] : 10×2 = x3 x + 2 2 10 b] [3[x + y]4 + 5[x + y]3 – 10[x + y]2] : 5[x + y]2 3 = [x + y]2 + [x + y] – 2 5 c] [3[a – b]4 + 4[a – b]2 – 5[a – b]] : 5[a – b] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 25

TOÁN HỌC

LỚP 8

4 3 [a – b]3 + [a – b] – 1 5 5 Bài tập 6: Điền vào dấu *: a] [18x4y3 + * – * ] : 3x2y2 = * + 2×3 – 5xy2 b] [7u2v5 + * + * ] : * = 14uv2 + 6u2v + 10uv c] [5xy2 – 11x3y + 6x2y2] : * = 5y – * + * Bài tập 7: Tìm điều kiện của số tự nhiên n để phép chia sau đây là phép chia hết: a] [13x3y3 + 15x3y2 + 18x2y3] : 7xnyn + 1 3  n 3  n  1  3  n Điều kiện:   n  1 . Do đó n = 0; n = 1 . 2  n  1 2  n  3  n  1 3 7 b] [12x y + 9x4y5 – 3x5y8] : 3xn + 1 yn + 3 3  n  1 7  n  3  4  n  1 n  1  3   n  2 .Do đó n = 0; 1 ; 2 Điều kiện:  5  n  3 n  3  5   5  n  1  8  n  3 Bài tập 8: CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến y [x ≠ 0;y ≠ 0] : 1 2 2 3 x y : [ – xy ] + 2x[y – 1][y + 1] = – 2xy2 + 2x[y2 – 1] 3 3 = – 2xy2 + 2xy2 – 2x = – 2x Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của biến y. Bài tập 9: Không cần đặt phép chia, hãy xét xem phép chia sau có là phép chia hết không, và chỉ ra đa thức dư trong trường hợp không chia hết: a] [6×2 – 3x + 5] : [2x – 1] Ta thấy thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức dư thứ nhất là 5. Vì 5 có bậc nhỏ hơn 2x – 1 nên không thể thực hiện tiếp phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 5. b] [9×4 – 6×3 + 15×2 + 2x – 1] : [3×2 – 2x + 5] Ta thấy thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3×2 , và do đó đa thức dư thứ nhất là 2x – 1 . Vì 2x – 1 có bậc nhỏ hơn 3×2 – 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 2x – 1 . c] [18×5 + 9×4 – 3×3 + 6×2 + 3x – 1] : [6×2 + 3x – 1] ta thấy thương trong phép chia ở bước thứ nhất là 3×2 và đa thức dư thứ nhất là

6×2 + 3x – 1 chia hết cho đa thức chia . Vậy đây là phép chia hết.

=

Bài tập 10: a] CMR nếu đa thức P[x] chia hết cho đa thức x – a [ở đây a là hằng số ] thì P[x] có một nghiệm là x = a. b] CMR: Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P[x] thì P[x] chia hết cho x–a. Chứng minh: a] Giả sử P[x] chia hết cho x – a thì ta có thể viết: P[x] = [x – a].Q[x]. Ở đay đa thức Q[x] là một đa thức nào đó. Đặt x = a ta được: Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 26

TOÁN HỌC

LỚP 8

P[a] = [a – a].Q[a] = 0 Vậy x = a là một nghiệm của P[x]. b] Phép chia của P[x] cho x – a có thể viết là: P[x] = [x – a]. g[x] + r Ở đây r là một số. Đặt x = a ta được r = P[a]. Nếu a là một nghiệm của P[x] thì P[a] = 0 và do đó r = 0, nghĩa là P[x] chia hết cho x – a . Bài tập 11: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a] [x5 + x3 + x2 + 1] : [x3 + 1] Ta có: [x5 + x3 + x2 + 1] = x5 + x2 + x3 + 1 = x2[x3 + 1] + [x3 + 1] = [x3 + 1][x2 + 1] . Do đó: [x5 + x3 + x2 + 1] : [x3 + 1] = x2 + 1 b] [x2 + 5x + 6] : [x + 3] Ta có: x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 = x[x + 2] + 3[x + 2] = [x + 2][x + 3] Do đó: [x2 + 5x + 6] : [x + 3] = x + 2 c] [x3 + x2 – 12] : [x – 2] Ta có: x3 + x2 – 12 = x3 – 8 + x2 – 4 = [x – 2][x2 + 2x + 4] + [x – 2][x + 2] = [x – 2][x2 + 2x + 4 + x + 2] = [x – 2][x2 + 3x + 6] Do đó: [x3 + x2 – 12] : [x – 2] = x2 + 3x + 6 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1: Làm tính chia: [4×4 + 14×3 – 21x – 9 ] : [2×2 – 3] 4×4 + 14×3 – 21x – 9 2×2 – 3 4×4 – 6×2 2×2 + 7x + 3 3 2 14x + 6x – 21x – 9 14×3 – 21x 6×2 -9

6×2

-9
0

Bài 2: Làm tính chia

a] 2x 4 + x 3 – 3x 2 + 5x – 2 2x 4 – 2x 3 + 2x 2

3

b] 5x 3 – 3x 2

x 2 – x +1
2x 2 + 3x – 2

2

5x 3

+7

+ 5x

0 + 3x – 5x + 5x – 2

– 3x 2 – 5x + 7

3x 3 – 3x 2 + 3x

– 3x 2 -3

0 – 5x + 10

0 – 2x 2 + 2x – 2

x2 + 1
5x – 3

– 2x 2 + 2x – 2 0

4

3

2x + x – 3x 2 + 5x – 2 2 2

= [ x – x +1 ][ 2x + 3x – 2 ]

Ta có:

Bài tập 3: Thực hiện phép chia rồi tìm giá trị nhỏ nhất của thương tìm được: [6×3 – 2×2 – 9x + 3] : [3x – 1] 6×3 – 2×2 – 9x + 3 3x – 1 6×3 – 2×2 2×2 – 3 – 9x + 3 – 9x + 3 0 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 27

TOÁN HỌC

LỚP 8

Vì 2×2 ≥ 0 , với mọi giá trị của x nên 2×2 – 3 ≥ – 3 . Do đó , thương tìm được 2×2 – 3 có giá trị nhỏ nhất là – 3 , giá trị này đạt được tại x = 0. Bài tập 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a] [x5 + x3 + x2 + 1] : [x3 + 1] Ta có: [x5 + x3 + x2 + 1] = x5 + x2 + x3 + 1 = x2[x3 + 1] + [x3 + 1] = [x3 + 1][x2 + 1] . Do đó: [x5 + x3 + x2 + 1] : [x3 + 1] = x2 + 1 b] [x2 + 5x + 6] : [x + 3] Ta có: x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 = x[x + 2] + 3[x + 2] = [x + 2][x + 3] Do đó: [x2 + 5x + 6] : [x + 3] = x + 2 c] [x3 + x2 – 12] : [x – 2] Ta có: x3 + x2 – 12 = x3 – 8 + x2 – 4 = [x – 2][x2 + 2x + 4] + [x – 2][x + 2] = [x – 2][x2 + 2x + 4 + x + 2] = [x – 2][x2 + 3x + 6] Do đó: [x3 + x2 – 12] : [x – 2] = x2 + 3x + 6 Bài tập 5: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a] [4x  9y ] : [2x  3y]  [2x  3y][2x  3y] : [2x  3y]  2x  3y

2

2

b] [27x 3 -1] : [3x -1] = 9x 2 + 3x +1

c] [8x 3 +1] : [4x 2 – 2x +1] = 2x +1 d] x 2 – 3x + xy – 3y = [x – 3][x + y]  [x – 3][x + y] : [x + y] = x – 3 Bài tập 6: Không cần đặt phép chia, hãy xét xem phép chia sau có là phép chia hết không, và chỉ ra đa thức dư trong trường hợp không chia hết: a] [6×2 – 3x + 5] : [2x – 1] Ta thấy thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức dư thứ nhất là 5. Vì 5 có bậc nhỏ hơn 2x – 1 nên không thể thực hiện tiếp phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 5. b] [9×4 – 6×3 + 15×2 + 2x – 1] : [3×2 – 2x + 5] Ta thấy thương trong bước thứ nhất của phép chia là 3×2 , và do đó đa thức dư thứ nhất là 2x – 1 . Vì 2x – 1 có bậc nhỏ hơn 3×2 – 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia được nữa. Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức dư là 2x – 1 . c] [18×5 + 9×4 – 3×3 + 6×2 + 3x – 1] : [6×2 + 3x – 1] ta thấy thương trong phép chia ở bước thứ nhất là 3×2 và đa thức dư thứ nhất là 6×2 + 3x – 1 chia hết cho đa thức chia . Vậy đây là phép chia hết. Bài tập 7: a] CMR nếu đa thức P[x] chia hết cho đa thức x – a [ở đây a là hằng số ] thì P[x] có một nghiệm là x = a. b] CMR: Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P[x] thì P[x] chia hết cho x–a. Chứng minh: a] Giả sử P[x] chia hết cho x – a thì ta có thể viết: P[x] = [x – a].Q[x]. Ở đay đa thức Q[x] là một đa thức nào đó. Đặt x = a ta được: P[a] = [a – a].Q[a] = 0 Vậy x = a là một nghiệm của P[x]. b] Phép chia của P[x] cho x – a có thể viết là: P[x] = [x – a]. g[x] + r Ở đây r là một số. Đặt x = a ta được r = P[a]. Nếu a là một nghiệm của P[x] thì P[a] = 0 và do đó r = 0, nghĩa là P[x] chia hết cho x – a . BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Thực hiện phép tính:

a] [ x3 – 3×2 ] : [ x – 3]

b] [2×2  2x  4] : [ x  2]

c] [ x4 – x –14] : [ x – 2]

d] [ x3  3×2  x  3] : [ x  3]

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 28

TOÁN HỌC

LỚP 8
f] [2×3  5×2  6x –15] : [2x – 5]

e] [ x3  x2 –12] : [ x – 2]

h] [ x2  6×3  26x  21] : [2x  3]

g] [3×3  5×2  9x  15] : [5  3x] Bài 2. Thực hiện phép tính:

a] [2×4  5×2  x3  3  3x] : [ x2  3]

b] [ x5  x3  x2  1] : [ x3  1]

c] [2×3  5×2 – 2x  3] : [2×2 – x  1]

d] [8x  8×3  10×2  3×4  5] : [3×2  2x  1]

e] [ x3  2×4  4  x2  7x] : [ x2  x  1] Bài 3. Thực hiện phép tính:

b] [ x4  x3y  x2y2  xy3] : [ x2  y2 ]

a] [5×2  9xy  2y2 ] : [ x  2y]

c] [4×5  3xy4  y5  2x4y  6x3y2 ] : [2×3  y3  2xy2 ] d] [2a3  7ab2  7a2b  2b3] : [2a  b] Bài 4. Thực hiện phép tính: a] [2x  4y]2 : [ x  2y]  [9×3  12×2  3x] : [3x]  3[ x2  3] b] [13x2y2  5×4  6y4  13x3y  13xy3] : [2y2  x2  3xy] Bài 5. Tìm a, b để đa thức f [ x] chia hết cho đa thức g[ x] , với: a] f [ x]  x4  9×3  21×2  ax  b , g[ x]  x2  x  2 b] f [ x]  x4  x3  6×2  x  a , g[ x]  x2  x  5 c] f [ x]  3×3  10×2  5  a , g[ x]  3x  1 d] f [ x]  x3 – 3x  a , g[ x]  [ x –1]2 ĐS: a] a  1, b  30 Bài 6. Thực hiện phép chia f [ x] cho g[ x] để tìm thương và dư: a] f [ x]  4×3  3×2  1, g[ x]  x2  2x  1 b] f [ x]  2  4x  3×4  7×2  5×3 , g[ x]  1  x2  x c] f [ x]  19×2  11×3  9  20x  2×4 , g[ x]  1  x2  4x d] f [ x]  3x4y  x5  3x3y2  x2y3  x2y2  2xy3  y4 , g[ x]  x3  x2y  y2 BÀI TẬP NÂNG CAO: Tìm đa thức bằng phương pháp hệ số bất định Bài tập 1: Cho hai đa thức: A = 98m + m3 – 6m5 + m6 – 26 + 10m4 B = 1 – m + m3 a] CMR với mọi giá trị nguyên của m thì thương của phép chia A cho B là một bội số của 6. b] xác định giá trị nguyên của m để đa thức dư bằng 0. Giải: a] Thực hiện phép chia A cho B ta được thương là: m3 – 6m2 + 11m – 6 , và dư là 17m2 + 81m – 20 . Có m3 – 6m2 + 11m – 6 = m3 – m2 – 5m2 + 5m + 6m – 6 = m2[m – 1] – 5m[m – 1] + 6[m – 1] = [m – 1][m2 – 5m + 6] = = [m – 1][[m2 – 2m] – [3m – 6]] = [m – 1][m[m – 2] – 3[m – 2]] = = [m – 1][m – 2][m – 3] Kết quả là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 . Vậy thương của phép chia là bội của 6. Cũng có thể chứng minh như sau: m3 – 6m2 + 11m – 6 = m3 – m – 6m2 + 12m – 6 = m[m2 – 1] – 6m2 + 12m – 6 = [m – 1][m[m + 1] – 6[m2 – 2m + 1] = [m – 1]m[m + 1] – 6[m – 1]2 Từ đó ta thấy biểu thức đã cho chia hết cho 6. b] Giải phương trình sau: Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 29

TOÁN HỌC

LỚP 8

17m2 + 81m – 20 = 0  17m2 – 4m + 85m – 20 = 0  m[17m – 4] + 5[17m – 4] = 0  [17m – 4][m + 5] = 0 Vì m  Z nên m = -5 để cho dư bằng 0. Bài tập 2: Xác định hằng số a sao cho : a] a3x3 + 3ax2 – 6x – 2a chia hết cho x + 1 . Cách 1: Thực hiện phép chia đa thức a3x3 + 3ax2 – 6x – 2a cho đa thức x + 1 ta được thương là a2x2 + [3a – a2]x + [a2 – 3a – 6] đa thức dư là – a2 + a + 6 Để a3x3 + 3ax2 – 6x – 2a chia hết cho x + 1 ta phải có: – a2 + a + 6 = 0 Hay [a + 2][3 – a] = 0  a = – 2 hoặc a = 3 Cách 2: [Phương pháp hệ số bất định ] : Đa thức bị chia có bậc 3 , đa thức chia có bậc nhất nên thương là một đa thức bậc hai có hạng tử cao nhất là a2x3 : x = a2x2 ; hạng tử thấp nhất là [ – 2a] : 1 = – 2a Gọi thương của phép chia là a2x2 + bx – 2a , ta có: a2x2 + 3ax2 – 6x – 2a = [x + 1][a2x2 + bx – 2a] Thực hiện phép nhân ở vế phải ta được : a2x3 + [a2 + b]x2 + [b – 2a]x – 2a Đồng nhất đa thức này với đa thức bị chia a2x2 + 3ax2 – 6x – 2a , ta được: a 2  b  3a  b  2a  6 Lấy [1] trừ [2] ta được : a2 + 2a = 3a + 6  a2 – a – 6 = 0 b] 10×2 – 7x + a chia hết cho 2x – 3 . Thực hiện phép chia 10×2 – 7x + a cho đa thức 2x – 3 , ta được thương là: 5x + 4 và đa thức dư là a + 12 Để 10×2 – 7x + 3 chia hết cho 2x – 3 thì a + 12 = 0  a = – 12 . Thực hiện phép nhân ở vế phải ta được : 2a 10×2 – [ + 15]x + a 3 2a Đồng nhất đa thức này với đa thức bị chia ta được: + 15 = 7 3 Suy ra a = – 12. c] 2×2 + ax + 1 chia cho x – 3 dư 4 Thực hiện phép chia 2×2 + ax + 1 cho x – 3 , ta được thương là 2x + a + 2 và đa thức dư là 1 + 2a Bài tập 3: Xác định các hằng số a và b sao cho : a] x4 + ax2 + b chia hết cho x2 – x + 1 Thược hiện phép chia được thương bằng x2 + x + a , đa thức dư là [a – 1]x + [b – a] . Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất bằng 0 . a  1  0 Do đó  Suy ra a = b = 1 b  a  0 b] ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho x2 + 3x – 10 . Cách 1: Thực hiện phép chia. Cách 2: Đồng nhất [x2 + 3x – 10][ax + 5] với đa thức bị chia ta được : 3a  5  b a  1   15  10a  5

b  8

1  a  b  0 a  b  1 a  3     8  2a  b  0  2a  b  8 b  2 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 30

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 3: Rút gọn biểu thức: x 2 y [ y  x]  xy 2 [ x  y ] A= , với x = -9; y = 2005.

3 y 3  3x 2 y

x 2 y [ y  x]  xy 2 [ y  x] xy[ y  x][ x  y ] x   A= 3 y [ y  x][ y  x] 3 3 y[ y 2  x 2 ] Với x = -9; y = 2005, ta có: 9  3 A= 3 1 [8 x 3  y 3 ][ 4 x 2  y 2 ] b] B = ; với x = – ; y =2. 2 2 2 [2 x  y ][ 4 x  2 xy  y ] [2 x  y ][ 4 x 2  2 xy  y 2 ][ 2 x  y ][ 2 x  y ]  [2 x  y ][ 2 x  y ] [2 x  y ][ 4 x 2  2 xy  y 2 ] 1 1 1 Với x = – ; y =2 , ta có: B = [2.[- ] – 2][2.[- ] + 2] = [-3].1 = – 3. 2 2 2 BÀI TẬP Bài 1. Cho biết đa thức f [ x] chia hết cho đa thức g[ x] . Tìm đa thức thương:

Ta có: B =

a] f [ x]  x3  5×2  11x  10 , g[ x]  x  2

ĐS: q[ x]  x2  3x  5

b] f [ x]  3×3  7×2  4x  4 , g[ x]  x  2

ĐS: q[ x]  3×2  x  2

Bài 2. Phân tích đa thức P[ x]  x4  x3  2x  4 thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng:
x2  dx  2 .

ĐS: P[ x]  [ x2  x  2][ x2  2] . Bài 3. Với giá trị nào của a và b thì đa thức x3  ax2  2x  b chia hết cho đa thức x2  x  1 . ĐS: a  2, b  1. Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] x3  x2  14x  24

b] x3  4×2  4x  3

c] x3  7x  6

d] x3  19x  30 e] a3  6a2  11a  6 Bài 5. Tìm các giá trị a, b, k để đa thức f [ x] chia hết cho đa thức g[ x] :

a] f [ x]  x4  9×3  21×2  x  k , g[ x]  x2  x  2 .

ĐS: k  30 .

b] f [ x]  x4  3×3  3×2  ax  b , g[ x]  x2  3x  4 .

ĐS: a  3, b  4 .

Bài 6. Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức f [k]  k3  2k2  15 chia hết cho nhị thức g[k]  k  3 .

ĐS: k  0, k  3 .

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I C©u 1 : Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö. a] x3 + 2x + x2 b] x2 + 2xy – 9 + y2 c] x2 – 3xy – 10y2. HD a] [x + 5][x2 + 1] b] [x + y + 3][x + y – 3] c] [x + 2y][x – 5y] C©u 2 : T×m x biÕt : Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 31

TOÁN HỌC

LỚP 8

a] x[x – 2] – x + 2 = 0 b] x2 [x2 + 1] – x2 – 1 = 0 c] 5x[x – 3]2 – 5[x – 1]3 + 15[x + 2][x – 2] = 5 HD a] x[x – 2] – [x – 2] = 0 [x – 1][x – 2] = 0 suy ra x = 1 vµ x = 2 b] x2 [x2 + 1] – x2 – 1 = 0 x= 1 c] 5x[x – 3]2 – 5[x – 1]3 + 15[x + 2][x – 2] = 5 x=2 C©u 3 : Sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi làm tính chia : [ 4×2 – 5x + x3 – 20 ]: [ x + 4] HD [ x3 + 4×2 – 5x – 20 ]: [ x + 4]= [x + 4][x2 – 5] C©u 4 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì [a + 2]2 – [a – 2]2 chia hết cho 4 HD BiÕn ®æi [a + 2]2 – [a – 2]2 = 8a chia hÕt cho 4 víi mäi a nguyên. C©u 5 : Biết x + y = 10. Tìm giá trị lớn nhất của P = xy. HD Biết x + y = 10. Tìm giá trị lớn nhất của P = xy. HD: x + y = 10  y = 10 – x. Thay vào P ta có: P = x[10 – x] = -x2 + 10x = -[x2 – 10x + 25 – 25] = -[x – 5]2 + 25  25. Vậy GTLN của P = 25 khi x = y = 5. BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I. Bài tập 1: Làm tính nhân: a] [x2 – 1][x2 + 2x] = x4 + 2×3 – x2 – 2x b] [2x – 1][3x + 2][3 – x] = [6×2 + 4x – 3x – 2][3 – x] = = 18×2 – 6×3 + 12x – 4×2 – 9x + 3×2 – 6 + 2x = – 6×3 + 17×2 + 4x – 6 c] [x + 3y][x2 – 2xy + y] = x3 – 2x2y + xy + 3x2y – 6xy2 + 3y2 = x3 + x2y – 6xy2 + xy + 3y2 Bài tập 2: Tính nhanh giá trị của mỗi biểu thức sau: a] 1,62 + 4.0,8 .3,4 + 3,42 = 1,62 + 2.1,6.3,4 + 3,42 = [1,6 + 3,4]2 = 52 = 25 b] 34.54 – [152 + 1][152 – 1] = 154 – [154 – 1] = 154 – 154 + 1 = 1 c] x4 – 12×3 + 12×2 – 12x + 111 tại x = 11. Thay 12 = x + 1 , ta có: x4 – [x + 1]x3 + [x + 1]x2 – [x + 1]x + 111 = x4 – x4 – x3 + x3 + x2 – x2 – x + 111 = – x + 111 = -11 + 111 = 100. Bài tập 3: Rút gọn biểu thức: a] [6x + 1]2 + [6x – 1]2 – 2[1 + 6x][6x – 1] = [6x + 1 – 6x + 1]2 = 4 b] 3[22 + 1][24 + 1][28 + 1][216 + 1] = [22 – 1] [22 + 1][24 + 1][28 + 1][216 + 1] = [24 – 1][ 24 + 1][28 + 1][216 + 1] = [28 – 1][ 28 + 1][216 + 1] = [216 – 1][216 + 1] = 232 – 1 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 32

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài tập 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a] x3 – 3×2 – 4x + 12 = x2[x – 3] – 4[x – 3] = [x – 3][x2 – 4] = [x – 3][x + 2][x – 2] b] x4 – 5×2 + 4 = x4 – x2 – 4×2 + 4 = x2[x2 – 1] – 4[x2 – 1] = [x2 – 1][x2 – 4] = [x – 1][x + 1][x – 2][x + 2] c] [x + y + z]3 – x3 – y3 – z3 Sử dụng [x + y]3 = x3 + y3 + 3xy[x + y] Thay [x + y + z]3 = [x + y]3 + z3 + 3[x + y + z][x + y]z, ta được: [x + y + z]3 – x3 – y3 – z3 = [x + y]3 + z3 + 3[x + y + z][x + y]z – x3 – y3 – z3 = [x + y]3 – x3 – y3 + 3[x + y + z][x + y]z = 3xy[x + y] + 3[x + y + z][x + y]z = = 3[x + y][xy + xz + yz + z2] = 3[x + y][y + z][x + z] Bài tập 5: Làm tính chia: a] [2×3 + 5×2 – 2x + 12] : [2×2 – x + 1] Kết quả : x + 3 b] [2×3 – 5×2 + 6x – 15] : [2x – 5] Kết quả: x2 + 3 c] [x4 – x – 14] : [x – 2] Kết quả: x3 + 2×2 + 4x + 7 Bài tập 6: Tìm GTNN [hoặc GTLN] của các biểu thức sau: a] A = x2 – 6x + 11 = x2 – 6x + 9 + 2 = [x – 3]2 + 2 = Ta thấy [x – 3]2 ≥ 0 , nên A = [x – 3]2 + 2 ≥ 2 Do đó GTNN của A bằng 2, giá trị này đạt được tại x = 3 . b] B = 2×2 + 10x – 1 1 5 25 25 1   ] = 2[x2 + 5x – ] = 2[x2 + 2. x  2 2 4 4 2 5 23 = 2[x + ]2 + 2 2 5 5 23 23 Vì [x + ]2 ≥ 0 , nên B = [x + ]2 + ≥ 2 2 2 2 5 23 Hay GTNN của B bằng , giá trị này đạt được khi x = 2 2 c] C = 5x – x2 25 25 25 25 5 5 5 = – x2 + 2. x + = – [x – ]2 + = – [x – ]2 2 2 2 4 4 4 4 5 2 25 5 2 25 Vì [x – ] ≥ 0 , nên C = – [x – ] ≤ 2 4 2 4 25 5 Do đó GTLN của C bằng , giá trị này đạt được khi x = . 2 4 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1.

Thực hiện phép tính:

a] [3×3  2×2  x  2].[5×2 ] c] [3×2  5x  2][2×2  4x  3] Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a] [a2  a  1][a2  a  1]

b] [a2x3  5x  3a].[2a3x] d] [a4  a3b  a2b2  ab3  b4 ][a  b]

b] [a  2][a  2][a2  2a  4][a2  2a  4]

c] [2  3y]2  [2x  3y]2  12xy d] [ x  1]3  [ x  1]3  [ x3  1]  [ x  1][ x2  x  1] Bài 3. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào x: Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 33

TOÁN HỌC

LỚP 8

a] [ x  1]3  [ x  1]3  6[ x  1][ x  1]

b] [ x  1][ x2  x  1]  [ x  1][ x2  x  1]

c] [ x  2]2  [ x  3][ x  1]

d] [ x  1][ x2  x  1]  [ x  1][ x2  x  1]

e] [ x  1]3  [ x  1]3  6[ x  1][ x  1] f] [ x  3]2  [ x  3]2  12x Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau: a] A  a3  3a2  3a  4 với a  11 b] B  2[ x3  y3]  3[ x2  y2 ] với x  y  1 Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a] 1  2xy  x2  y2

b] a2  b2  c2  d2  2ab  2cd

c] a3b3  1

d] x2[ y  z]  y2[ z  x]  z2[ x  y]

e] x2  15x  36

f] x12  3x6y6  2y12

g] x8  64×2 h] [ x2  8]2  784 Bài 6. Thực hiện phép chia các đa thức sau: [đặt phép chia vào bài]

b] [ x4  6×3  16×2  22x  15] : [ x2  2x  3]

a] [35×3  41×2  13x  5] : [5x  2]

c] [ x4  x3y  x2y2  xy3] : [ x2  y2 ] d] [4×4  14x3y  24x2y2  54y4 ] : [ x2  3xy  9y2 ] Bài 7. Thực hiện phép chia các đa thức sau: a] [3×4  8×3  10×2  8x  5] : [3×2  2x  1] b] [2×3  9×2  19x  15] : [ x2  3x  5] c] [15×4  x3  x2  41x  70] : [3×2  2x  7] d] [6×5  3x4y  2x3y2  4x2y3  5xy4  2y5] : [3×3  2xy2  y3] Bài 8. Giải các phương trình sau:

a] x3  16x  0

b] 2×3  50x  0

c] x3  4×2  9x  36  0

d] 5×2  4[ x2  2x  1]  5  0

e] [ x2  9]2  [ x  3]2  0

f] x3  3x  2  0

g] [2x  3][ x  1]  [4×3  6×2  6x] : [2x]  18 Bài 9. Chứng minh rằng: a] a2  2a  b2  1  0 với mọi giá trị của a và b. b] x2  y2  2xy  4  0 với mọi giá trị của x và y. c] [ x  3][ x  5]  2  0 với mọi giá trị của x. Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a] x2  x  1

b] 2  x  x2

c] x2  4x  1

d] 4×2  4x  11
g] h[h  1][h  2][h  3]

e] 3×2  6x  1

f] x2  2x  y2  4y  6

KIỂM TRA ĐỀ I A.ĐỀ BÀI: Câu 1: Làm tính nhân: 1 1 2 a] [-10×3 + y – z][- xy] 3 5 2 b] [2a3bc – 9a2bc2 + 3ab2c].[- 5abc] c] [x2 + x + 1][x3 – x2 + 1] d] [x2 – 2xy][x2 + 2xy + 2y2] Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau: a] [a – b + c + d][a – b – c – d] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 34

TOÁN HỌC

LỚP 8

b] [x + 2y + 3z][x – 2y + 3z] c] [x – 1][x2 – x + 1][x + 1][x2 + x + 1] d] [x + y]3 – [x – y]3 Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a] 3x[x – 1] + 7×2[x – 1] b] 3x[x – a] + 4a[a – x] c] [x + a]2 – [y + b]2 d] [x2 – 2x + 1]3 + y6 Câu 4: Hãy sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia: a] [ – 3×2 + 10×3 – x – 3] : [x + 1 + 3×2] b] [5x + 3×2 – 2 + 2×4 – 11×3 + 6×5] : [ – 3x + 2×3 + 2] B.ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM: Câu 1: [2,5 điểm] 1 1 1 1 2 a] [-10×3 + y – z][- xy] = 5x4y – xy2 + xyz 6 5 3 5 2 b] [2a3bc – 9a2bc2 + 3ab2c].[- 5abc] = – 10a4b2c2 + 45a3b2c3 – 15a2b3c2 c] [x2 + x + 1][x3 – x2 + 1] = x5 – x4 + x2 + x4 – x3 + x + x3 – x2 + 1 = x5 + 1 d] [x2 – 2xy][x2 + 2xy ] = x4 – 4x2y2 Câu 2: [2 điểm] a] [a – b + c + d][a – b – c – d] = [[a – b] + [c + d]][[a – b] – [c + d]] = [a – b]2 – [c + d]2 b] [x + 2y + 3z][x – 2y + 3z] = [[x + 3z] + 2y] [[x + 3z] – 2y] = [x + 3z]2 – [2y]2 c] [x – 1][x2 – x + 1][x + 1][x2 + x + 1] = [x – 1][x2 + x + 1][x + 1][x2 – x + 1] = [x3 – 1][x3 + 1] = x6 – 1 d] [x + y]3 – [x – y]3 = [x + y – x + y][[x + y]2 + [x + y][x – y] + [x – y]2] = 2y[x2 + 2xy + y2 + x2 – y2 + x2 – 2xy + y2] = 2y[3×2 + y2] Câu 3: [2,5 điểm] a] 3x[x – 1] + 7×2[x – 1] = [x – 1][3x + 7×2] = x[x – 1][7x + 3] b] 3x[x – a] + 4a[a – x] = 3x[x – a] – 4a[x – a] = [x – a][3x – 4a] c] [x + a]2 – [y + b]2 = [x + a + y + b][x + a – y – b] d] [x2 – 2x + 1]3 + y6 = [x – 1]6 + y6 = [[x – 1]2]3 + [y2]3 = [[x – 1]2 + y2 ] [[x – 1]4 – [x – 1]2y2 + y4 ] = [x2 – 2x + 1 + y2][[x – 1]4 – [x – 1]2y2 + y4] Câu 4: [2 điểm] a] [ – 3×2 + 10×3 – x – 3] : [x + 1 + 3×2] = 4×2 + 2x – 3

b] [5x + 3×2 – 2 + 2×4 – 11×3 + 6×5] : [ – 3x + 2×3 + 2] = 3×2 + x – 1

ĐỀ II 1: Bài tập trắc nghiệm 1. Điền dấu “x” vào ô thích hợp: TT Nội dung 2 1 a[a+1] = a + a 2 a[a – 1] = a2 – 1 3 2a2[2a + b] = 4a2 + 2a2b 4 [2a + b].2a = 4a + 2ab 5 – 3a[a2 – b] = – 3a3 + 3ab 6 – 3b[a2 + b] = -3a2b – 3b2 7 [a + b][a + b] = a2 + 2ab + b2 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

Đúng

sai

x x x x x x x

nguồn tham khảo: internet

Trang 35

TOÁN HỌC

LỚP 8

8 [a + b][a – b] = a2 + 2ab + b2 9 [a + b][a2 – ab + b2] = a3 + b3 10 a3 – b3 = [a – b][a2 – ab + b2] 2. Khoanh tròn vào chữ cái trước phương án trả lời đúng. 1.2.Phân tích đa thức y2 + 2y + 1 thành nhân tử được kết quả là: A. y[y + 2] + 1; B. [y + 1]2 ; 2 C. [y +2 ] D. Một kết quả khác 2 2.2. Phân tích đa thức y – 1 thành nhân tử được kết quả là: A. [y – 1]2 B. [y + 1]2 C. [y-1][y+1] D. [y+1][y+1] 3 2 3.2. Chia đơng thức 2x y cho x2y được thương là: A. 2xy B. 2x C. 2y 5 3 2 3 4.2. Chia đơn thức 10x y cho 2x y được thương là: A. 5x7y6 B. 5×2 C. 5×3 5.2. Chia đa thức 10x5y6 + 6x4y4 cho 2x4y4 được thương là: A. 5xy2 B. 5xy2 + 3 C. 3 2 2 6.2. Chia đa thức a + 2ab + b cho a + b được thương là: A. a + b B. a + 2

C. 2 + b.

Câu
®¸p ¸n

1.Làm tính nhân: a]2x[x2 – 3x + 5] 3 b] xy2[x2y3 +4x – 2y] 4 2. Làm tính nhân: a] [2×2 – 1][x2 + 3x] b] [2x – 1][3x+5][2-x] 3] Tính nhanh giá trị của biểu thức: a] 3,42 – 2.1,4.3,4 + 1,42 b] 54.34 – [152 -1][152 +1] c] x5 – 15×4 + 15×3 – 15×2+ 15x – 20 tại x = 14. 4. Phân tích các đa thức thành nhân tử. a] 5×2 – 5xy + 4y – 4x

b] [x + y]3 + [x – y]3

Trả lời. 1 2 3 4 B C A B

2: Bài tập tự luận

x x

x

D. xy D. 8×3 D. 8xy2 + 4

D. a – b

5
B

6
A

1.a] = 2×3 – 6×2 + 10x 3 3 b] = x3y5 + 3x2y2 – xy3 4 2 2. a] = 2×4 + 3×3 – x2 – 3x b] = [6×2 + 7x – 5][2-x] = 12×2 – 6×3 +14x -7×2-10 + 5x = – 6×3 + 5×2 + 19 x – 10 3.a] = [3,4 -1,4]2 = 22 = 4 b] = 154 – 154 + 1 = 1 c] thay 15 = x + 1, 20 = x + 6 ta có: C = x5– x5- x4 +x4 + x3- x3- x2+x2 +x – x – 6= 6 4. a] = 5x[x-y]-4[x-y] = [x-y][5x-4] b] =[x+y+x–y][[x+y]2-[x+y][x-y]+[x-y]2] = 2x[x2+2xy+y2-x2+y2+x2-2xy+y2]

= 2x[x2 + 3y2]

5. Tìm x, biết: a] x2 – 6x + 9 = 0

b] [x2 – 25]2 – [x- 5]2 = 0

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

5. a]  [x-3]2 = 0  x- 3 = 0  x = 3 Vậy x = 3. b]  [x2 – 25 – x + 5][x2- 25 + x – 5] =0  [[x2- 16] – [x + 4]][[x-25]+[x-5]] = 0  [[x-4][x+4]-[x+4]][[x-5][x+5]+[x+5]]=0  [x+4][x-5][x+5][x-4] = 0  x+4 = 0 hoặc x-5 = 0 hoặc x+5 = 0 hoặc x – 4 = 0  x = -4 hoặc x = 5 hoặc x = -5 hoặc

nguồn tham khảo: internet

Trang 36

TOÁN HỌC

LỚP 8 x = 4. Vậy x = -4; 5; -5; 4. 6. a] Ta có: A = [x-2]2 + 1  1, dấu “=” xảy ra  x = 2. Vậy minA = 1  x = 2 b] Ta có: B = 2[x+1]2+5  5, dấu “=” xảy ra  x =- 1.

Vậy minB = 5  x = – 1.

6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a] A = x2 – 4x + 5

b] B = 2×2 + 4x + 7

7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a] Ta có: A = -[x-2]2 + 5  5, dấu “=” xảy ra  x = 2. Vậy maxA = 5  x = 2 b] Ta có: B = – [2x + 1]2 + 4  4, dấu “=”

xảy ra  x = -1/2.Vậy maxB = 4  x =-1/2

7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a] 1 – x2 + 4x;

b] – 4×2 – 4x + 3

CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phân thức đại số:

– Một phân thức đại số [hay nói gọn là phân thức] là một biểu thức có dạng

A , trong đó A, B là

B

những đa thức và B khác 0. A được gọi là tử thức [hay tử] B được gọi là mẫu thức [hay mẫu] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 37

TOÁN HỌC

LỚP 8

– Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1. A C C A  , nếu A.D = B.C – Với hai phân thức và , ta nói B D D B 3.Rút gọn phân thức: – Cách biến đổi phân thức thành phân thức đơn giản hơn và bằng phân thức đã cho gọi là rút gọn phân thức. – Muốn rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau: + Phân tích tử và mẫu thành nhân tử [nếu cần] để tìm nhân tử chung. + Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung [nếu có] VẤN ĐỀ I. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Dạng toán tìm điều kiện của biến để phân thức xác định: -Với phân thức mà mẫu chỉ là đa thức dạng [ax+b] các em chỉ cần cho mẫu thức khác 0,rồi tìm ra kết quả. Bài 1:Tìm điều kiện của x để phân thức sau có nghĩa: x2 5 2x  1 a] b] c] 1  2 x  10 x5 x4 2 Giải:a] x  5  0  x  5 1 1 b] x  4  0  x  4  x  8 2 2 c] x  5 -Với những phân thức mà mẫu lại là một phân thức khác thì cần chú ý tới tử của phân thức mẫu,ví dụ: Bài 2:Tìm điều kiện của x để phân thức xác định: x4 5 a] b] 2x  1 x2 1 3x  1 x 1 Giải : 1  2 x  1  0  x  2x  1 0  a]Điều kiện: 2 x 1 x  1  0  x  1 1  x  x2 x  2  3x  1 4x  1  4 1  0  0 0 b] 3x  1 3x  1 3x  1 x   1  3 -Với những phân thức mà có bậc 2 một biến trở lên thì cần phân tích các mẫu thành nhân tử,rồi làm tương tự như trên.Ví dụ: Bài 3:Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định: 5x  1 3x 2  6 x  12 x 2  2x  5 a] b] c] 2 3 2 x 4 x 8 2 x  5x  3 Giải : a]Phân tích mẫu thành nhân tử ta có: 2 x 3  8  x  2 x 2  2 x  4 ,với chú ý: x 2  2 x  4  x  1  3  0 nên suy ra điều kiện để phân thức có nghĩa là: x  2  0  x  2 3 b]Ta có: 2 x 2  5 x  3  2 x 2  2 x   3x  3  x  12 x  3  0  x  1; x  2 2 c]Ta có: x  4  x  2x  2  0  x  2; x  2 Với những phân thức nhiều ẩn thì học sinh vận dụng làm tương tự,ví dụ:

Bài 4:Tìm điều kiện của biến để phân thức sau xác định:





Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 38

TOÁN HỌC

LỚP 8

2 xy x2 y2 x2 b] c] 2 x  y 2 x  y  x  y 1  y  1  x 1  y  *Một số bài tập vận dụng cho dạng toán này: Bài 1: Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định: 1 1  4x  5x  6 x3  2x a] b] x  4 c] 2 d] 2x  3 2x  2 2x  5 4 x  25 2 x2 2x  1 g]

2 x  24 y 2  9

a]

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2x  1 x2  4 a] b] 2 2 x  4x  4 9 x  16 d]

g]

5x  3 2x 2  x

2x  1

e]

e]

2x 2  1
8 x 3  27

x2  4 x2 1 2 f] [ x  1][ x  3]

c]

x2  5x  6
x2  1

x2  5x  6
Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức:

a]
d]

1 x2  y2

x y

b]

x2 y  2 x

c]

x  2x  1
2

5x  y x  6x  10

2

[ x  3]2  [ y  2]2
VẤN ĐỀ II. Dạng toán tìm giá trị của biến để phân thức nhận một giá trị nào đó

Bài 1:Với giá trị nào của x thì phân thức sau có giá trị bằng 0: 3x  3 x 1 a] b] 3 4x  4 x  x  2x 2  2 Giải: 3x  3  0 3x  1  0  x  1 3x  3  0 khi    a] .Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x= 4x  4 4 x  4  0 4x  1  0  x  1 1 x  1  0 x  1 x  1 x 1  0 khi  3 b] 3  2  2 2 2 x  x  2x  2  x  x  2 x  2  0  x  1 x  2  0  x  2[ x  1  0] Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x = 1 2x  2 Bài 2:Tìm giá trị của x để phân thức 2 nhận giá trị bằng 0. x 1 2 x  2  0  x  1 2x  2  0 khi   Giải: . 2 x 1 x  1x  1  0  x  1 Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0. 2x  3 3 Bài 3:a]Tìm x để giá trị của phân thức bằng  x5 4 3 2 x  3x  x  3 b]Tìm x để giá trị của phân thức 3 bằng -1

x  3x 2  3x  9



Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800



nguồn tham khảo: internet

Trang 39

TOÁN HỌC

LỚP 8

2x  3 3   42 x  3  3 x  5  x5 4 Giải: a]Ta có: 8 x  12  3 x  15 3 x 11 3 2 x  3x  x  3  1  x 3  3 x  x 2  3   x 3  3 x 2  3 x  9  2 x 3  2 x 2  6 x  6  0 3 2 b] x  3 x  3 x  9 x  12 x 2  6  0  x  1 Vì 2×2+6 > 0 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1:Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0: 3x  6 x 3  6 x 2  11x  6 3x 2  5 x  2 a] b] 2 c] 2x  8 x 2  5x  6 3x  7 x  2 5x  4 2 Bài 2:a]Tìm giá trị của x để phân thức bằng 3  2x 3 2 3x  x  3 b]Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1 3x  2

Bài 2: Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:

x2  x 2x  3 2x  1 a] b] c] 2x 5x  10 4x  5 x2  1 [ x  1][ x  2] [ x  1][ x  2] d] 2 e] 2 f] 2 x  2x  1 x  4x  3 x  4x  3 Bài 3: Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: x3  x2  x  1 x3  16x x2  4 a] 2 b] 3 c] x  3×2  4x x3  2x  3 x  3x  10 VẤN ĐỀ III. Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa Bài 1. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: 3x  5 3 a] 2 b] x 1 [ x  1]2  2

d]

x2  4

e]

c]

5x  1
x2  2 x  4

x5

 x2  4 x  5 x2  x  7 Bài 2. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: x y 4 a] b] x2  2y2  1

x2  y2  2x  2

II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Tính chất cơ bản của phân thức đại số:

A C = A · D = B · C

B D

A AM  [ M là một đa thức khác 0]

B BM

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 40

TOÁN HỌC

LỚP 8

A A: N  [ N là một nhân tử chung, N khác đa thức 0]

B B:N

Qui tắc đổi dấu:
+ §æi dÊu c¶ tö vµ mÉu:

A -A =

B -B

A -A =B B A A + §æi dÊu ph©n thøc vµ ®æi dÊu mÉu: = B -B

+ §æi dÊu ph©n thøc vµ ®æi dÊu tö:

VẤN ĐỀ I. Phân thức bằng nhau Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 3×2 3×2  [ y  0] b] 2y

2y

3y 6xy a]  [ x  0] 4

8x

2xy 8xy2 1 x x  1  [a  0, y  0]  [ y  2] e] 3a 12ay 2 y y2

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

d]

x2 23  x3  [ x  0] a] x x[ x2  2x  4] c] Bài 3. a] Bài 4. a] Bài 5.

a]

b]

c]

2[ x  y] 2  [ x  y]

3[ y  x] 3

f]

2a 2a  [b  0]

5b 5b

3x 3x[x  y]  [ x   y] x y

y2  x2

x  y 3a[ x  y]2  [a  0, x   y] 3a 9a2 [ x  y] Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau: x2 1 và 2 x3 x  5x  6 Cho hai phân thức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i] x  N ii] x  Z iii] x  Q [2x  1][ x  2] x2 A , B 3[2x  1] 3 Cho ba phân thức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i] x  N ii] x  Z iii] x  Q [ x  1][ x  2] [ x  1][3x  2] x 1 , B , C A 5[ x  2] 5[3x  2]

5

VẤN ĐỀ II. Rút gọn phân thức Phương pháp chung: -Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử -Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Bài 1:Rút gọn phân thức sau: 3 3 2 14 xy5 2 x  3 y  8 xy3 x  1 10 xy 2 2 x  1 15x 2 yx  2 y  a] b] c] d] 2 12 x 3 1  3 x  35x 3 y 2 2 y  x 3 12 x 3 2 x  1

21x 2 y 2 x  3 y 

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 41

TOÁN HỌC

LỚP 8

-Với các phân thức mà không có sẵn nhân tử chúng thì chúng ta sẽ thực hiện theo các bước của bài toán rút gọn,ví dụ: Bài 2:Rút gọn phân thức sau: x 3  3x 2  x  3 x 2  7 x  12 20 x 2  45 80 x 3  125x a] b] c] d] x 2  3x 3x  3  x  38  4 x  x 2  5x  6 2 x  32 HD: a] 20 x 2  45  5 4 x 2  9  52 x  32 x  3 52 x  3 Từ đó suy ra kết quả: 2x  3 3 b] 80 x  125 x  5 x 16 x 2  25  5 x4 x  54 x  5 3x  3  x  38  4x  3x  3  x  34x  8  x  34x  5 5 x4 x  5 Từ đó kết quả là: x3 3 2 c] x  3x  x  3  x 2 x  3  x  3  x  3 x 2  1  x  3 x 2  1

x 2  3x  x[ x  3]

















x2 1 x 2 d] x  7 x  12  x  3x  4 x 2  5x  6  x  2x  3 x4 Từ đó có kết quả: x2 Một số bài toán vận dụng cho dạng toán này: Bài 1:Rút gọn các phân thức sau: 2 2 x  32  x 2 25 xy3 2 x  y  x2  y2 a] b] c] x2 1 75 xy 2  y  2 x  x 2  y 2  xz  yz

Từ đó ta có kết quả:

a 2 b  c   b 2 c  a   c 2 a  b  3x 3  7 x 2  5 x  1 e] 2x 3  x 2  4x  3 ab 2  ac 2  b 3  bc 2 Bài 2:Chứng minh các đẳng thức sau; x4  4 x 2  2x  2  a] 2 x 1 x x 2  2  2 x 2  x  1  1

d]





x 2  y 2  z 2  2 zt  2 xy  t 2 x  y  z  t  x 2  y 2  z 2  2 yt  2 xz  t 2 x  y  z  t 3 y  2  3 xy  2 x 3 y  2  c] 1  3 x  x 3  3 x 2 1  x 2 Bài 3:Rút gọn phân thức: x 3  y 3  z 3  3 xyz x3  7x  6 5.415.9 9  4.3 20.8 9 a] A  b] c] 2 2 2 2 5.2 9.619  7.2 29.27 6  x  y  2   x  z 2   y  z 2 x x  3  4 xx  3  4x  3 HD: a]đưa các lũy thừa về cơ số là số nguyên tố,sau đó phân tích thành nhân tử: 5.415.9 9  4.320.89  5.2 30.318  2 29.320  2 29.318 10  9 5.2 9.619  7.2 29.27 6  5.2 28.319  7.2 29.318  2 28.318 15  14 Từ đó rút gọn ta được kết quả: A = 2 b]phân tích tử thành nhân tử và mẫu biến đổi ta có: x 3  y 3  z 3  3xyz  x  y  z  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx

b]

 x  y   x  z    y  z   2x

2

2

2

2

y z

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

2

2


 xy  yz  zx 

nguồn tham khảo: internet

Trang 42

TOÁN HỌC

LỚP 8

x yz 2 c]Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ta có:

x 3  7 x  6  x 3  9 x  2 x  6  x x 2  9  2x  3  xx  3x  3  2x  3

Từ đó suy ra kết quả:









 x  3 x  3x  2  x  3x  2x  1
2

Mẫu= x  3 x  2 . Vậy ta có kết quả:
2

2

x 1
x  3x  2

Bài 4:Chứng minh đẳng thức: x 2 y  2 xy 2  y 3 xy  y 2 x 2  3xy  2 y 2 1   a] b] 3 2 2 2 2 3 2x  y x y x  2 x y  xy  2 y 2 x  xy  y HD:thực hiện rút gọn vế trái,cuối cùng ra kết quả là vế phải. II. Dạng toán chứng minh phân thức tối giản: Để chứng minh một thức tối giản ta gọi ước chung lớn nhất của tử và mẫu thức là d, ta chứng minh d = 1 hoặc d = -1. Để chứng minh được điều này ta vận dụng các kiến thức về chia hết như: tính chất chia hết của một tổng, quan hệ giữa bội và ước…Ví dụ: Bài 1:Chứng minh các phân thức sau là tối giản: 2n  1 n3 6  8n  15n 2 a] b] [Với n nguyên dương] c] 2 [Với n là số tự nhiên] 2 n  4 2n  1 13  21n  30n Giải: a]Gọi ƯCLN của n-3 và -n+4 là d,ta có: n  3 d , n  4 d hay: n  3  n  4 d => 1 d .Do đó d = 1 hoặc -1.Vậy phân thức đã cho tối giản với mọi n. b]Gọi ƯCLN của 6  8n  15n 2 và 13  21n  30n 2 là d[ d  1],ta có:

6  8n  15n 2  d ,13  21n  30n 2  d hay: 2 6  8n  15n 2  5n  1  d suy ra : 5n  1 d [1]







Mặt khác: 6  8n  15n 2  3n  15n  1  5 d  5 d [2] Từ [1] và [2] suy ra: 1 d .Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản. c]Gọi ƯCLN của 2n  1 và 2n 2  1 là d.Ta có: 2n  1 d [1] và 2n 2  1 d  4n 2  2 d  4n 2  1  1 d hay: 2n  12n  1  1 d [2] Từ [1] và [2] suy ra: 1 d .Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản. Cách giải khác: Gọi ƯCLN của 2n  1 và 2n 2  1 là d.Ta có: 2n  1 d [1] và 2n 2  1 d .Ta có: 2n 2  1  n2n  1  n  1 d  n  1 d  2n  2  [2n  1]  1 d Nên 1 d . Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản. Bài 2:Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n: 12n  1 n 3  2n a] b] 4 30n  2 n  3n 2  1 Giải: a] 12n  1,30n  2  d ,suy ra: 12n  1 d ,30n  2 d hay: 512n  1  230n  2 d Hay: 1 d .Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản. b] n 3  2n, n 4  3n 2  1  d .Ta có: n 4  3n 2  1  n n 3  2n  n 2  1 d [1] mà : n 3  2n  n n 2  1  n  d  n d [2] Từ [1] và [2] suy ra: 1 d .Vậy phân thức tối giản. Một số bài tập vận dụng cho dạng toán: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n: 3n  1 3n 2  5n  1 2n  1 a] b] 2 c] 5n  2

8n  7 n  1 4n 2  2










 



BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 43

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:

5x 10 2x  2y d] 4 Bài 2. Rút gọn các phân thức sau:

a]

a] d] g]

i]

x2  16
4 x  x2

5[ x  y]  3[ y  x] [ x  y]

10[ x  y]

5b  5bx2

c]

x2  4x  3 b] [ x  3]

2x  6

[ x  0, x  4]

2ax2  4ax  2a

21x2y3 [ xy  0] 6xy 15x[ x  y] [ x  y] f]

3[ y  x]

4xy [ y  0] 2y 5x  5y [ x  y] e]

3x  3y

b]

e]

c]

15x[ x  y]3
5y[ x  y]2

[ y  [ x  y]  0]

x2  xy 2x  2y  5x  5y [ x   y] f] [ x  y, y  0] 2x  2y  5x  5y

3xy  3y2

[b  0, x  1]

h]

[ x  y]2  z2 [ x  y  z  0]

x y z

k]

4×2  4xy
5×3  5x2y

[ x  0, x  y]

x6  2x3y3  y6
x7  xy6

[ x  0, x   y]

Bài 3. Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
a] A 

[2×2  2x][ x  2]2

với x 

[ x3  4x][ x  1]
Bài 4. Rút gọn các phân thức sau:

[a  b]2  c2 a b c Bài 5. Rút gọn các phân thức sau: a3  b3  c3  3abc a] 2 a  b2  c2  ab  bc  ca

a]

c]
e]

b]

1
2

a2  b2  c2  2ab
a2  b2  c2  2ac

x3  y3  z3  3xyz [ x  y]2  [ y  z]2  [ z  x]2

a2 [b  c]  b2 [c  a]  c2 [a  b]

ab2  ac2  b3  bc2 Bài 6. Tìm giá trị của biến x để: 1 a] P  2 đạt giá trị lớn nhất

x  2x  6

b] Q 

x2  x  1

b] B 

b] d]

f]

đạt giá trị nhỏ nhất

x3  x2y  xy2
x3  y3

c]

2×3  7×2  12x  45
3×3  19×2  33x  9

x3  y3  z3  3xyz [ x  y]2  [ y  z]2  [ z  x]2 a2 [b  c]  b2 [c  a]  c2 [a  b] a4 [b2  c2 ]  b4 [c2  a2 ]  c4 [a2  b2 ] x24  x20  x16  …  x4  1

x26  x24  x22  …  x2  1

ĐS: max P 

1 khi x  1

5

ĐS: min Q 

3 khi x  1

4

x  2x  1
Bài 7. Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y:

a]

2

[ x2  a][1  a]  a2 x2  1
[ x2  a][1  a]  a2 x2  1

b]

 3xy  3x  2y  2 9×2  1  1   x  , y  1 y 1 3x  1  3



c]

ax2  a axy  ax  ay  a [ x  a]2  x2  [ x  1, y  1] d] x 1 y 1

2x  a

e]

x2  y2
[ x  y][ay  ax]

f]

với x  5, y  10

2ax  2x  3y  3ay
4ax  6x  9y  6ay

Dạng toán tìm giá trị nguyên của biến để phân thức có giá trị nguyên Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 44

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 1:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên: 5 3 2 a] b] c] 2x  1 x2 x3 Giải:a] x  3 là ước nguyên của 2 Nếu x  3  2  x  1; Nếu x  3  2  x  5 Nếu x  3  1  x  4 ; Nếu x  3  1  x  2 Phần b],c] làm tương tự Trong trường hợp tử và mẫu thức đều chứa biến thì ta thực hiên phép chia tử cho mẫu thức tách lấy phân thương và dư,rồi viết phân thức dưới dạng khác,ta lập luận tương tự như trên đối với phần dư chia cho mẫu thức,ví dụ: Bài 2:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên: 2x 3  x 2  2x  8 x 4  3x 3  5 a] b] x3 2x  1 Giải: a]Thực hiện phép chia đa thức ta được: x 4  3x 3  5 5 x 4  3x 3  5  x  3.x 3  5 . Do đó:  x3  x3 x3 5 Vì x nguyên nên x3 cũng nguyên,nên để phân thức có giá trị nguyên thì là số nguyên.Đến đây x3 ta làm tương tự như ví dụ 1 b]Ngoài việc thực hiện phép chia như câu a] ta cũng có thể viết tử thức liên tiếp có chứa mẫu thức dưới dạng sau:

Ta có: 2 x 3  x 2  2 x  8  x 2 2 x  1  2 x  1  7

2x 3  x 2  2x  8 7  x2 1 2x  1 2x  1 Lập luận tương tự như trên ta tìm được kết quả: x   4;1;0;3 Một số bài tập vận dụng cho dạng toán: Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên: 2×3  6x 2  x  8 3x 3  4 x 2  x  1 3x 2  x  3 x 4  16 a] b] c] d] 4 x3 3x  2 x4 x  4 x 3  8 x 2  16 x  16

Từ đó ta suy ra:

Dạng toán tính giá trị của phân thức tại một giá trị của biến Bài 1:Tính giá trị của biểu thức: x 2  3x  2 3x 2  x a] 2 tại x = -8 b] 3 tại x = 1000001 9x  6x  1 x  2x 2  x  2 Giải: 3x 2  x x3x  1 x   a]Ta có: 2 2 3x  1 9 x  6 x  1 3x  1 8 8 8   Thay x = -8 vào biểu thức ta có:

3. 8  1  25 25

x  1x  2  1 x 2  3x  2  3 2 x  2 x  x  2 x  2x  1x  1 x  1 Thay x = 1000001 vào biểu thức ta có: 1 1  1000001  1 1000000 Bài 2:Tính giá trị của biểu thức:

b]

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 45

TOÁN HỌC

LỚP 8

x 2  x  y  1  2 xy a] 2 tại x = 99 và y = 50 b] x  4x  1 x  1 tại x = 101 2 x  y  1  2x x 2 x x3  1 2 x 2  y 2  1  2 xy x  y   1 x  y  1x  y  1 x  y  1 Giải: a]Ta có:    x 2  y 2  1  2x x  12  y 2 x  y  1x  y  1 x  y  1 99  50  1 48 8   Thay x = 99 và y = 50 ào biểu thức ta có: 99  50  1 150 25 7 7 ; b  và 2a  b  7 .Tính giá trị của biểu thức: Bài 3:Cho a  3 2 5a  b 3b  2a P  3a  7 2b  7 Giải: 5a  b 3b  2a 2a  b   3a 2b  2a  b  3a  7 2b  7 P       11  0 3a  7 2b  7 3a  7 2b  7 3a  7 2b  7

2

2

2

Bài 4:Cho 3 y  x  6 ,tính giá trị của biểu thức: A 

x 2x  3 y  y2

x6

Giải:

3 y  6 2 x  x  6 3 y  2 x  6     3 1  4 y2 x6 y2 x6 x y Bài 5:Tính giá trị của A  biết x 2  2 y 2  xy[ y  0; x  y  0] x y Giải: Ta có: x 2  2 y 2  xy  0  [ x 2  y 2 ]  y 2  xy  0  x  y  . x  2 y  0 Vì x  y  0 nên x  2 y .Thay vào biểu thức ta có: 2y  y y 1 A   [Vì y # 0] 2 y  y 3y 3 1 Vậy A  3 Ta có một số bài tập tương tự: Bài 1:Tính giá trị của biểu thức: 5x 4  5x 2  2 x 2 y  2 y 4x 2  x a] tại x = -3 b] tại x = 2 và y =-2 x 4  3x 2  2 16 x 2  8 x  1 3x  2 y Bài 2:a]Tính giá trị của phân thức A  biết rằng: 9 x 2  4 y 2  20 xy và 2 y  3 x  0 3x  2 y 2 2 b]Biết 2 x  y  0 và 4 x  y  5 xy .Tính giá trị của biểu thức: xy M  2 4x  y 2

Ta có: A 





c]Biết b  3a và 6a 2  15ab  5b 2  0 .Tính giá trị của biểu thức: 2a  b 5b  a Q  3a  b 3a  b y z x z x y Bài 3:Cho x,y,z khác 0 và A   ; B   ; C   .Tính giá trị của biểu thức: z y z x y x 2 2 2

A  B  C  ABC

Dạng toán rút gọn biểu thức tổng hợp Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 46

TOÁN HỌC

LỚP 8

x 2  4x  4 x2 a]Với điều kiện nào của x thì giá trị phân thức được xác định? b]Rút gọn phân thức c]Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1? d]Có giá trị nào để phân thức bằng 0 hay không? Giải: a] x  2 b]Rút gọn phân thức ta được: x  2 c] x  1 d]Không có giá trị nào của x thỏa mãn để phân thức có giá trị bằng 0 Ta có bài tập tương tự: 3x 2  6 x  12 Bài 2:Cho phân thức : x3  8 a]Với điều kiện nào của x thì phân thức xác định? b]Rút gọn phân thức 4001 c]Tính giá trị của phân thức tại x  2000 d]Tìm giá trị nguyên của x để phân thức đạt giá trị nguyên? Đối với những biểu thức có các phép tính cộng,trừ,nhân, chia thì các em cần phải nắm vững các quy tắc cộng,trừ,nhân,chia các phân thức để biến đổi cho đúng,ví dụ: 4  x 2  8 x  16  4 Bài 3:Cho biểu thức:   . 32  x 4 x  4 a]Tìm điều kiện của x để phân thức xác định? 1 b]Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 3 c]Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1 d]Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị nguyên? e]Tìm giá trị của x để phân thức luôn dương? Bài 4:Chứng minh các đẳng thức sau: x 2  4x  x 1 x 1  1 a]     2 :  2  x  1 x  1   x  1 1  x x  1  x  1

Bài 1:Cho phân thức:

 3  x y 3x  2x  y   2 : .  x y b]  2  2 2   x  y x  y  x  2 xy  y  3 Bài 5:Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến. 1 x 1 x3  x  x 1  x a] 2 b]  2 . 2  2  x  2x  1 2x  2 x  1 x  1  x  2x  1 x  1   x x 2 x x  3x  x  3 x  c]  . 2  2 

x  3 2 x  3  x  3x x  9 

Một số Bµi tËp n©ng cao Bµi 1. Rót gän c¸c biÓu thøc. m4  m ab 2  a3  a 2b a] ; b] ; a 3b  b 4 2m 2  2m  2 xy  1  x  y ax  ay  bx  by c] ; d] ; y  z  1  yz ax  ay  bx  by Bµi 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c ph©n thøc sau b»ng 0. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 47

TOÁN HỌC

LỚP 8

x 4  x3  x  1 x4  5×2  4 ; b] . x 4  x3  2 x 2  x  1 x 4  10 x 2  9 Bµi 3. ViÕt gän biÓu thøc sau d-íi d¹ng mét ph©n thøc. A = [x2 – x + 1][x4 – x2 + 1][x8 – x4 + 1][x16 – x8 + 1][x32 – x16 + 1]. HD: Nh©n biÓu thøc A víi x2 + x + 1, tõ ®ã xuÊt hiÖn nh÷ng biÓu thøc liªn hîp nhau x2  y 2  z 2 Bµi 4. Rót gän biÕt r»ng x + y + z = 0. [ y  z ] 2  [ z  x] 2  [ x  y ] 2 3x  2 y Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc A =

, biÕt r»ng 9×2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x 0; P < 0. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 53 TOÁN HỌC LỚP 8  x 1 3 x  3  4×2  4 P   . 5 .  2x  2 x2  1 2x  2  a] Tìm điều kiện xác định của P. b] CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x?  5x  2 5x  2  x2  100 Bài 19. Cho biểu thức: . P  .  x2  10 x2  10  x2  4 a] Tìm điều kiện xác định của P. b] Rút gọn biểu thức P. c] Tính giá trị của P khi x = 20040. Bài 18. Cho biểu thức: Bài 20. Cho biểu thức: P x2  10x  25 x2  5x . a] Tìm điều kiện xác định của P. 5 . 2 c] Tìm giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị nguyên. b] Tìm giá trị của x để P = 0; P  MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỀ I Câu 1[ 4 điểm]: Thực hiện các phép tính sau: a] 4x  1 2x  3  3x 6x x2  y 2 x  y : b] 6 x 2 y 2 3 xy Câu 2[2 điểm]: Rút gọn biểu thức Q với x  5; và x  – 5 1  2x  1 Q  : 2  x  5 x  5  x  25 Câu 3 [4 điểm]: Cho phân thức 3x  3 x2  1 a, Tìm điều kiện của x để giá trị phân thức được xác định. b, Rút gọn phân thức trên. c, Tìm x để phân thức có giá trị bằng -2. ĐÁP ÁN Đáp án Câu 4 x  1 2 x  3 2[4 x  1] 2 x  3 8 x  2 x  1    = 6x 6x 6x 3x 6x 10 x  1 = 6x a] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Điểm 1,5 0,5 Trang 54 TOÁN HỌC LỚP 8 x 2  y 2 x  y [ x  y ][ x  y ] 3xy x y :  .  b] 2 2 2 2 6x y 3 xy 6x y x  y 2 xy 1 1  2x  1 Q  với x # 5 ,x#-5 ta có : : 2  x  5 x  5  x  25 2 Q= 2x 2x : [ x  5][ x  5] [ x  5][ x  5] Q= 2x [ x  5][ x  5] =1 . [ x  5][ x  5] 2x 0,5  x ≠ 1 3 3x  3 3[ x  1] 3 =  2 x 1 [ x  1][ x  1] x  1 c. c, Để phân thức có giá trị = -2 thì:  2 x  1  x   1 2 0,5 1,0 1 3  2 x 1  3 = -2 [x – 1]  3  2x  2 [ 0,5 1 a, a, Điều kiện để phân thức xác định là: x2 -1≠ 0 b. b, Ta có: 2 0,25 0,5 [Thỏa mãn điều kiện]. 0,25 ĐỀ II Bài 1 : [ 3 đ ] : Rút gọn các phân thức sau a/ 16 x 2  1 16 x 2  8 x  1 b/ 4 x 2  4 xy  y 2 y 2  4 x2 Bài 2 : [ 3 đ] : Thực hiện phép tính Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 55 TOÁN HỌC LỚP 8 3a  a  3 1 a 2   a3  1 a2  a  1 1  a 2 a/ b/ xy x3 x  2 x  y x  y2 Bài 3 [ 3đ] : Thực hiện phép tính y x3  xy 2  x y   2 .    x  y x  y 2  x 2  2 xy  y 2 x 2  y 2  Bài 4[ 1đ ] : Cho biểu thức 8 x 1  x2 1  2x 1  2  . B=  x  1 x  1 x  1   5 a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức B b/ Rút gọn biểu thức B, và chứng tỏ B > 0 với mọi x

 1

ĐÁP ÁN
NỘI DUNG

BÀI Bài 1

3đ

ĐIỂM THÀNH
PHẦN

4 x   12  16 x 2  1  a/ 16 x 2  8 x  1  4 x 2  2.4 x.1  12

2

=

0,5đ

 4 x  1 4 x  1  4 x  1 2 4x 1

 4 x  1

0,5đ.2 = 1đ

4 x 2  4 xy  y 2  2 x   2.2 x. y  y  2 y 2  4×2   2 x   y 2   

2

b/

  2x  y    2x  y    2 x  y  2 x  y  2 x  y

2

= Bài 2

3đ

a/

=



2

2x  y
2x  y

0,5đ

0,5đ.2 = 1đ

3a 2  a  3 1 a 2   a3  1

a2  a  1 1  a

3a 2  a  3  1  a  a  1  2  a 2  a  1

0,5đ

=

a3  1 a 3a 2  a  3  a  1  a 2  a  2a 2  2a  2  = = a3  1 a3  1

b/

=

x  x 2  y 2   xy  x  y   x3 xy x3 x   x  y x2  y 2

x2  y 2

x3  xy 2  x 2 y  xy 2  x3 x2 y  2 x2  y 2

x  y2

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

0,5đ . 2 = 1đ

0,75đ
0,75đ

Trang 56

TOÁN HỌC Bài 3

3đ

Tính :

=

LỚP 8

y x3  xy 2  x y   2 .    x  y x  y 2  x 2  2 xy  y 2 x 2  y 2  x  x2  y 2   x  x  y   y  x  y   y  2 .  x y x  y 2   x  y 2  x  y   x  x 2  y 2  x 2  xy  xy  y 2 y  2 . x y

x  y 2  x2  y 2   x  y 

=

= Bài 4

1đ

y x x2  y 2 y  x x y  2 .     1 x  y x  y2 x  y x y

x y

Giải : a/ Điều kiện xác định của A :
b/ Rút gọn biểu thức A

x  1

1đ

1đ

1đ
0,25đ

8 x 1  x2 1  2x 1  2  . A=   x 1 x 1 x  1  5

=

=
–

 2 x  1 x  1  8   x  1 x  1 . x 2  1

x2 1 5 2 x 2  3x  1  8  x 2  2 x  1 x 2  5 x  8  5

5

0,25đ

Chứng tỏ rằng A > 0

Vì 5 > 0 nên để A > 0 thì x  5 x  8  0
2

5 25 25  8 2 4 4 2 2  2 5 5  7  5 7 =  x  2.x.        x    2  2   4  2 4



Ta có : x  5 x  8  x  2.x.
2

2

2

Vì

5  x  0 2



2

với mọi x

Vậy : A > 0 với mọi x

 1

 1

5 7 7  x    0 2 4 4



0,25đ

0,25đ

MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ SỐ 1 Câu 1: [1 điểm] 2 là một phân thức: x 1 1 x b] Tìm phân thức bằng với phân thức ? yx Câu 2: [1 điểm]. 3x a] Tìm phân thức đối của phân thức sau

x y

a] Tìm điều kiện để cho biểu thức

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 57

TOÁN HỌC

LỚP 8

b] Tìm phân thức nghịch đảo của phân thức sau 

3y2 .

2x

Câu 3: [2 điểm]. Rút gọn phân thức: 6 x2 y 2 x 2  xy b a] ] 5 xy  5 y 2 8 xy 5 Câu 4: [3 điểm]. Thực hiện các phép tính: y 2y 6 x3 [2 y  1] 15  a] b]  3 3x 3x 5y 2 x [2 y  1] 8x 4x Câu 5: [3 điểm]. Cho biểu thức: A = : [2 x  1][2 x  1] 10x – 5

a] Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

c]

4x – 1 7x – 1 3x 2 y

3x 2 y

b] Tính giá trị của biểu thức tại x 

c] Với giá trị nguyên nào của x thì A nhận giá trị nguyên.

ĐỀ SỐ 2 Câu 1: [2 điểm] 1] Điền vào chổ trống để có đẳng thức đúng: x 1 x[ x  2] … [ x  1]…. a/ ; b/   x  1 [ x  1][ x  1] 2[ x  2] … 2x 2x[ x  1] 2] Giải thích vì sao có thể viết:  x  1 [ x  1][ x  1] x2  4 Câu 2: [1 điểm] Rút gọn phân thức: 2x  4 Câu 3: [2 điểm] Thực hiện phép tính. 4x  6 5x  6 4x  5 5  9x   1] 2] 2x 1 2x 1 9 9 Câu 4: [3 điểm] Thực hiện phép tính 2x  4 x  5 x5 x5 . 1] 2] : x5 x2 3[ x  4] x  4 x 1 Câu 5: [2 điểm] Cho phân thức: A= 2 x x

1] Tìm điều kiện xác định của A

3]

1 .

2

x3  8 x[ x  4] .

5 x  20 x 2  2 x  4

2] Rút gọn A.

ĐỀ SỐ 3
Câu 1: [1,5 điểm] Tìm đa thức A trong đẳng thức sau:

A x  . x  64 x  8

2

32 x  8 x 2  2 x 3 Câu 2: [1,5 điểm] Rút gọn phân thức sau A= x 3  64 Câu 3: [2 điểm] Thực hiện phép tính:

a]

x 9  6x  2

x  3 x  3x

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

b]

x2 x5 x8   3x 5x

4x

nguồn tham khảo: internet

Trang 58

TOÁN HỌC

LỚP 8

Câu 4: [3 điểm] Cho phân thức

3x 3  6 x 2
x3  2x 2  x  2

a] Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định. b] Chứng tỏ rằng giá trị của phân thức luôn không âm khi nó được xác định. Câu 5: [ 1 điểm] Tìm già trị lớn nhất của phân thức M=

Câu 6: [1 điểm] Tính:

4
x 2  4x  7

1 1 1    x  y y  z  y  z z x  z x x  y

ĐỀ SỐ 4

Câu 1: [ 2 đ ] : Rút gọn các phân thức sau
a]

16 x 2  1
16 x 2  8 x  1

b]

4 x 2  4 xy  y 2
y 2  4 x2

Câu 2: [ 3 đ] : Thực hiện phép tính

3a  a  3 1 a 2   a3  1 a2  a  1 1  a

2

a/

b/

xy x3 x 

x  y x2  y 2

Câu 3: [ 2 đ] : Thực hiện phép tính

y x3  xy 2  x y   2 .    x  y x  y 2  x 2  2 xy  y 2 x 2  y 2 

Câu 4: [ 3đ ] : Cho biểu thức

8 x 1  x2 1  2x 1  2  . B=   x 1 x 1 x  1  5 a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức B

b/ Rút gọn biểu thức B, và chứng tỏ B > 0 với mọi x

 1

ĐỀ SỐ 5 Câu 1: [2 điểm]. Rút gọn phân thức: 6 x2 y 2 x 2  xy a] b ] 8 xy 5 5 xy  5 y 2 Câu 2: [3 điểm]. Thực hiện các phép tính: y 2y 6 x3 [2 y  1] 15  a] b]  3 3x 3x 5y 2 x [2 y  1] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

c]

nguồn tham khảo: internet

4x – 1 7x – 1 3x 2 y 3x 2 y

Trang 59

TOÁN HỌC

LỚP 8

Câu 3: [2 đ]. Biến đổi biểu thức sau thành một phân thức: 2 2 a] 2  b] 2  2 x 2 x 4x  4 Câu 4: [3 điểm]. Cho phân thức 2x 2  2 a/ Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định. b/ Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 2 .

c/ Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị là số nguyên.

ĐỀ SỐ 6
Câu 1: [ 4 điểm]: Thực hiện các phép tính sau:

4x  1 2x  3 a]  3x

6x

x2  y 2 x  y : b]

6 x 2 y 2 3 xy

x 1 x 1 4   2 c]

x 1 x 1 x 1

x 3 y  xy3 : x2  y2 d] 4

x y





Câu 2: [2 điểm]: Rút gọn biểu thức Q với x  5; và x  – 5 1  2x  1 Q  : 2

 x  5 x  5  x  25

Câu 3 [4 điểm]: Cho phân thức

3x  3
x2  1

a] Tìm điều kiện của x để giá trị phân thức được xác định. b] Rút gọn phân thức trên.

c] Tìm x để phân thức có giá trị bằng -2.

ĐỀ SỐ 7 Câu 1[ 4 điểm]: Thực hiện các phép tính sau:

a]

4x  1 2x  3  3x

6x

x2  y 2 x  y : b] 6 x 2 y 2 3 xy Câu 2[2 điểm]: Rút gọn biểu thức Q với x  5; và x  – 5 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 60

TOÁN HỌC

LỚP 8

1  2x  1 Q  : 2

 x  5 x  5  x  25

Câu 3 [4 điểm]: Cho phân thức

3x  3
x2  1

a, Tìm điều kiện của x để giá trị phân thức được xác định. b, Rút gọn phân thức trên.

c, Tìm x để phân thức có giá trị bằng -2.

ĐỀ SỐ 8 Bài 1 : [ 3 đ ] : Rút gọn các phân thức sau

a/

16 x 2  1
16 x 2  8 x  1

4 x 2  4 xy  y 2
y 2  4 x2

b/

Bài 2 : [ 3 đ] : Thực hiện phép tính

a/

3a 2  a  3 1 a 2   a3  1

a2  a  1 1  a

b/

xy x3 x 

x  y x2  y 2

Bài 3 [ 3đ] : Thực hiện phép tính

y x3  xy 2  x y   2 .    x  y x  y 2  x 2  2 xy  y 2 x 2  y 2 

Bài 4[ 1đ ] : Cho biểu thức

8 x 1  x2 1  2x 1  2  . B=   x 1 x 1 x  1  5 a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức B

b/ Rút gọn biểu thức B, và chứng tỏ B > 0 với mọi x

 1

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình bậc nhất một ẩn: Định nghĩa: PT bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó a, b là hai số tùy ý và a ≠ 0. VẤN ĐỀ I. Chứng minh một số là nghiệm của một phương trình Giá trị x0 gọi là nghiệm của phương trình A[x] = B[x] nếu A[x0] = B[x0]. Một phương trình có thể có 1, 2, 3 …nghiệm, cũng có thể vô nghiệm Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 61

TOÁN HỌC

LỚP 8

hoặc vô số nghiệm. Giải phương trình là tìm tập hợp nghiệm của phương trình đó. Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:

• x0 là nghiệm của phương trình A[ x]  B[ x]  A[ x0 ]  B[ x0 ]

• x0 không là nghiệm của phương trình A[ x]  B[ x]  A[ x0 ]  B[ x0 ]
Bài 1: Xét xem x0 có là nghiệm của phương trình hay không?

c] 3x  5  5x  1;

x0  2

d] 2[ x  4]  3  x ;

3 2

x0  2

e] 7  3x  x  5 ;

x0  4

f] 2[ x  1]  3x  8 ;

x0  2

g] 5x  [ x  1]  7 ;

x0  1

h] 3x  2  2x  1 ;

x0  3

a] 3[2  x]  1  4  2x ; x0  2

b] 5x  2  3x  1;

x0 

Bài 2: Xét xem x0 có là nghiệm của phương trình hay không?

x0  2

a] x2  3x  7  1  2x ; x0  2

b] x2  3x  10  0 ;

c] x2  3x  4  2[ x  1] ; x0  2

d] [ x  1][ x  2][ x  5]  0 ;

e] 2×2  3x  1  0 ;

x0  1

f] 4×2  3x  2x  1 ; x0  5

x0  1

Bài 3: Tìm giá trị k sao cho phương trình có nghiệm x0 được chỉ ra:
a] 2x  k  x –1;

x0  2

b] [2x  1][9x  2k] – 5[ x  2]  40 ; x0  2

c] 2[2x  1]  18  3[ x  2][2x  k] ; x0  1

d] 5[k  3x][ x  1] – 4[1  2x]  80 ;

x0  2

VẤN ĐỀ II. Số nghiệm của một phương trình Phương pháp: Dùng mệnh đề sau: • Phương trình A[ x]  B[ x] vô nghiệm  A[ x]  B[ x], x • Phương trình A[ x]  B[ x] có vô số nghiệm  A[ x]  B[ x], x Bài 1. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm: a] 2x  5  4[ x  1]  2[ x  3] b] 2x  3  2[ x  3] c] x  2  1 d] x2  4x  6  0 Bài 2. Chứng tỏ rằng các phương trình sau có vô số nghiệm: a] 4[ x  2]  3x  x  8 b] 4[ x  3]  16  4[1  4x]

c] 2[ x  1]  2x  2

d] x  x

e] [ x  2]2  x2  4x  4 f] [3  x]2  x2  6x  9 Bài 3. Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nhiều hơn một nghiệm:

a] x2  4  0

b] [ x  1][ x  2]  0

c] [ x  1][2  x][ x  3]  0

d] x2  3x  0

e] x  1  3

f] 2x  1  1

VẤN ĐỀ III. Chứng minh hai phương trình tương đương Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta có thể sử dụng một trong các cách sau: • Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm. • Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này thành phương trình kia. • Hai qui tắc biến đổi phương trình: – Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 62

TOÁN HỌC

LỚP 8

vế kia và đổi dấu hạng tử đó. – Qui tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. Bài 1. a] c]

Bài 2.

Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không? b] x  3  0 và 3x  9  0 3x  3 và x  1  0 [ x  2][ x  3]  0 d] 2x  6  0 và x[ x  3]  0 x  2  0 và

Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?

a] x2  2  0 và x[ x2  2]  0 x c] x  2  0 và 0

x2

b] x  1  x và x2  1  0 1 1 d] x2   x  và x2  x  0 x

x

e] x  1  2 và [ x  1][ x  3]  0

f] x  5  0 và [ x  5][ x2  1]  0

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương trình bậc nhất một ẩn: Định nghĩa: PT bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó a, b là hai số tùy ý và a ≠ 0. Phương pháp giải: – Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương: + Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kí và đổi dấu hạng tử đó. + Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. – Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất b x=a – Phương trình ax + b = 0 được giải như sau: ax + b = 0  ax = – b -b x= a -b Tập nghiệm S =  a    Ví dụ: Giải các phương trình sau: a] 3x – 9 = 0 + Chuyển – 9 từ vế trái sang vế phải đồng thời đổi dấu, ta được 3x = 9 1 1 1 + Nhân cả 2 vế với , ta được 3x . = 9. 3 3 3  x=3 3 { } Vậy tập nghiệm của phương trình là S = b] – 7x + 15 = 0  – 7x = -15 -15  x= -7 15 x= 7 15 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  7    VẤN ĐỀ I. Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất Phương pháp chung: – Quy đồng mẫu hai vế Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 63

TOÁN HỌC

LỚP 8

– Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu – Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia. – Thu gọn về dạng ax + b = 0 và giải. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a] 2x – [ 5 – 3x ] = 3 [ x + 2 ] b] 5x-2 3-5x +x=1+ 3 2 5x-2+3x 2+3-5x  2x – 5 + 3x = 3x + 6  = 3 2 5x-2+3x 2+3-5x  2x + 3x – 3x = 6 + 5  .6= .6 3 2  2x = 11  2. [ 8x – 2 ] = 3. [ 5 – 5x ] 11  x=  16x – 4 = 15 – 15x 2  16x + 15x = 15 + 4  11  Phương trình có tập nghiệm S     31x = 19 2 19  x= 31 19 Phương trình có tập nghiệm S = 31





Trường hợp phương trình thu gọn có hệ số của ẩn bằng 0 + Dạng 1: 0x = 0 + Dạng 2: 0x = c [ c ≠ 0 ] Phương trình có vô số nghiệm Phương trình vô nghiệm S=R S= Ví dụ: Giải phương trình: 1 1 a] 2[ x + 3 ] = 2[ x – 4 ] + 14 b] 2[ x – ] + 4[1 – x] = 1 2 2  2x + 6 = 2x – 8 + 14  2x – 1 + 4 – 2x = 1  2x – 2x = -8 + 14 – 6  2x – 2x = 1 + 1 – 4  0x = 0  0x = -2 Phương trình có vô số nghiệm Phương trình vô nghiệm S=R S= Sai lầm của học sinh giáo viên cần sửa: -2 Sau khi biến đổi phương trình đưa về dạng 0x = -2  x = = 0 0 Nâng cao: Giải và biện luận phương trình: mx+5 x+m m + = [ 1] 10 4 20 Giải: mx+5 x+m m PT [ 1 ]  . 20 + . 20 = . 20 10 4 20  2[ mx + 5 ] + 5 [ x + m ] = m  2mx + 10 + 5x + 5m = m  [ 2m + 5]x = m – 5m -10  [ 2m + 5] x = -2[ 2m +5 ] -5 + Nếu 2m + 5 ≠ 0  m ≠ , phương trình có nghiệm x = -2 2 -5 + Nếu 2m + 5 = 0  m = , phương trình có dạng 0x = 0 hay phương trình có vô số nghiệm. 2 -5 Kết luận: + Với m ≠ , tập nghiệm của phương trình là S = {-2} 2 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 64

TOÁN HỌC

LỚP 8

-5 , tập nghiệm của phương trình là S = R 2 Nhận xét: Phương trình [1] gọi là phương trình chứa tham số m Sau khi thu gọn về dạng ax + b = 0 hoặc ax = -b, ta phải biện luận 2 trường hợp: -b + Trường hợp a ≠ 0: phương trình có một nghiệm x = a + Trường hợp a = 0, ta xét tiếp: nếu b ≠ 0, phương trình vô nghiệm Nếu b = 0, PT vô số nghiệm BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình sau: a] 4x –10  0 b] 7–3x  9  x c] 2x – [3 – 5x]  4[ x  3] d] 5  [6  x]  4[3  2x] e] 4[ x  3]  7x  17 f] 5[ x  3]  4  2[ x  1]  7 g] 5[ x  3]  4  2[ x  1]  7 h] 4[3x  2]  3[ x  4]  7x  20 13 5 5 ĐS: a] x  b] x  1 c] x  5 d] x  e] x  f] x  8 2 11 9 g] x  8 h] x  8 Bài 2. Giải các phương trình sau: a] [3x  1][ x  3]  [2  x][5  3x] b] [ x  5][2x  1]  [2x  3][ x  1] c] [ x  1][ x  9]  [ x  3][ x  5] d] [3x  5][2x  1]  [6x  2][ x  3]

+ Với m =

e] [ x  2]2  2[ x  4]  [ x  4][ x  2] 13 1 ĐS: a] x  b] x  c] x  3 5 19

Bài 3. Giải các phương trình sau:

f] [ x  1][2x  3]  3[ x  2]  2[ x  1]2 1 d] x  e] x  1 f] vô nghiệm

33

a] [3x  2]2  [3x  2]2  5x  38

b] 3[ x  2]2  9[ x  1]  3[ x2  x  3]

c] [ x  3]2  [ x  3]2  6x  18

d] [ x –1]3 – x[ x  1]2  5x[2 – x] –11[ x  2]

e] [ x  1][ x2  x  1]  2x  x[ x  1][ x  1]

f] [ x – 2]3  [3x –1][3x  1]  [ x  1]3 10 d] x  7 e] x  1 f] x 

9

ĐS: a] x  2

b] x  2

c] x  3

Bài 4. Giải các phương trình sau: x 5x 15x x a]    5 3 6 12 4 x  1 x  1 2x  13 c]   0 2 15 6 3[5x  2] 7x e] 2  5[ x  7] 4 3 x  3 x 1 x  7 g]   1 11 3 9 30 ĐS: a] x  b] x  0 c] x  16 7 28 6 g] x   h] x   19 31 Bài 5. Giải các phương trình sau: 2x  1 x  2 x  7 a]   5 3 15 2[ x  5] x  12 5[ x  2] x c]     11 3 2 6 3 2[ x  3] x  5 13x  4 e]   7 3 21 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

8x  3 3x  2 2x  1 x  3    4 2 2 4 3[3  x] 2[5  x] 1  x d]   2 8 3 2 x  5 3  2x 7 x f]   x 2 4 6 3x  0,4 1,5  2x x  0,5 h]   2 3 5

b]

d] x  11

e] x  6

f] x 

53
10

x  3 x 1 x  5   1 2 3 6 x  4 3x  2 2x  5 7x  2 d]  x  5 10 3 6 3x  1  1  4x  9 x   f] 2  4 8

b]

nguồn tham khảo: internet

Trang 65

TOÁN HỌC
ĐS: a] x tuỳ ý

LỚP 8
b] x tuỳ ý

c] x tuỳ ý

d] vô nghiệm e] vô nghiệm f] vô nghiệm

Bài 6. Giải các phương trình sau:

[ x  2][ x  10] [ x  4][ x  10] [ x  2][ x  4]   3 12 4 2 2 [2x  3][2x  3] [ x  4] [ x  2] c]   8 6 3

a]

[ x  2]2 [ x  2]2  2[2x  1]  25  8 8 2 2 7x  14x  5 [2x  1] [ x  1]2 d]   15 5 3

b]

[7x  1][ x  2] 2 [ x  2]2 [ x  1][ x  3]    10 5 5 2 123 19 1 ĐS: a] x  8 b] x  9 c] x  d] x  e] x  64 12 15 Bài 7. Giải các phương trình sau: [Biến đổi đặc biệt] x 1 x  3 x  5 x  7 a] [HD: Cộng thêm 1 vào các hạng tử]    35 33 31 29 x  10 x  8 x  6 x  4 x  2 b] [HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử]      1994 1996 1998 2000 2002 x  2002 x  2000 x  1998 x  1996 x  1994      2 4 6 8 10 x  1991 x  1993 x  1995 x  1997 x  1999 c]      9 7 5 3 1 x  9 x  7 x  5 x  3 x 1 [HD: Trừ đi 1 vào các hạng tử]      1991 1993 1995 1997 1999 x  85 x  74 x  67 x  64 d] [Chú ý: 10  1 2  3  4 ]     10 15 13 11 9 x  1 2x  13 3x  15 4x  27 e] [HD: Thêm hoặc bớt 1 vào các hạng tử]    13 15 27 29 ĐS: a] x  36 b] x  2004 c] x  2000 d] x  100 e] x  14 . Bài 8. Giải các phương trình sau: [Biến đổi đặc biệt] x  29 x  27 x  17 x  15 x 1 x  3 x  5 x  7 a] b]       65 31 63 33 61 43 59 45 x  6 x  8 x  10 x  12 1909  x 1907  x 1905  x 1903  x c] d]       4 0 1999 1997 1995 1993 91 93 95 91 x  29 x  27 x  25 x  23 x  21 x  19 e]       1970 1972 1974 1976 1978 1980 x  1970 x  1972 x  1974 x  1976 x  1978 x  1980       29 27 25 23 21 19 ĐS: a] x  66 b] x  60 c] x  2005 d] x  2000 e] x  1999 . VẤN ĐỀ II. Phương trình tích Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A[x].B[x]…M[x] = 0 Trong đó A[x], B[x], …, M[x] là các đa thức biến x Để giải phương trình tích, ta áp dụng công thức:  A[ x]  0 A[ x].B[ x]  A[ x]  0 hoặc B[ x]  0    B[ x]  0 Ta giải hai phương trình A[ x]  0 và B[ x]  0 , rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

e]

Ví dụ: Giải các phương trình sau: a] [ 3x – 2][ 4x + 5] = 0  3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

b] 2x[ x-3 ] + 5[ x – 3 ] = 0  [ x – 3 ][ 2x + 5 ] = 0

nguồn tham khảo: internet

Trang 66

TOÁN HỌC

LỚP 8

2 3 -5 +] 4x + 5 = 0  x = 4

+] 3x – 2 = 0  x =

 x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0
+] x – 3 = 0  x = 3

2 -5 Vậy tập nghiệm của pt S = 3; 4 



+] 2x + 5 = 0  x =



-5
2

-5  Vậy tập nghiệm của pt S =  2 ;3





BÀI TẬP Giải các phương trình sau: [5x  4][4x  6]  0 [4x  10][24  5x]  0 [5x  10][8  2x]  0 4 3 ĐS: a] x  ; x   b] x  2; x  3 5 2 e] x  2; x  4 f] x  3; x  5 Bài 2. Giải các phương trình sau: Bài 1. a] c]

e]

b] [3,5x  7][2,1x  6,3]  0 d] [ x  3][2x  1]  0 f] [9  3x][15  3x]  0 5 5 1 c] x  ; x   d] x  3; x   2 24

2

b] [ x2  4][7x  3]  0

a] [2x  1][ x2  2]  0

d] [8x  4][ x2  2x  2]  0

c] [ x2  x  1][6  2x]  0 3 1 ĐS: a] x   b] x  7 2 Bài 3. Giải các phương trình sau: a] [ x  5][3  2x][3x  4]  0 c] [2x  1][ x  3][ x  7]  0

e] [ x  1][ x  3][ x  5][ x  6]  0

c] x  3

d] x 

1
2

b] [2x  1][3x  2][5  x]  0 d] [3  2x][6x  4][5  8x]  0

f] [2x  1][3x  2][5x  8][2x  1]  0

1   3 2 5 1 2  b] S   ;  ;  5 c] S   ;3;  7 d] S   ;  ;  2   2 3 8 2 3   1 2 8 1 e] S  1;  3;  5;6 f] S   ; ; ;   2 3 5 2 Bài 4. Giải các phương trình sau: a] [ x  2][3x  5]  [2x  4][ x  1]

b] [2x  5][ x  4]  [ x  5][4  x]

 3 4 ĐS: a] S  5; ;  

 2 3

d] 2[9×2  6x  1]  [3x  1][ x  2]

c] 9×2  1  [3x  1][2x  3]

f] 16×2  8x  1  4[ x  3][4x  1] 1 1 4 ĐS: a] x  2; x  3 b] x  0; x  4 c] x   ; x  2 d] x   ; x   3 3 5 1 4 e] x  0; x  3; x  f] x  4 9 Bài 5. Giải các phương trình sau:

e] 27×2[ x  3]  12[ x2  3x]  0

a] [2x  1]2  49

b] [5x  3]2  [4x  7]2  0

c] [2x  7]2  9[ x  2]2

d] [ x  2]2  9[ x2  4x  4]

e] 4[2x  7]2  9[ x  3]2  0

f] [5×2  2x  10]2  [3×2  10x  8]2 13 c] x  1; x   d] x  1; x  4

5

ĐS: a] x  4; x  3
e] x  5; x  

23
7

10 9 1 f] x  3; x   2

b] x  4; x 

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 67

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 6. Giải các phương trình sau:
a] [9×2  4][ x  1]  [3x  2][ x2  1]

b] [ x  1]2  1  x2  [1  x][ x  3]

c] [ x2  1][ x  2][ x  3]  [ x  1][ x2  4][ x  5] d] x4  x3  x  1  0
f] x4  4×3  12x  9  0

e] x3  7x  6  0

g] x5  5×3  4x  0 h] x4  4×3  3×2  4x  4  0 2 7 1 ĐS: a] x   ; x  1; x  b] x  1; x  1 c] x  1; x  2; x  3 5 2 d] x  1 e] x  1; x  2; x  3 f] x  1; x  3 g] x  0; x  1; x  1; x  2; x  2 h] x  1; x  1; x  2 Bài 7. Giải các phương trình sau: [Đặt ẩn phụ]

a] [ x2  x]2  4[ x2  x]  12  0

b] [ x2  2x  3]2  9[ x2  2x  3]  18  0

c] [ x  2][ x  2][ x2  10]  72

d] x[ x  1][ x2  x  1]  42

e] [ x  1][ x  3][ x  5][ x  7]  297  0 f] x4  2×2  144x  1295  0 ĐS: a] x  1; x  2 b] x  0; x  1; x  2; x  3 c] x  4; x  4 d] x  2; x  3 e] x  4; x  8 f] x  5; x  7 VẤN ĐỀ III. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Định nghĩa:

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng:

A[x] C[x] =

B[x] D[x]

Trong đó A[x]; B[x]; C[x]; D[x] là các đa thức biến x Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình, rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được. Bước 4: [Kết luận] Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ: Giải các phương trình: x+3 5x+3 [1] a] = x 5x-1

+] ĐKXĐ của phương trình: x ≠ 0 và 5x -1 ≠ 0

 x ≠ 0 và x ≠

1
5

[5x-1][x+3] x[5x-3] = x[5x-1] x[5x-1]  [5x – 1][ x + 3] = x[ 5x -3 ]  5×2 + 14x – 3 = 5×2 + 3x  5×2 + 14x – 5×2 – 3x = 3  11x = 3 3 x= 11 3 3 Ta thấy x = thõa mãn ĐKXĐ của pt nên tập nghiệm của [1] là S = 11 11   x+1 x-1 x-1 [2] b] =3x[ 1 ] x-1 x+1 x+1 +] ĐKXĐ của phương trình: x -1 ≠ 0 và x + 1 ≠ 0  x ≠1 và x ≠ -1 Quy đồng và khử mẫu ta được: PT[2]  [x + 1]2 – [x – 1]2 = 3x[ x – 1][ x+1 – x + 1 ]  x2 + 2x + 1 – x2 + 2x – 1 = 6x [ x – 1 ]

PT [1]



Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 68

TOÁN HỌC

LỚP 8

 4x = 6×2 – 6x  6×2 – 10 = 0  2x[ 3x – 5 ] = 0  2x = 0 hoặc 3x – 5 = 0 5  x = 0 hoặc x = 3 5 Ta thấy x = 0 và x = thõa mãn ĐKXĐ của phương trình [2]. 3  5 Vậy tập nghiệm của [2] là S = 0;3   BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình sau: 4x  3 29 2x  1 4x  5 x a] b] c]  2  2 x5 3 5  3x x 1 x 1 12x  1 10x  4 20x  17 2x  5 7 x 3 d] e] f]     0 11x  4 x2 x5 2x 9 x5 18 136 11 41 ĐS: a] x  b] x  c] x  3 d] x  17 4 8 5 e] x   f] x  2 3 Bài 2. Giải các phương trình sau: 11 14 2 x 9 3 2 5 a] b]      3x  12 x  4 8  2x 6 x x 1 x  4 x5 12 x  25 1  3x 1  3x x5     c] d] 1  9×2 1  3x 1  3x x2  5x 2×2  50 2×2  10x  x  1 x 1 x 1 x 1 x 1 16 1 [ x  2]     e] f]   x  1 x 1 x 1 x  1 x  1 x2  1  ĐS: a] x  44 b] x  5 c] x  1 d] vô nghiệm e] x  4 f] x  3 Bài 3. Giải các phương trình sau: 2 6x  1 x 1 5 x4 3     0 a] 2 b] 2 x  4 x[ x  2] x[ x  2] x  7x  10 x  2 x  5

c]

1 1 x [ x  1]2   

3  x x  1 x  3 x2  2 x  3

2 2×2  16 5   e] 3 2 x2 x 8 x  2x  4 9 ĐS: a] x  b] vô nghiệm 4 5 e] vô nghiệm f] x   4 Bài 4. Giải các phương trình sau: 8 11 9 10 a]    x  8 x  11 x  9 x  10 4 3  1 0 c] 2 2

x  3x  2 2x  6x  1

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

d]

1 6 5  

x  2 x  3 6  x2  x

x 1

x 1

2[ x  2]2

  x2  x  1 x2  x  1 x6  1 3 c] x  d] x  4

5

f]

x x x x    x3 x5 x4 x6 1 2 3 6 d]    x 1 x  2 x  3 x  6

b]

nguồn tham khảo: internet

Trang 69

TOÁN HỌC
ĐS: a] x  0; x 

LỚP 8 19

2

b] x  0; x 

9
2

c] x  0; x  3

6 12 d] x  ; x  5

5

III. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Các bước giải toán bằng cách lập phương trình: Bước 1: Lập phương trình – Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. – Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết. – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. VẤN ĐỀ I. Loại so sánh Trong đầu bài thường có các từ: – nhiều hơn, thêm, đắt hơn, chậm hơn, …: tương ứng với phép toán cộng. – ít hơn, bớt, rẻ hơn, nhanh hơn, …: tương ứng với phép toán trừ. – gấp nhiều lần: tương ứng với phép toán nhân. – kém nhiều lần: tương ứng với phép toán chia. Bài 1. Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng –87. ĐS: 18;  17 . Bài 2. Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số là 8. Nếu thêm 2 đơn vị vào tử số và bớt mẫu số đi 3 3 đơn vị thì ta được phân số bằng . Tìm phân số đã cho. 4 7 ĐS: 15 Bài 3. Tổng của 4 số là 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chi cho 2 thì bốn kết quả đó bằng nhau. Tìm 4 số ban đầu. ĐS: 8; 12; 5; 20. Bài 4. Thương của hai số là 3. Nếu tăng số bị chia lên 10 và giảm số chia đi một nửa thì hiệu của hai số mới là 30. Tìm hai số đó. ĐS: 24; 8. 1 Bài 5. Một đội công nhân sửa một đoạn đường trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đội sửa được đoạn 3 4 đường, ngày thứ hai đội sửa được một đoạn đường bằng đoạn được làm được trong ngày 3 thứ nhất, ngày thứ ba đội sửa 80m còn lại. Tính chiều dài đoạn đường mà đội phải sửa. ĐS: 360m. Bài 6. Hai phân xưởng có tổng cộng 220 công nhân. Sau khi chuyển 10 công nhân ở phân xưởng 1 2 4 sang phân xưởng 2 thì số công nhân phân xưởng 1 bằng số công nhân phân xưởng 2. 3 5 Tính số công nhân của mỗi phân xưởng lúc đầu. ĐS: Phân xưởng 1 có 120 công nhân, phân xưởng 2 có 90 công nhân. Bài 7. Hai bể nước chứa 800 lít nước và 1300 lít nước. Người ta tháo ra cùng một lúc ở bể thứ nhất 2 15 lít/phút, bể thứ hai 25 lít/phút. Hỏi sau bao lâu số nước ở bể thứ nhất bằng số nước ở bể 3 thứ hai? ĐS: 40 phút. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 70

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 8. Trước đây 5 năm, tuổi Dung bằng nửa tuổi của Dung sau 4 năm nữa. Tính tuổi của Dung hiện nay. ĐS: 14 tuổi. Bài 9. Tìm một số có chữ số hàng đơn vị là 2, biết rằng nếu xoá chữ số 2 đó thì số ấy giảm đi 200. ĐS: 222. Bài 10. Gia đình Đào có 4 người: bố, mẹ, bé Mai và Đào. Tuổi trung bình của cả nhà là 23. Nếu 9 viết thêm chữ số 0 vào bên phải tuổi bé Mai thì được tuổi của bố, tuổi của mẹ bằng tuổi 10 bố và gấp 3 lần tuổi của Đào. Tìm tuổi của mỗi người trong gia đình Đào. ĐS: Tuổi của bố, mẹ, bé Mai và Đào lần lượt là: 40, 36, 4, 12. Bài 11. Nhân ngày 1 tháng 6, một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi đội viên trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, đội trưởng đã đề xuất cách chia như sau: 1 – Bạn thứ nhất nhận một viên kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. 11 1 – Sau khi bạn thứ nhất lấy phần của mình, bạn thứ hai nhận 2 viên kẹo và được lấy thêm 11 số kẹo còn lại. 1 Cứ như thế đến bạn cuối cùng, thứ n, nhận n viên kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. 11 Hỏi phân đội đó có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu viên kẹo. ĐS: 10 đội viên, mỗi đội viện nhận 10 viên kẹo. Bài 12. Một người bán số sầu riêng thu hoạch được như sau: 1 – Lần thứ nhất bán 9 trái và số sầu riêng còn lại. 6 1 – Lần thứ hai bán 18 trái và số sầu riêng còn lại mới. 6 1 – Lần thứ ba bá 27 trái và số sầu riêng còn lại mới, v.v… 6 Với cách đó thì bán lần sau cùng là vừa hết và số sầu riêng bán mỗi lần đều bằng nhau. Hỏi người đó đã bán bao nhiêu lần và số sầu riêng thu hoạch được là bao nhiêu trái? ĐS: 225 trái, bán 5 lần. Bài 13. Ba lớp A, B, C góp sách tặng các bạn học sinh vùng khó khăn, tất cả được 358 cuốn. Tỉ số 6 7 số cuốn sách của lớp A so với lớp B là . Tỉ số số cuốn sách của lớp A so với lớp C là . 10 11 Hỏi mỗi lớp góp được bao nhiêu cuốn sách? ĐS: Lớp A: 84 cuốn; lớp B: 154 cuốn; lớp C: 120 cuốn. Bài 14. Dân số tỉnh A hiện nay là 612060 người. Hàng năm dân số tỉnh này tăng 1%. Hỏi hai năm trước đây dân số của tỉnh A là bao nhiêu? ĐS: 600000 người. Bài 15. Trong một trường học, vào đầu năm học số học sinh nam và nữ bằng nhau. Nhưng trong học kì 1, trường nhận thêm 15 học sinh nữ và 5 học sinh nam nên số học sinh nữ chiếm 51% số học sinh của trường. Hỏi cuối học kì 1, trường có bao nhiêu học sinh nam, học sinh nữ? ĐS: 245 nam, 255 nữ.

VẤN ĐỀ II. Loại tìm số gồm hai, ba chữ số

• Số có hai chữ số có dạng: xy  10x  y . Điều kiện: x, y  N ,0  x  9,0  y  9 . • Số có ba chữ số có dạng: xyz  100x  10y  z. Điều kiện: x, y, z N ,0  x  9,0  y, z  9 . Loại toán tìm hai số. + Hướng dẫn học sinh trong dạng bài này gồm các bài toán như: – Tìm hai số biết tổng hoặc hiệu, hoặc tỉ số của chúng. – Toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tính tuổi cha và con, tìm số công nhân mỗi phân xưởng. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 71

TOÁN HỌC

LỚP 8

– Toán tìm số dòng một trang sách, tìm số dãy ghế và số người trong một dãy. + Hướng dẫn học sinh lập bảng như sau: 1.Toán tìm hai số biết tổng hoặc hiệu hoặc tỉ số. Bài toán 1: Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm hai số đó. Phân tích bài toán: Có hai đại lượng tham gia vào bài toán, đó là số bé và số lớn. Nếu gọi số bé là x thì số lớn biểu diễn bởi biểu thức nào? x Yêu cầu học sinh điền vào các ô trống còn lại ta có thương thứ nhất là 7 , thương thứ hai là x  12 5 Giá trị Thương x Số bé x 7 x  12 Số lớn x + 12 5 Lời giải: Gọi số bé là x. Số lớn là: x +12. x . 7 x  12 Chia số lớn cho 5 ta được thương là: 5 Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình: x  12 x – =4 7 5 Giải phương trình ta được x = 28 Vậy số bé là 28. Số lớn là: 28 +12 = 40. Bài toán 2: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm hai đơn vị thì được 1 phân số . Tìm phân số đã cho.

2

Chia số bé cho 7 ta được thương là :

Hướng dẫn hs bằng cách đặt lần lượt các câu hỏi: – Để tìm phân số đã cho, ta phải tìm các thành phần nao? [ tử và mẫu ] – Biết tử số, có thể tìm được mẫu số và ngược lại? – Sau khi tăng cả tử và mẫu 2 đơn vị ta có phân số mới nào ? Như vậy, có thể chon ẩn là tử hoặc mẫu của phân số Giải Gọi tử của phân số đã cho là x [ x ≠ 0] thì mẫu của phân số đó là x + 2 Tăng tử thêm 2 đơn vị thì ta được tử mới là: x + 2 Tăng mẫu thêm 2 đơn vị thì được mẫu mới là: x + 3 + 2 = x +5 x+2 1 Theo bài ra ta có phương trình : = x+5 2 ĐKXĐ: x ≠ -5  2[ x + 2 ] = x + 5  2x – x = 5 – 4 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 72

TOÁN HỌC

LỚP 8

 x = 1 [ thõa mãn mãn điều kiện] 1 1 Vậy phân số đã cho là = 1+3 4 Bài toán 3: Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số đó. Hướng dẫn: Chữ số hàng Chữ số hàng Phương trình Giá trị chục đơn vị Số đã cho 3x x 10.3x + x 10.3x + x -18 = 10.x + 3x Số mới x 3x 10.x + 3x Giải: Gọi chữ số hàng đơn vị của số phải tìm là x [ x  N và 0 < x  3 ] Thì chữ số hàng chục là 3x Số đã cho là 10.3x + x Số mới sau khi đổi vị trí là : 10.x + 3x Theo bài ra ta có phương trình: 10.3x + x -18 = 10.x + 3x Giải phương trình: 10.3x + x -18 = 10.x + 3x  31x – 18 = 13x  31x – 13x = 18  18x = 18  x=1 Kiểm tra thấy x = 1 thõa mãn điều kiện. Vậy số cần tìm là 13 Lưu ý: Đối với dạng toán liên quan đến số học, yêu cầu hs hiểu mối quan hệ giữa các đại lượng như hàng chục, hàng trăm,…biểu diễn được dạng chính tắc của nó: ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c Khi đổi chỗ các chữ số, hoặc thêm bớt các chữ số, ta cũng biểu diễn tương tự 2. Toán về tìm số sách trong mỗi giá sách, tìm tuổi, tìm số công nhân của phân xưởng. Bài toán 2 Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau. Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện. Phân tích bài toán: Có hai đối tượng tham gia vào bài toán: Thư viện 1 và thư viện 2. Nếu gọi số sách lúc đầu của thư viện 1 là x, thì có thể biểu thị số sách của thư viện hai bởi biểu thức nào? Số sách sau khi chuyển ở thư viện 1, thư viện 2 biểu thị như thế nào? Số sách lúc đầu Số sách sau khi chuyển Thư viện 1 x x – 3000 Thư viện 2 15000 – x [15000 – x] + 3000 Lời giải: Gọi số sách lúc đầu ở thư viện I là x [cuốn], x nguyên, dương. Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 – x [cuốn] Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là: x – 3000 [cuốn] Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là: [15000 – x]+ 3000 = 18000-x [cuốn] Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta có phương trình: x – 3000 = 18000 – x Giải phương trình ta được: x = 10500 [thỏa mãn điều kiện]. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 73 TOÁN HỌC LỚP 8 Vậy số sách lúc đầu ở thư viện I là 10500 cuốn. Số sách lúc đầu ở thư viện II là: 15000 – 10500 = 4500 cuốn. Bài toán 3: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11. Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay. Phân tích bài toán: Có hai đối tượng tham gia trong bài toán, đó là xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2. Nếu gọi số công nhân của xí nghiệp 1 là x, thì số công nhân của xí nghiệp 2 biểu diễn bằng biểu thức nào? Học sinh điền vào các ô trống còn lại và căn cứ vào giả thiết: Số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 để lập phương trình. Số công nhân Trước kia Sau khi thêm Xí nghiệp 1 x x + 40 4 4 x x Xí nghiệp 2 3 + 80 3 Lời giải: Cách 1: Gọi số công nhân xí nghiệp I trước kia là x [công nhân], x nguyên, dương. 4 Số công nhân xí nghiệp II trước kia là 3 x [công nhân]. Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: x_+ 40 [công nhân]. 4 Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: 3 x_+ 80 [công nhân]. Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình: 4 x  80 x  40 3  8 11 Giải phương trình ta được: x = 600 [thỏa mãn điều kiện]. Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: 600 + 40 = 640 công nhân. 4 Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: 3 .600 + 80 = 880 công nhân. Bài toán 4: Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất. Phân tích bài toán: Có hai đối tượng tham gia vào bài toán: người thứ nhất và người thứ hai, có 3 mốc thời gian: cách đây 10 năm, hiện nay và sau 2 năm.Từ đó hướng dẫn học sinh cách lập bảng. Tuổi Người I Hiện nay x Cách đây10 năm Sau 2 năm x – 10 x+2 x  10 x2 Người II 3 2 Nếu gọi số tuổi của người thứ nhất là x, có thể biểu thị số tuổi của người thứ nhất cách đây 10 năm và sau đây 2 năm. Sau đó có thể điền nốt các số liệu còn lại vào trong bảng. Sau đó dựa vào mối quan hệ về thời gian để lập phương trình. Lời giải: Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là x [tuổi], x nguyên, dương. Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là: x – 10 [tuổi]. x  10 Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là: [tuổi]. 3 Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là: x + 2 [tuổi]. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 74 TOÁN HỌC LỚP 8 x2 [tuổi]. 2 Theo bài ra ta có phương trình phương trình như sau: x  2 x  10   10  2 2 3 Giải phương trình ta được: x = 46 [thỏa mãn điều kiện]. Vậy số tuổi hiện nay của ngườ thứ nhất là: 46 tuổi. 46  2  2  12 tuổi. Số tuổi hiện nay của ngườ thứ hai là: 2 3. Dạng toán tìm số dãy ghế và số người trong một dãy. Bài toán 5: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế? Phân tích bài toán: Bài toán có hai tình huống xảy ra: Số ghế ban đầu và số ghế sau khi thêm. Nếu chọn số ghế lúc đầu là x, ta có thể biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và có thể điền được vào các ô trống còn lại. Dựa vào giả thiết: Mỗi dãy ghế phải kê thêm 2 người ngồi, ta có thể lập được phương trình: Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là: Số dãy ghế Lúc đầu x Sau khi thêm x+2 Số ghế của mỗi dãy 100 x 144 x2 Lời giải: Gọi số dãy ghế lúc đầu là x [ dãy], x nguyên dương. Số dãy ghế sau khi thêm là: x + 2 [dãy]. 100 Số ghế của một dãy lúc đầu là: [ghế]. x 144 Số ghế của một dãy sau khi thêm là: [ghế]. x2 Vì mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi nên ta có phương trình: 144 100  2 x2 x Giải phương trình ta được x=10 [thỏa mãn đk] Vậy phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế. BÀI TẬP Bài 1. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: – Tổng hai chữ số là 12 – Nếu đổi chỗ hai chữ số thì được một số mới lớn hơn số đó là 36. ĐS: 48 Bài 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: – Tổng hai chữ số là 10 – Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới nhỏ hơn số đó là 36. ĐS: 73 Bài 3. Một số tự nhiên có 5 chữ số. Nếu thêm chữ số 1 vào bên phải hay bên trái số đó ta được một số có 6 chữ số. Biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó thì được một số lớn gấp ba lần số nhận được khi ta viết thêm vào bên trái số đó. Tìm số đó. ĐS: 42857. Bài 4. Một số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số ta được một số có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số đó. ĐS: 31. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ Facebook, Zalo: 0972120800 nguồn tham khảo: internet Trang 75 TOÁN HỌC LỚP 8 Bài 5. Một số tự nhiên có hai chữ số có tổng các chữ số bằng 7. Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được một số có 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đó. ĐS: 25. VẤN ĐỀ III. Loại làm chung – làm riêng một việc • Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc, biểu thị bởi số 1. • Năng suất làm việc là phần việc làm được trong một đơn vị thời gian. Gọi A là khối lượng công việc, n là năng suất, t là thời gian làm việc. Ta có: A  nt . • Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm. VD 1: Hai đội công nhân làm chung 6 ngày thì xong công việc. Nếu làm riêng, đội 1 phải làm lâu hơn đội 2 là 5 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải mất bao lâu mới hoàn thành công việc. Hướng dẫn: 1 Hai đội làm chung trong 6 ngày xong công việc nên một ngày 2 đội làm được công việc 6 Lập phương trình theo bảng: Đội 1 Đội 2 Phương trình Số ngày làm riêng xong công x [ x > 5] x-5 1 1 1 việc + = 1 1 x x-5 6 Phần công việc x x-5 làm trong 1 ngày VD 2 :Moät soá töï nhieân coù hai chöõ soá .Chöõ soá haøng ñôn vò gaáp hai laàn chöõ soá haøng chuïc .Neáu theâm chöõ soá 1 xen vaøo giöõa hai chöõ soá aáy thì ñöôïc moät soá môùi lôùn hôn soá ban ñaàu laø 370 .Tìm soá ban ñaàu . Soá ban ñaàu laø 48 VD 3 :Moät toå saûn xuaát theo keá hoaïch moãi ngaøy phaûi saûn suaát 50 saûn phaåm .Khi thöïc hieän , moãi ngaøy toå ñaõ saûn xuaát ñöôïc 57 saûn phaåm .Do ñoù toå ñaõ hoaøn thaønh tröôùc keá hoaïch 1 ngaøy vaø coøn vöôït möùc 13 saûn phaåm .Hoûi theo keá hoaïch , toå phaûi saûn xuaát bao nhieâu saûn phaåm ? Naêng suaát 1 ngaøy [ Soá ngaøy [ngaøy] Soá saûn phaåm [saûn saûn phaåm phaåm ] /ngaøy ] Keá hoaïch x Thöïc hieän x x  13  1 Phöông trình : 50 57 d] Dạng toán về năng suất, tỉ số phần trăm: VD: Một xí nghiệp hợp đồng sản xuất một số tấm len trong 20 ngày, do năng suất làm việc vượt dự tính là 20% nên không những xí nghiệp hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày mà còn sản xuất thêm được 24 tấm len. Hỏi theo hợp đồng xí nghiệp phải dệt bao nhiêu tấm len? Hướng dẫn: Tổng sản Năng suất Phương trình phẩm x x x 20 x+24 Kế hoạch x [ x > 0] 20 + . = 20 20 100 18 [x+24] Thực tế x + 24 18 BÀI TẬP Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 76

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 1. Hai người cùng làm một công việc trong 24 giờ thì xong. Năng suất của người thứ nhất bằng 3 năng suất của ngwòi thứ hai. Hỏi nếu mỗi người làm một mình cả công việc thì phải mất 2 thời gian bao lâu? ĐS: 40 giờ; 60 giờ. Bài 2. Một bồn chứa có đặt hai vòi nước chảy vào và một vòi tháo nước ra. – Bồn trống không, nếu mở riêng vòi thứ nhất thì sau 4 giờ bồn đầy nước. – Bồn trống không, nếu mở riêng vòi thứ hai thì sau 6 giờ bồn đầy nước. – Bồn trống không, nếu đồng thời mở cả ba vòi thì sau 7 giờ 12 phút bồn đầy nước. Hỏi nếu bồn chứa đầy nước, mở riêng vòi tháo nước thì sau bao lâu sẽ tháo hết nước ra? ĐS: 3 giờ 36 phút. Bài 3. Một công nhân phải làm một số sản phẩm trong 18 ngày. Do đã vượt mức mỗi ngày 5 sản phẩm nên sau 16 ngày anh đã làm xong và làm thêm 20 sản phẩm nữa ngoài kế hoạch. Tính xem mỗi ngày anh đã làm được bao nhiêu sản phẩm. ĐS: 75 sản phẩm.

VẤN ĐỀ IV. Loại chuyển động đều

• Gọi d là quãng đường động tử đi, v là vận tốc, t là thời gian đi, ta có: d  vt . • Vận tốc xuôi dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dòng nước • Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước Loại toán chuyển động: Loại toán này có rất nhiều dạng, tuy nhiên có thể phân ra một số dạng thường gặp như sau: 1, Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều tuyến đường. 2,Toán chuyển động thường. 3,Toán chuyển động có nghỉ ngang đường. 4,Toán chuyển động ngược chiều. 5,Toán chuyển động cùng chiều. 6,Toán chuyển động một phần quãng đường. Hướng dẫn học sinh lập bảng từng dạng: – Nhìn chung mẫu bảng ở dạng toán chuyển động gồm 3 cột: Quãng đường, vận tốc, thời gian. – Các trường hợp xảy ra như: Quãng đường đầu, quãng đường cuối, nghỉ, đến sớm, đến muộn hoặc các đại lượng tham gia chuyển động đều được ghi ở hàng ngang. – Đa số các bài toán đều lập phương trình ở mối liên hệ thời gian. 1. Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều quãng đường. Bài toán 1: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 2h20′,ô tô đi hết 2h. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h. Tính vận tốc của ca nô và ô tô? Phân tích bài toán: Bài có hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nô và Ô tô.Hướng dẫn học sinh lập bảng gồm các dòng, các cột như trên hình vẽ. Cần tìm vận tốc của chúng. Vì thế có thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn x[x>0]. Từ đó điền các ô thời gian, quãn đường theo số liệu đã biết và công thức nêu trên. Vì bài toán đã cho thời gian nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường. t[h] v[km/h] S[km] 10 10x 3h20’= h Ca nô x 3 3 Ô tô 2 x+17 2[x+17] Công thức lập phương trình: Sôtô -Scanô = 10 Lời giải: Gọi vận tốc của ca nô là x km/h [x>0]. Vận tốc của ô tô là: x+17 [km/h]. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 77

TOÁN HỌC

LỚP 8

10 x [km]. 3 Quãng đường ô tô đi là: 2[x+17][km]. Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình: 10 x =10 2[x+17] 3 Giải phương trình ta được x = 18.[thỏa mãn đk]. Vậy vận tốc ca nô là 18km/h. Vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35[km/h]. Bài toán 2: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với vận tốc xác định. Khi đi từ B đến A, người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1h30′? S[km] v[km/h] t[h] 33 Lúc đi 33 x x 62 Lúc về 33+29 x+3

x3

Quãng đường ca nô đi là:

Hướng dẫn tương tự bài 6. 3 – Công thức lập phương trình: tvề – tđi =1h30′ [= h ]. 2 – Phương trình là: 62 33 3  

x3 x 2

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 78

TOÁN HỌC

LỚP 8

2. Chuyển động thường: Với các bài toán chuyển động dưới nước, yêu cầu học sinh nhớ công thức: . vxuôi = vthực + vnước . vngược = vthực – vnước Bài toán 3: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20′. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4km/h. v[km/h] S[km] t[h] Tàu: x Nước: 4 80 Xuôi 80 x+4 x4 80 Ngược 80 x-4 x4 Phân tích bài toán: Vì chuyển động dưới nước có vận tốc dòng nước nên cột vận tốc được chia làm hai phần ở đây gọi vận tốc thực của tàu là x km/h [x>4] 25 Công thức lập phương trình: t xuôi + t ngược + 8h20′ [  h ] 3 Lời giải: Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km/h [x>0] Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: x + 4 km/h Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x – 4 km/h 80 Thời gian tàu đi xuôi dòng là: h

x4

80 h x4 25 Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h 20′ = h nên ta có phương trình: 3

Thời gian tàu đi ngược dòng là:

80 80 25  

x4 x4 3

Giải phương trình ta được: x1 =

4 [loại] x2 = 20 [tmđk] Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là

5

20 km/h 3. Chuyển động có nghỉ ngang đường. Học sinh cần nhớ: .tdự định =tđi + tnghỉ .Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi Bài toán 4: Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về Hà nội kịp giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ. Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km. Phân tích bài toán: 163km 43km Hà nội Lạng sơn Vì Ôtô chuyển động trên những quãng đường khác nhau, lại có thời gian nghỉ, nên phức tạp. Giáo viên cần vẽ thêm sơ đồ đoạn thẳng để học sinh dễ hiểu, dễ tìm thấy số liệu để điền vào các ô của bảng. Giáo viên đặt câu hỏi phát vấn học sinh: Thời gian dự định đi? Thời gian đi quãng đường đầu, quãng đường cuối? Chú ý học sinh đổi từ số thập phân ra phân số cho tiện tính toán. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 79

TOÁN HỌC

LỚP 8
S[km]

v[km/h]

Lạng sơn- Hà nội

163

x

Sđầu

43

x

40′ 

Dừng
Scuối

t[h] 163 x 43

x

120

1,2x 

6 h

5

2 h

3

100
x

Công thức lập phương trình: tđầu + tdừng + tcuối = tdự định Lời giải: Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x km/h [x>0] Vận tốc lúc sau là 1,2 x km/h 163 Thời gian đi quãng đường đầu là: h x 100 Thời gian đi quãng đường sau là: h x Theo bài ra ta có phương trình 43 2 100 163    x 3 x x Giải phương trình ta được x = 30 [tmđk] Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h. Bài toán 5: Một Ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian dự định. Sau khi đi được 1h Ôtô bị chắn bởi xe hỏa 10 phút. Do đó để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc lên 6km/h. tính vận tốc của Ôtô lúc đầu. S[km] v[km/h] t[h] 120 SAB 120 x x Sđầu x x 1 1 10′  h Nghỉ 6 120  x Ssau 120-x x+6 x6 Hướng dẫn tương tự bài 9. Công thức lập phương trình: tđi + tnghỉ = tdự định Phương trình của bài toán là: 1 120  x 120 1   6 x6 x Đáp số: 48 km. 4. Chuyển động ngược chiều: Học sinh cần nhớ: + Hai chuyển động để gặp nhau thì: S1 + S2 = S + Hai chuyển động đi để gặp nhau: t1 = t2 [không kể thời gian đi sớm]. Bài toán 6: Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30′ với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h. Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau? Bài này học sinh cần lưu ý: Vì chuyển động ngược chiều đi để gặp nhau nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường: S = S1 + S2 S[km] v[km/h] t[h] Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 80

TOÁN HỌC
Xe 1

LỚP 8 3  30  x   2 

35x

30

x

3
2

Xe 2 35 x Lời giải: Gọi thời gian đi của xe 2 là x h [x > 0] 3 Thời gian đi của xe 1 là x  h 2 Quãng đường xe 2 đi là: 35x km 3 Quãng đường xe 1 đi là: 30[x  ] km 2 Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình: 3 30[x  ] + 35x = 175 2 Giải phương trình ta được x = 2 [tmđk] Vậy sau 2 giờ xe 2 gặp xe 1. 5. Chuyển động cùng chiều: Học sinh cần nhớ: + Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau. + Cùng khởi hành: tc/đ chậm – tc/đ nhanh = tnghỉ [tđến sớm] + Xuất phát trước sau: tc/đ trước – tc/đ sau = tđi sau tc/đ sau + tđi sau + tđến sớm = tc/đ trước Bài toán 7: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5h20′ một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền? biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h. Phân tích bài toán: Chuyển động của thuyền và ca nô nhưng không có vận tốc dòng nước vì thế các em làm như chuyển động trên cạn. Công thức lập phương trình: tthuyền – tca nô = tđi sau S[km] v[km/h] t[h] 20 Thuyền 20 x x 20 Ca nô 20 x+12 x  12 Lời giải: Gọi vận tốc của thuyền là x km/h Vận tốc của ca nô là x = 12 km/h 20 Thời gian thuyền đi là: x 20 Thời gian ca nô đi là: x  12 Vì ca nô khởi hành sau thuyền 5h20′ và đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình: x 20 16   20 x  12 3 Giải phương trình ta được: x1 = -15 x2 = 3 [tmđk] Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h. Bài toán 8: Một người đi xe đạp tư tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đó 1h30′ một xe máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B sớm hơn 1h. Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 vận tốc xe đạp. Hướng dẫn lập bảng: Bài toán gồm hai đại lượng xe đạp và xe máy, trong thực tế xe đạp đi Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 81

TOÁN HỌC

LỚP 8

chậm hơn xe máy, cần tìm vận tốc của chúng nên gọi vận tốc của xe đạp là x km/h thuận lợi hơn. Vì đã biết quang đường nên các em chỉ còn tìm thời gian theo công thức: t= S . Đi cùng v quãng đường, xe máy xuất phát sau lại đến sớm hơn vì vậy ta có: txe đạp= txe máy + tđi sau + tvề sớm S[km] v[km/h] t[h] 50 Xe đạp 50 x x 50 20 5x  2,5x = 5x Xe máy 50 x 2 2 Lời giải: Gọi vận tốc của người đi xe đạp là x km/h [x>0] 5x Vận tốc người đi xe máy là: km/h 2 50 Thời gian người đi xe đạp đi là: h x

Thời gian người đi xe máy đi là:

20 h

x

Do xe máy đi sau 1h30′ và đến sớm hơn 1h nên ta có phương trình: 50 20 3   1 x x 2 Giải phương trình ta được x = 12 [tmđk] Vậy vận tốc người đi xe đạp là 12km/h. 6. Chuyển động một phần quãng đường: – Học sinh cần nhớ: +, tdự định = tđi +tnghỉ + tvề sớm +,tdự định = tthực tế – tđến muộn +,tchuyển động trước -tchuyển động sau = tđi sau [ tđến sớm]

– Chú ý cho các em nếu gọi cả quãng đường là x thì một phần quãng đường là

x x 2x 2x , , , …

2 3 3 4

Bài toán 9: Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình 12km/h. Sau khi đi được 1/3 quãng đường với vận tốc đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất 20 phút và đi ô tô với vận tốc 36km/h do vậy người đó đến sớm hơn dự định 1h40′. Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh? S[km] v[km/h] t[h] x SAB x 12 12 1 x x 12 3 SAB 3 36 1 20′ = h Nghỉ 3 2 2x x 36 3 SAB 3 52 5 1h40′  h Sớm 3

Phân tích bài toán:

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 82

TOÁN HỌC

LỚP 8

1 2 , quãng đường của chuyển động, có thay đổi vận tốc và đến 3 3 sớm, có nghỉ. Bài yêu cầu tính quãng đường AB thì gọi ngay quãng đường AB là x km [x>0]. Chuyển động của người đi xê đạp sảy ra mấy trường hợp sau: 1 + Lúc đầu đi quãng đường bằng xe đạp. 3 + Sau đó xe đạp hỏng, chờ ô tô [đây là thời gian nghỉ] 2 + Tiếp đó người đó lại đi ô tô ở quãng đường sau. 3 + Vì thế đến sớm hơn so với dự định. – Học sinh cần điền thời gian dự định đi, thời gian thực đi hai quãng đường bằng xe đạp, ô tô, đổi thời gian nghỉ và đến sớm ra giờ. – Công thức lập phương trình: tdự định = tđi + tnghỉ + tđến sớm . – Phương trình là: x x x 1 5    

12 36 52 3 3

Đây là dạng toán chuyển động

Đáp số:

55

1 Km.

17

Bài toán 10: 1 quãng đường 3 với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10km trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB? S[km] v[km/h] t[h] SAB x 50 tdự định x 50 50 tthực tế 2 2x x 3 SAB 3 75 40 1 x x 120 3 SAB 3 Muộn tmuộn 1 30’= h 2 Bài toán này hướng dẫn học sinh tương tự như bài 21, chỉ khác là chuyển động đến muộn so với

dự định. Giáo viên cần lấy ví dụ thực tế để các em thấy:

Một người dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50km/h. Sau khi đi được

tdự định = tthực tế – tđến muộn

Phương trình là: x x x 1    50 75 120 2 Đáp số: 300 Km. Bài toán 11: Một người đi xe đạp với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h. Nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe đạp ở 1 B.Nhưng sau khi đi được quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3km/h. Nên 2 hai người gặp nhau tại điểm C cách B 10 km. Tính quãng đường AB?

Phân tích bài toán:

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 83

TOÁN HỌC

LỚP 8

1 quãng đường của hai chuyển động cùng chiều gặp nhau. 2 Đây là dạng bài khó cần kẻ thêm nhiều đoạn thẳng để học sinh dễ hiểu hơn. Sau khi đã chọn quãng đường AB là x[km], chú ý học sinh: + Xe máy có thời gian đi sau và thời gian thực đi. + Xe đạp thay đổi vận tốc trên hai nửa quãng đường nên có hai giá trị về thời gian. + Thời gian xe đạp đi sớm hơn thời gian xe máy. Từ đó hướng dẫn học sinh lập phương trình: txe đạp – txe máy = tđi sau S[km] v [km/h] t[h] x Xe máy: Xe máy: 30 30 SAB x x Xe đạp: Xe đạp: 15 15 x x x   15 30 30 Xe máy x  10 x – 10 30 30 x x 15 2 30 Xe đạp x  20 x  10 12 2

24

Bài tập này thuộc dạng chuyển động,

Phương trình là:

x x  20 x  10 x    30 24 30

30

Đáp số: 60 km. Bài toán 12: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau 3 khi đã đi được quãng đường AB, xe con tăng thêm vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại. 4 Tính quãng đường AB? Biết rằng : xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút. Phân tích bài toán: Bài toán này tương tự như bài toán trên, nhưng hai xe cùng xuất phát một lúc. Chỉ lưu ý: xe con 1 3 đi quãng đường đầu với vận tốc 45kn/h, đi quãng đường sau với vận tốc 50km/h và xe 4 4

con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 1giờ 20 phút.

Xe tải

Quãng đường
x

Vận tốc
30

45 3 x 4 Xe con 50 1 x 4 Từ đó hướng dẫn học sinh lập phương trình: txe tải – txe con = tđến sớm Nếu gọi quãng đường AB là xkm [x>0], thì phương trình là: x  x x  1   2 30  60 200  3 Đáp số: 200 Km Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Thời gian x 30 x 60 x

200

Trang 84

TOÁN HỌC

LỚP 8

BÀI TẬP Bài 1. Một xe vận tải đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, rồi từ B quay ngay về A với vận tốc 40 km/h. Cả đi và về mất một thời gian là 5 giờ 24 phút. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B. ĐS: 120km . Bài 2. Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h. Sau đó 3 giờ, một xe hơi đuổi theo với vận tốc 50 km/h. Hỏi xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe đạp? ĐS: 2 giờ. Bài 3. Một người đi xe gắn máy, đi từ địa điểm A đến địa điểm B trên một quãng đường dài 35km . Lúc trở về người đó đi theo con đường khác dài 42km với vận tốc kém hơn vận tốc lượt đi là 3 6 km/h. Thời gian lượt về bằng thời gian lượt đi. Tìm vận tốc lượt đi và lượt về. 2 ĐS: Vận tốc lượt đi là 30 km/h; vận tốc lượt về là 24 km/h. Bài 4. Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Đi được 24 phút thì gặp đường xấu nên vận tốc trên quãng đường còn lại giảm còn 40 km/h. Vì vậy đã đến nơi chậm mất 18 phút. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B. ĐS: 80km. Bài 5. Lúc 6 giờ 15 phút, một ô tô đi từ A để đên B với vận tốc 70 km/h. Khi đến B, ô tô nghỉ 1 giờ rưỡi, rồi quay về A với vận tốc 60 km/h và đến A lúc 11 giờ cùng ngày. Tính quãng đường AB. ĐS: 105 km. Bài 6. Hàng ngày Tuấn đi xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h. Sáng nay do dậy muộn, Tuấn xuất phát chậm 2 phút. Tuấn nhẩm tính, để đến trường đúng giờ như hôm trước thì Tuấn phải đi với vận tốc 15 km/h. Tính quãng đường từ nhà Tuấn đến trường. ĐS: 2 km. Bài 7. Một người đi xe máy từ thành phố Thanh Hoá và thành phố Vinh. Nếu chạy với vận tốc 25 km/h thì sẽ muộn so với dự định là 2 giờ. Nếu chạy với vận tốc 30 km/h và giữa đường nghỉ 1 giờ thì cũng muộn mất 2 giờ. Hỏi để đến nơi đúng giờ mà dọc đường không nghỉ thì xe phải chạy mỗi giờ bao nhiêu kilômet? ĐS: 37,5 km. Bài 8. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc để đi từ Huế và Đà Nẵng. Vận tốc xe thứ nhất là 40 km/h, vận tốc xe thứ hai là 60 km/h. Xe thứ hai đến Đà Nẵng nghỉ nửa giờ rồi quay lại Huế thì gặp xe thứ nhất ở cách Đà Nẵng 10 km. Tính quãng đường Huế – Đà Nẵng. ĐS: 110 km. Bài 9. Quãng đường AD dài 9 km, gồm đoạn AB lên dốc, đoạn BC nằm ngang, đoạn CD xuống dốc. Một người đi bộ từ A đến D rồi quay trở về A hết tất cả 3 giờ 41 phút. Tính quãng đường BC, biết vận tốc lúc lên dốc của người đó là 4 km/h, lúc xuống dốc là 6 km/h và lúc đi trên đường nằm ngang là 5 km/h. ĐS: 4 km. Bài 10. Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau đó một thời gian, một xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 60 km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp xe tải tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng vận tốc lên 75 km/h, nên sau đó 1 giờ thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB. ĐS: 450 km. Bài 11. Một đò máy xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B về A mất 5 giờ. Vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B. ĐS: 80km. Bài 12. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 5 giờ và ngược dòng từ B đến A mất 6 giờ. Tính khoảng cách AB, biết vận tốc dòng nước là 2 km/h. ĐS: 120 km. Bài 13. Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô xuôi dòng từ bến A, có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3 km/h. Sau khi đến B, ca nô trở về bêbs A ngay và gặp bè khi bè đã trôi được 8 km. Tính vận tốc của ca nô. Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 85

TOÁN HỌC

LỚP 8

ĐS: 27 km/h. Bài 14. Một chiếc thuyền đi từ bến A đến bến B hết 5 giờ, từ bến B đến bến A hết 7 giờ. Hỏi một đám béo trôi theo dòng sông từ A đến B hết bao lâu? ĐS: 35 giờ.

VẤN ĐỀ V. Loại có nội dung hình học

• Hình chữ nhật có hai kích thước a, b. Diện tích: S  ab ; Chu vi: P  2[a  b] 1

2

• Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a, b. Diện tích: S  ab VD : Moät khu vöôøn hình chöõ nhaät coù chu vi 82m. Chieàu daøi hôn chieàu roäng 11 m. Tính dieän tích khu vöôøn. Giaûi : Goïi x laø chieàu daøi cuûa khu vöôøn [x > 0, m]. Chieàu roäng cuûa khu vöôøn: x – 11. Chu vi cuûa khu vöôøn laø 82m neân ta coù phöông trình: 2.[x +[ x -11]] = 82  4x-22=82  4x = 104  x = 26 Vaäy chieàu daøi cuûa khu vöôøn: 26 m, chieàu roäng 15m. Dieän tích: 26*15 = 390 m2 BÀI TẬP Bài 1. Chu vi một khu vườn hình chữ nhật bằng 60m, hiệu độ dài của chiều dài và chiều rộng là 20m. Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật. ĐS: 5m;25m .

Bài 2. Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi là 56m. Nếu giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài

4m thì diện tích tăng thêm 8m2 . Tìm chiều rộng và chiều dài thửa đất. ĐS: 12m;16m . Bài 3. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 3 lần chiều rộng. Nếu tăng mỗi cạnh thêm 5m thì diện tích khu vườn tăng thêm 385m2 . Tính độ dài các cạnh của khu vườn. ĐS: 18m;54m . Bài 4. Hiệu số đo chu vi của hai hình vuông là 32m và hiệu số đo diện tích của chúng là 464m2 . Tìm số đo các cạnh của mỗi hình vuông. ĐS: cạnh hình vuông nhỏ là 25m ; cạnh hình vuông lớn là 33m. 1 Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 450m. Nếu giàm chiều dài đi chiều dài cũ và 5 1 tăng chiều rộng thêm chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi. Tính chiều dài và 4 chiều rộng khu vườn. ĐS: 100m;125m. Bài 6. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 10m. Nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm đi 3m thì diện tích mới tăng hơn diện tích cũ là 12m2 . Tính các kích thước của khu đất.

ĐS: 20m, 30m.

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 86

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 1. Giải các phương trình sau:

2[ x  4] 3  2x 1 x   x 4 10 5 6x  5 10x  3 2x  1 d]   2x  2 4

2

a] 6×2  5x  3  2x  3x[3  2x]
c]

b]

2x 3x  5 3[2x  1] 7    3 4 2

6

e] [ x  4][ x  4]  2[3x  2]  [ x  4]2 17 3 ĐS: a] x   b] x  5 c] x  2 19

Bài 2. Giải các phương trình sau:

f] [ x  1]3  [ x  1]3  6[ x2  x  1] 1 2 d] x  e] x  14 f] x   2

3

a] [4x  3][2x  1]  [ x  3][4x  3]

b] 25×2  9  [5x  3][2x  1]

c] [3x  4]2  4[ x  1]2  0

d] x4  2×3  3×2  8x  4  0

e] [ x  2][ x  2][ x2  10]  72

f] 2×3  7×2  7x  2  0

3  ĐS: a] S   ; 2 4



2  c] S   ;6

5 

 3 4 b] S   ;   5 3  1 e] S  4; 4 f] S  2; 1;    2 Bài 3. Giải các phương trình sau: x2 x4 x6 x8 a]    98 96 94 92 ĐS: a] x  100 b] x  15 Bài 4. Giải các phương trình sau: 2 3 4   a] 2

2x  1 2x  1 4x  1

d] S  1; 2;2

b]

x  2 2x  45 3x  8 4x  69    13 15 37

9

b]

2x 18 2x  5   2

x  1 x  2x  3 x  3

1 2 x2  5 4   3 2 x 1 x 1 x  x 1 9 ĐS: a] x   b] x  1 c] x  0 2 Bài 5. Thương của hai số bằng 3. Nếu tăng số bị chia 10 đơn vị và giảm số chia đi một nửa thì số thứ nhất thu được lớn hơn số thứ hai thu được là 30. Tìm hai số ban đầu. ĐS: 24 và 8. Bài 6. Chu vi của một hình chữ nhật bằng 140 m, hiệu giữa số đo chiều dài và chiều rộng là 10 m. Tìm số đo các cạnh của hình chữ nhật. ĐS: 30 m và 40 m. Bài 7. Thùng thứ nhất đựng 40 lít dầu, thùng thứ hai đựng 85 lít dầu. Ở thùng thứ hai lấy ra một lượng dầu gấp 3 lần lượng dầu lấy ra ở thùng thứ nhất. Sau đó lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu? ĐS: 26 lít và 78 lít. Bài 8. Chu vi bánh xe lớn của một đầu máy xe lửa là 5,6 m và của bánh xe nhỏ là 2,4 m. Khi xe chạy từ ga A đến ga B thì bánh nhỏ đã lăn nhiều hơn bánh lớn là 4000 vòng. Tính quãng đường AB. ĐS: 16800 m. Bài 9. Hai vòi nước cùng chảy trong 12 giờ thì đầy một hồ nước. Cho hai vòi cùng chảy trong 8 giờ rồi khoá vòi thứ nhất lại và cho vòi thứ hai chảy tiếp với lưu lượng mạnh gấp đôi thì phải mất 3 giờ 30 phút nữa mới đầy hồ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình với lưu lượng ban đầu thì phải mất bao lâu mới đầy hồ. ĐS: Vòi thứ nhất chảy trong 28 giờ, vòi thứ hai chảy trong 21 giờ. Bài 10. Một ô tô đi quãng đường dài 60 km trong một thời gian đã định. Ô tô đi nửa quãng đường

đầu với vận tốc hơn dự định là 10 km/h và đi nửa quãng đường còn lại với vận tốc thấp hơn

c]

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 87

TOÁN HỌC

LỚP 8

dự định là 6 km/h nhưng ô tô đã đến đúng thời gian đã định. Tính thời gian ô tô đã dự định đi quãng đường trên. ĐS: 2 giờ. Bài 11. Một xe ô tô đi từ Hà Nội về Thanh Hoá. Sau khi đi được 43 km thì dừng lại 40 phút. Để về đến Thanh Hoá đúng giờ đã định nó phải đi với vận tốc bằng 1,2 lần vận tốc trước đó. Tính vận tốc lúc đầu, biết rằng quãng đường Hà Nội – Thanh Hoá dài 163 km. ĐS: 30 km. Bài 12. Hai người đi bộ cùng khởi hành từ A để đến B. Người thứ nhất đi nửa thời gian đầu với vận tốc 5 km/h, nửa thời gian sau với vận tốc 4 km/h. Người thứ hai đi nửa quãng đường đầu với vận tốc 4 km/h và nửa quãng đường sau với vận tốc 5 km/h. Hỏi người nào đến B trước? ĐS: Người thứ nhất đến trước. MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỀ I I/ TRẮC NGHIỆM: [3 điểm] Hãy khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn? 1 A.  2  0 B. 0  x  5  0 C. 2×2 + 3 = 0 x

Câu 2: Phương trình 2x – 4 = 0 tương đương với phương trình:

B. x – 2 = 0

A. 2x + 4 = 0
=0

Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  0

C. x  0; x  -2

C. a = 3; b = 1

S=  Câu 6: Phương trình –x + b = 0 có một nghiệm x = 1, thì b bằng: A. 1 B. 0 C. – 1 2 II. TỰ LUẬN: [7 điểm] Bài 1: [4 điểm]. Giải các phương trình sau:

1/ 4x – 12 = 0

D. 2 – 4x

C. x = 4

x2  5 là: x[x  2]

B. x  0; x  2

x  -2 Câu 4: Phương trình bậc nhất 3x – 1 = 0 có hệ a, b là: A. a = 3; b = – 1 B. a = 3 ; b = 0 b=3 Câu 5: Tập nghiệm của phương trình [x2 + 1][x – 2] = 0 là: A. S = 1;1;2

B. S = 2

D. –x = 1

2/ x[x+1] – [x+2][x – 3] = 7

D.

D. a = -1;

C. S = 1; 2

D.

D.

x 3 x2 3/ = 2 x 1

x 1

Bài 2: [2 điểm]. Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. Đến B người đó nghỉ 15 phút rồi quay về A với vận tốc 40km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 2 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB. x  3 x  2 x  2012 x  2011    Bài 3: [1 điểm]. Giải phương trình : 2011 2012 2 3 ĐÁP ÁN I/ TRẮC NGHIỆM: [3 điểm] 1

D

2 3 4 5 6 B C B A A

[Mỗi câu đúng ghi 0,5 điểm]

II/ TỰ LUẬN: [7 điểm]
Bài 1

Giải các phương trình

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

0,5
nguồn tham khảo: internet

Trang 88

TOÁN HỌC
1/

LỚP 8

4x – 12 = 0

0,5

 4x = 12
 x=3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 3
2/

x[x+1] – [x+2][x – 3] = 7  x2 + x – x2 + 3x – 2x + 6 = 7

 2x = 1

 x=

0,5
0,5

1
2

0,5

1 
2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  
3/

0,5

x 3 x2 [ÑKXÑ : x  1 ]  2

x 1 x 1

0,25

0,25

Qui đồng và khử mẫu phương trình ta được:
[x – 3][x – 1] = x2

0,25

 x2  4x  3  x2

0,25

3 x 4 4

3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  

1
4

5
2

15phút= [h] ; 2 giờ 30 phút = [h] 0,25

0,25

Gọi x là quãng đường AB [x>0]

x [h] 50 x [ h] Thời gian về : 40

Thời gian đi :

Bài 2

Theo đề bài ta có phương trình : Giải phương trình ta được : x = 50

ÑVậy quãng đường AB là 50 km.

0,25

x x 1 5   

50 40 4 2

x  3 x  2 x  2012 x  2011    2011 2012 2 3 x  3 x  2 x  2012 x         2011   1    1    1    1   2 3  2011   2012      x  2014 x  2014 x  2014 x  2014     2011 2012 2 3 x  2014 x  2014 x  2014 x  2014    0  2011 2012 2 3 1 1 1  1    0   x  2014    2011 2012 2 3  1 1 1  1    0  x – 2014 = 0 vì   2011 2012 2 3   x = 2014

Vậy tập nghiệm của phương trình là S2014

0,5 0,5

0,25

Giải phương trình :

Bài 3

0,25đ

0,25đ

0,25đ
0,25đ

ĐỀ II ĐỀ BÀI Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 89

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 1: [2 điểm] a] Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? 0x+7= 0 ; 2x – 8 = 0 ; 9×2 = 2 b] Thế nào là hai phương trình tương đương? Hai phương trình sau có tương đương nhau hay không? Vì sao? x x4 Bài 2: [2 điểm] Cho phương trình:  x 1 x 1 a] Tìm điều kiện xác định của phương trình trên b] Giải phương trình trên. Bài 3: [3 điểm] Giải các phương trình sau: a] 4x + 20 = 0 b] 2x – 3 = 3[x – 1] + x + 2 c] [3x – 2][4x + 5] = 0 Bài 4: [2 điểm] Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 45km/h và quay từ B về A với vận tốc 40km/h. Tính quãng đường AB biết thời gian đi hÕt ít hơn thời gian về là 1giờ 30 phút.

Bài 5: [1 điểm] Giải phương trình:

x  3 x  2 x  2016 x  2015    2015 2016 2

3

ĐÁP ÁN Bài

1

2

Nội dung a] Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình 2x -8 = 0 b] Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm Hai PT đã cho tương đương với nhau vì chúng có cùng tập nghiệm S = {-2/3} a] ĐKXĐ: : x ≠ 1 và x ≠ -1. b] Quy đồng và khử mẫu ta được PT: x[x + 1] = [x – 1][x +4]  x2 +x = x2 +4x– x -4  x – 4x +x = -4  -2x = -4  x = 2[thỏa mãn ĐKXĐ] Vậy PT có tập nghiệm S = {2}

a] 4x + 20 = 0

 4 x  20
 x  5

Điểm 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ

0,25đ

Vậy phương trình có tập nghiệm S  5
b] 2x – 3 = 3[x – 1] + x + 2

3

 2x – 3 = 3x – 3 + x + 2  2x -3x – x = -3 + 2 + 3  2 x  2

 x  1

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

Vậy phương trình có tập nghiệm S  1

0,25 đ

c] [3x – 2][4x + 5] = 0  3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 • 3x – 2 = 0 => x = 3/2

• 4x + 5 = 0 => x = – 5/4

 5 3
 4 2

Vậy phương trình có tập nghiệm S    ;  Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

Trang 90

TOÁN HỌC

LỚP 8

3 h. Gọi x[km] là quãng đường AB [x>0] 2 x x [ h] [ h] . Thời gian về : Thời gian đi : 45 40 x x 3   Theo đề bài ta có phương trình : 40 45 2 Giải phương trình ta được : x = 540 [thỏa mãn ĐK] Vậy quãng đường AB là 540 km. x  3 x  2 x  2016 x  2015    2015 2016 2 3 x  2018 x  2018 x  2018 x  2018     2012 2013 2 3 1 1 1  1   x  2018        0  x  2015 .  2015 2016 2 3 

Vậy PT có tập nghiệm S = {2015}

1 giờ 30 phút =

4

5

0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,75đ

0,25đ

0,5đ 0,25đ

0,25đ

ĐỀ III ĐỀ RA Bài 1: [1,5đ] Thế nào là hai phương trình tương đương? Hai phương trình sau có tương đương nhau hay không? Vì sao? 3x + 2 = 0 và 15x + 10 = 0 Bài 2: [5đ] Giải các phương trình sau: a] 5 – [x – 6] = 4[3 – 2x] b] 2x[x – 3] + 5[3 – x] = 0 2 x -5 3 x – 5 = -1 c] d] 2×2 – 5x + 3 = 0 x – 2 x -1 Bài 3: [2,5 đ] Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 45km/h và quay từ B về A với vận tốc 40km/h. Tính quãng đường AB biết thời gian đi hÕt ít hơn thời gian về là 1giờ 30 phút.

Bài 4: [1đ] Giải phương trình:

a]

x  3 x  2 x  2013 x  2012    2012 2013 2

3

b] x2 + 2x + y2 – 4y + 5 = 0 ĐÁP ÁN Bài Nội dung Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm 1 Hai PT đã cho tương đương với nhau vì chúng có cùng tập nghiệm S = {-2/3} a] PT  5 – x + 6 = 12 – 8x  -x + 8x = 12 – 5 – 6  x = 1/7 Vậy PT có tập nghiệm S = {1/7} b] PT  [x – 3][2x – 5] = 0  x = 3 hoặc x = 5/2. Vậy PT có tập nghiệm S = {3; 5/2} c] ĐKXĐ: x ≠ 1 ; x ≠ 2. 2 Quy đồng và khử mẫu ta được PT: [2x – 5][x – 1] – [3x – 5][x – 2] = [x – 1][x – 2]  2×2 – 7x + 5 – 3×2 + 13x – 10 = x2 – 3x + 2  9x = 7  x = 7/9 [thỏa mãn ĐKXĐ] Vậy PT có tập nghiệm S = {7/9}

d] PT  [x – 1][2x – 3] = 0  x = 1 hoặc x = 3/2

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Điểm 1đ 1đ 1đ

1đ

1đ

1đ

Trang 91

TOÁN HỌC

LỚP 8

3 h. Gọi x[km] là quãng đường AB [x>0] 2 x x [ h] . Thời gian về : [ h] Thời gian đi : 45 40 x x 3   Theo đề bài ta có phương trình : 40 45 2 Giải phương trình ta được : x = 540 [thỏa mãn ĐK] Vậy quãng đường AB là 540 km. x  3 x  2 x  2013 x  2012    a] 2012 2013 2 3 x  2015 x  2015 x  2015 x  2015 1 1 1  1      x  2015    0  2012 2013 2 3  2012 2013 2 3   x  2015 . Vậy PT có tập nghiệm S = {2015}

b] PT  [x + 1]2 + [y – 2]2 = 0  x = 1 ; y = 2

1 giờ 30 phút =

3

4

0,25đ 0,75đ 1đ 0,25đ

0,25đ

0,5đ

1đ

ĐỀ IV Bài 1: [0, 5đ] Cho ví dụ về hai phương trình tương đương? Bài 2: [2,5đ] Giải các phương trình sau: a/ 4x + 20 = 0 b/ 2x – 3 = 3[x – 1] + x + 2

Bài 3: [1 đ] Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

x x4 

x 1 x 1

Bài 4: [2đ]Giải các phương trình sau: a/ [3x – 2][4x + 5] = 0 b/ 2x[x – 3] – 5[x – 3] = 0 Bài 5: [1,5đ] Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 100, nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ 2. Bài 6: [1,5đ] Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều dài 5m tăng chiều rộng 3m thì diện tích giảm 40 m2. Tính các kích thước ban đầu của khu vườn.

Bài 7: [1đ] Giải phương trình:

1 1 1 1    x 1 x  2 x  2 x  1

ĐÁP ÁN

Bài 1:
– Lấy ví dụ đúng

0,5 đ

Bài 2: [2,5đ]
a/ 4x + 20 = 0

0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

 4 x  20
 x  5

Vậy phương trình có tập nghiệm S  5 b/ 2x – 3 = 3[x – 1] + x + 2

 2x – 3 = 3x – 3 + x + 2

0,25 đ

 2x -3x – x = -3 + 2 + 3  2 x  2  x  1 Vậy phương trình có tập nghiệm S  1 Bài 3: Phương trình đã cho xác định khi và chỉ khi x 1  0 và x  1  0 * x 1  0  x  1 Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

Trang 92

TOÁN HỌC

LỚP 8

* x  1  0  x  1 Vậy phương trình đã cho xác định khi x  1 Bài 4: a/ [3x – 2][4x + 5] = 0  3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 • 3x – 2 = 0 => x = 3/2 • 4x + 5 = 0 => x = – 5/4

Vậy phương trình có tập nghiệm S   5 ; 3 

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

 4 2

b/ 2x[x – 3] – 5[x – 3] = 0 => [x – 3][2x -5] = 0 => x – 3 = 0 hoặc 2x – 5 = 0 * x – 3 = 0 => x = 3 * 2x – 5 = 0 => x = 5/2 Vậy phương trình có tập nghiệm S   5 ;3

2

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ



Bài 5: – Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn đúng – Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết, thiết lập phương trình đúng – Giải đúng phương trình – Kết luận đúng Bài 5: – Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn đúng – Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết, thiết lập phương trình đúng – Giải đúng phương trình – Kết luận đúng Bài 7: – Quy đồng khử mẫu đúng – Giải đúng phương trình – So sánh kết quả với điều kiện xác định và kết luận đúng

Ghi chú: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0.25đ 0.5 đ 0,5 đ 0,25đ 0.25đ 0.5 đ 0,5 đ 0,25đ 0.25 đ 0.5đ

0.25 đ

ĐỀ V Bài 1: [0,5đ] Cho ví dụ về hai phương trình tương đương? Bài 2: [2,5đ] Giải các phương trình sau: a/ 5x – 25 = 0 b/ 3 – 2x = 3[x + 1] – x – 2

Bài 3: [1đ] Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

2 1  1 x 1

x2

Bài 4: [2đ] Giải các phương trình sau: a/ [3x + 2][4x – 5] = 0 b/ 2x[x + 3] + 5[x + 3] = 0 Bài 5: [1,5đ] Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 100, nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ 2. Bài 6: [1,5đ] Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều dài 3m và tăng chiều rộng 2m thì diện tích khu vườn giảm 16 m2. Tính các kích thước lúc đầu của khu vườn .

Bài 7: [1đ] Giải phương trình:

1 1 1 1   

x 1 x  2 x  2 x  1

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

ĐÁP ÁN

nguồn tham khảo: internet

Trang 93

TOÁN HỌC

LỚP 8

Bài 1:
– Lấy ví dụ đúng

0,5 đ

Bài 2: [2,25đ] a/ 5x – 25 = 0  4 x  25

 x5

0,5 đ 0,25 đ

0,25 đ

Vậy phương trình có tập nghiệm S  5 b/ 3 – 2x = 3[x + 1] – x – 2  3  2 x  3x  3  x  2  2 x  3x  x  3  2  3  4 x  2 1  x  2

Vậy phương trình có tập nghiệm S  1

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

Bài 3: Phương trình đã cho xác định khi và chỉ khi x 1  0 và x  1  0 * x 1  0  x  1 * x  2  0  x  2 Vậy phương trình đã cho xác định khi x  1 và x  2 Bài 4: a/ [3x + 2][4x – 5] = 0  3x + 2 = 0 hoặc 4x – 5 = 0 • 3x + 2 = 0 => x = –3/2 • 4x – 5 = 0 => x = 5/4

Vậy phương trình có tập nghiệm S   3 ; 5 

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

 2 4

b/ 2x[x +3] + 5[x + 3] = 0 => [x + 3][2x +5] = 0 => x + 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0 * x + 3 = 0 => x = –3 * 2x + 5 = 0 => x = –5/2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  3;  5 



0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

2

Bài 5: – Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn đúng – Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết, thiết lập phương trình đúng – Giải đúng phương trình – Kết luận đúng Bài 5: – Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn đúng – Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết, thiết lập phương trình đúng – Giải đúng phương trình – Kết luận đúng Bài 7: – Quy đồng khử mẫu đúng – Giải đúng phương trình

– So sánh kết quả với điều kiện xác định và kết luận đúng

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

0.25đ 0.5 đ 0,5 đ 0,25đ 0.25đ 0.5 đ 0,5 đ 0,25đ 0.25 đ 0.5đ

0.25 đ

Trang 94

TOÁN HỌC

LỚP 8

MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ 1 Bài 1: [2 điểm]: Hãy chọn câu trả lời đúng:

1. Trong các phương trình sau, phương trình bậc nhất 1 ẩn là:

2 – 3 = 0;

x

1 x+2=0; C. x + y = 0 ; 2 2. Giá trị x = – 4 là nghiệm của phương trình: A. -2,5x + 1 = 11; B. -2,5x = -10;

C. 3x – 8 = 0;

A.

B.

3. Tập nghiệm của phương trình [x +

D. 0x + 1 = 0
D. 3x – 1 = x + 7

1 ][x – 2 ] = 0 là:

3

1  1  ;2  ; D. S =  ;2 3  3  x x 1   0 là: 4. Điều kiện xác định của phương trình 2x  1 3  x 1 1 1 A. x  hoặc x  3 ; B. x  ; C. x  và x  3 ; D. x  3 ; 2 2 2   1 ;

3

A. S = 

B. S = 2;

C. S = 

Bài 2: [4,5 điểm ] .Giải các phương trình sau

1 2x  5 4 2 x  10 2  3x  3  2  5 a] ; b] ; x 1 x 1 4 6 x  x 1

2

c]

15 x 1   1  1  12    x  3x  4  x  4 3x  3  Bài 3: [ 3,5 điểm ] . Giải bài toán bằng cách lập phương trình . Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h . Đến B người đó làm việc trong 3 giờ rồi quay về A với vận tốc 30km/h . Biết thời gian tổng cộng hết 6 giờ 30 phút . Tính quãng đường AB . ĐỀ 2

2

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM [3đ] Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: 1. Trong các cặp phương trình sau, cặp phương trình nào tương đương: A. x = 1 và x[x – 1] = 0 B. x – 2 = 0 và 2x – 4 = 0 C. 5x = 0 và 2x – 1 = 0 D. x2 – 4 = 0 và 2x – 2 = 0 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? A. x2 – 2x + 1 B. 3x -7 = 0 C. 0x + 2 = 0 D.[3x+1][2x-5] = 0 3. Với giá trị nào của m thì phương trình m[x – 3] = 6 có nghiệm x = 5 ? A. m = 2 B. m = – 2 C. m = 3 D. m = – 3 4. Giá trị x = 0 là nghiệm của phương trình nào sau đây: A. 2x + 5 +x = 0 B. 2x – 1 = 0 C. 3x – 2x = 0 D. 2×2 – 7x + 1 = 0 5. Phương trình x2 – 1 = 0 có tập nghiệm là: A. S =  B. S = {– 1} C. S = {1} D. S = {– 1; 1} x2 5   1 là: 6. Điều kiện xác định của phương trình x x3 A. x ≠ 0 B. x ≠ – 3 C. x ≠ 0; x ≠ 3 D. x ≠ 0; x ≠ – 3 II. PHẦN TỰ LUẬN [7đ]

Câu 1 [4 đ] Giải các phương trình sau:

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 95

TOÁN HỌC

LỚP 8

1 3 5 2x  3 1 x   b. 3x – 6 + x = 9 – x c. 2 2 x  3 x[2 x  3] x 4 6 Câu 2 [ 3đ] Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm việc trong 1 giờ rồi quay về A với vận tốc 24 km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 5 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.

a.

ĐỀ 3 A. Trắc nghiệm: [4 điểm] Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng. Câu 1:[NB] Số nào sau đây là nghiệm của phương trình 2×5 – 5×2 + 3 = 0 ? A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 Câu 2[TH] Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình 2x – 6 = 0 A. x = 3 B. x = -3 C. x = 2 D. x = -2 Câu 3: [NB] Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn. A. x2 + 2x + 1 = 0 B. 2x + y = 0 C. 3x – 5 = 0 D. 0x + 2 = 0

Câu 4:[TH] Nhân hai vế của phương trình

1 x  1 với 2 ta được phương trình nào sau đây?

2

A. x = 2 B. x = 1 C. x = -1 Câu 5:[VD] Phương trình 3x – 6 = 0 có nghiệm duy nhất A. x = 2 B. x = -2 C. x = 3

Câu 6: [NB]Điều kiện xác định của phương trình

D. x = -2

x2  4 là:

x 5

D. x = -3

A. x  2 B. x  5 C. x  -2 D. x  -5 Câu 7: [NB]Để giải phương trình [x – 2][2x + 4] = 0 ta giải các phương trình nào sau đây? A. x + 2 = 0 và 2x + 4 = 0 B. x + 2 = 0 và 2x – 4 = 0 C. x = 2 = 0 và 2x – 4 = 0 D. x – 2 = 0 và 2x + 4 = 0 Câu 8:[TH] Tập nghiệm của phương trình 2x – 7 = 5 – 4x là A. S  2 B. S  1 C. S  2 D. S  1 B. Tự luận: [6 điểm] Câu 9: [3,75 đ] Giải các phương trình sau đây

a/ 5x + 10 = 3x + 4 ;

b/ x[x – 2] – 3x + 6 = 0 ;

c/

2x x2  x  8 

x  1 [x  1][x  4]

Câu 10: [2,25đ] Giải bài toán sau đây bằng cách lập phương trình Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 180km đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe đi từ A có vận tốc lớn hơn xe đi từ B 10 km/h. ĐỀ 4 Bài 1: [3 điểm] 1. Thế nào là phương trình tương đương ? 2. Xét các cặp phương trình sau có tương đương với nhau không ? Giải thích a] x2 – 9 = 0 [1] và [x – 3][4x + 12 ] = 0 [2]. 1 1   5 [4] b] 2x – 10 = 0 [3] và x + x5 x5 Bài 2: [4 điểm] Giải các phương trình sau 2 x  10 2  3x  5 a] 4 6 b] [x – 3 ][3 – 4x] + [x 2 – 6x + 9 ] = 0 2x x x c] + = [x-3][x+1] 2[x-3]

2x+2

Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ
Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 96

TOÁN HỌC

LỚP 8

x  15 x-90 x-76 x-58 x-36 + + + + = 15 10 12 14 16 17 Bài 3: [3 điểm] Giải bài toán bằng cách lập phương trình . Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h . Đến B người đó làm việc trong 3 giờ rồi quay về A với vận tốc 30km/h . Biết thời gian tổng cộng hết 6 giờ 30 phút . Tính quãng đường AB .

d]

ĐỀ 5 A. Trắc nghiệm: [2 điểm] Hãy chọn câu trả lời đúng: 1. Trong các phương trình sau, phương trình bậc nhất 1 ẩn là:

A. 3y + 1 = 0 ;

B.

2  1  0 ; C. 3×2 – 1 = 0;

x

D. x + y = 0

2. Phương trình 2x + 4 = 0 tương đương với phương trình:
A. 6x + 4 = 0 ;

B. 2x – 4 = 0;

D. 4x – 8 = 0

C. 4x + 8 = 0;

3. Phương trình 7 + 2x = 22 – x có tập nghiệm là:
A. S =

 3;

1  B. S =   ;

3

C. S =

4. Điều kiện xác định của phương trình
A. x  3;

B. x  9;

3;

D. S = 5

x3 x2   0 là:

x  3 x2  9

C. x  3 hoặc x  -3;

D. x  3 và x  -3

B. Tự luận: [8 điểm] Câu 1: [3 điểm]: Giải phương trình: 10 x  3 6  8x  1 a] 12 9 b] 2×3 – 5×2 + 3x = 0

c]

x x 2x   0

2 x  6 2 x  2 [ x  1][ x  3]

Câu 2: [3 điểm]: Bạn Sơn đi xe đạp từ nhà đến thành phố Hà Nội với vận tốc trung bình là 15 km/h. Lúc về Sơn đi với vận tốc trung bình là 12 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 22 phút. Tính độ dài quãng đường từ nhà bạn Sơn đến thành phố Hà Nội Câu 3: [2 điểm]: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a  2a  3a  4a  5 .

4

3

2

CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I. BẤT ĐẲNG THỨC Tổng hợp và giảng dạy:ThS. Ngô Văn Thọ

Facebook, Zalo: 0972120800

nguồn tham khảo: internet

Trang 97

TOÁN HỌC

LỚP 8

1. Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a < b [hay a > b, a ≤ b, a ≥ b] là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. 2. Tính chất Điều kiện Nội dung [1]

a