Các quy luật dùng để so sánh trong toán 9 năm 2024

Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.

Bước 2. Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.

2. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

1. ;

2. .

Giải

Tìm cách giải. Để sắp xếp các căn thức không đồng dạng, chúng ta đưa các thừa số vào trong dấu căn. Sau đó so sánh biểu thức trong căn.

Trình bày lời giải

1. Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được:

; ;

;

Mà .

Suy ra thứ tự tăng dần là .

2. Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được:

; ;

; .

Mà .

Suy ra thứ tự tăng dần là

Ví dụ 2: Khử căn thức ở mẫu số:

Giải

Tìm cách giải. Chúng ta không thể vận dụng một lần hằng đẳng thức để khử đồng thời ba căn thức ở mẫu được. Do vậy, chúng ta tìm cách giảm bớt số căn ở mẫu bằng hằng đẳng thức:

.

Sau đó khử thường mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu của mẫu với biểu thức liên hợp.

Trình bày lời giải

.

Ví dụ 3: Thực hiện phép tính.

1. ;

2. .

Giải

Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính, bạn luôn chú ý:

• Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
• Trục căn thức ở mẫu, khử mẫu của biểu thức lấy căn.
• Sau đó thu gọn các căn thức đồng dạng.

Trình bày lời giải

1. Ta có:

.

2. Ta có:

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức:

Giải

Tìm cách giải. Nhận xét thấy rằng, mẫu thức chứa biểu thức căn “chồng chất”. Do vậy trước khi thực hiện rút gọn, chúng ta nên khai căn “chồng chất” trước đã. Quan sát thấy, để biến đổi căn “chồng chất” này, chúng ta chỉ cần làm xuất hiện .

Do vậy chúng ta có hai hướng biến đổi nhằm xuất hiện yêu cầu đó:

Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với .

Cách 2. Nhân hai vế với .

Trình bày lời giải

Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với , ta được:

.

Cách 2. Nhân hai vế với , ta được:

Suy ra: .

Ví dụ 5: Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm x để .

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2014 – 2015)

Giải

Tìm cách giải. Khi rút gọn biểu thức chứa căn thức, chú ý các bước:

• Xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa.
• Vận dụng các quy tắc của phép tính về phân thức, phép tính về căn thức để đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất.

Trình bày lời giải

1. TXĐ: .

.

(thỏa mãn điều kiện). Vậy để thì .

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức:

.

Giải

Tìm cách giải. Bài toán có nhiều thành phần giống nhau, chúng ta nên đổi biến bằng cách đặt . Sau đó rút gọn biểu thức với biến x.

Trình bày lời giải

Đặt , biểu thức có dạng:

. Vậy .

Ví dụ 7: Cho các số dương thỏa mãn điều kiện .

Tính giá trị của biểu thức:

Giải

Tìm cách giải. Quan sát giả thiết và kết luận, chúng ta nhận thấy giữa số 100 và số 10 có liên quan tới nhau: . Do vậy, suy luận tự nhiên chúng ta thay 10 ở biểu thức bằng và biến đổi tiếp.

Trình bày lời giải

Thay vào biểu thức A, ta có:

.

Ví dụ 8: Tính giá trị biểu thức:

1. ;

2. .

Giải

Tìm cách giải. Bài toán này không thể quy đồng mẫu thức để thực hiện. Quan sát bài toán ta nhận thấy mỗi biểu thức là một dãy các phân thức viết theo quy luật. Mặt khác quan sát các thành phần trong căn ta có: ở biểu thức A, còn ở biểu thức B là: . Do vậy, chúng ta nghĩ tới việc trục căn thức ở mẫu nhằm đưa về mẫu thức chung là lẽ tự nhiên.

Trình bày lời giải

1. .

.

Ví dụ 9: Chứng minh rằng:

.

Giải

Tìm cách giải. Thoáng nhìn qua bài toán cũng có quy luật như ví dụ trên. Song thực hiện tương tự ngay thì không thành công bởi chúng không khử liên tiếp được. Vẫn định hướng đó, chúng ta nghĩ tới kĩ thuật làm trội để sau khi trục căn thức có thể khử liên tiếp được. Do vậy, chúng ta có hai cách giải sau: