Cách giải phương trình đẳng cấp lớp 10

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f[sinx, cosx] = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Cách giải:

Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?

Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho coskx [k là số mũ cao nhất] ta được phương trình ẩn là tanx.

Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.

Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx.

Bài 1: 3sin2x + 8sinx.cosx + [8√3-9] cos2x = 0 [1]

Xét cos⁡x = 0 ⇒ sin2x = 1. Ta có [1] ⇔ 3=0 [vô lý]

Xét cos⁡x≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được :

Bài 2: sin3x + 2sinx.cos2x + 3cos3x = 0 [2]

Xét cos⁡x = 0. Ta có [2] ⇔ sin⁡x = 0 [vô lí do sin2x + cos2x = 1]

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos3x. Ta được :

[2] ⇔ tan3⁡x + 2 tan⁡x + 3 = 0

⇔ x = -π/4 + kπ [k ∈ Z]

Quảng cáo

Bài 1: Giải phương trình sin2 x-[√3+1]sinxcosx+√3 cos2 x=0

Lời giải:

sin2⁡x - [√3+1] sin⁡x cos⁡x + √3 cos2⁡x = 0 [1]

Xét cos⁡x = 0. [1] sin2⁡x = 0 → vô lý

Xét cos⁡x≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

[1] ⇔ tan2⁡x - [√3+1] tan⁡x + √3 = 0

Bài 2: Giải phương trình: 2 cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0. Ta có . sin2⁡x = 0 → vô lý

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

2 - 3 tan⁡x + tan2⁡x = 0

Quảng cáo

Bài 3: Giải phương trình: 3cos4x – 4cos2x sin2x + sin4x = 0

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0: Ta có : sin4x = 0 [vô lý]

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos4x. Ta được :

3 - 4 tan2⁡x + tan4x = 0

Bài 4: Tìm m để phương trình [m + 1]sin2x – sin2x + 2cos2x = 0 có nghiệm.

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0. Ta có : [m+1]sin2⁡x = 0 ⇔ m = -1

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

[m+1]tan2⁡x - 2 tan⁡x + 2 = 0

Δ' = 1-2m-2 = -2m-1

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ - 2m-1 ≥ 0 ⇔ m ≤ -1/2

Vậy với m ≤ -1/2 thì pt đã cho có nghiệm

Bài 5: Tìm điều kiện để phương trình a.sin2x + a.sinxcosx + b.cos2x = 0 với a ≠ 0 có nghiệm.

Lời giải:

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

a tan2⁡x + atan⁡x + b = 0

Δ = a2 - 4ab

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔a2 - 4ab ≥ 0 ⇔ a-4b ≥ 0 ⇔ a ≥ 4b

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-trinh-luong-giac.jsp

I. Nhận diện hệ phương trình có tính đẳng cấp:

       Hệ phương trình có chứa một phương trình đẳng cấp [bậc của các số hạng như nhau] dạng \[ax^2+bxy+cy^2=0\]

      Hoặc có thể cộng, trừ đại số để xuất hiện một phương trình đẳng cấp [làm cho hệ số tự do bằng 0]

II. Phương pháp giải:

    - Xét riêng trường hợp y = 0 để tìm x

    - Xét y khác 0, chia phương trình đẳng cấp cho y2, đặt t = x/y, được phương trình chỉ chứa t, tìm được t thay vào x/y=t và kết hợp phương trình còn lại để tìm x và y

III. Các ví dụ:

1] Ví dụ1: Giải hệ pt: \[\begin{cases}x^2-2xy+3y^2=9\\2x^2-13xy+15y^2=0\end{cases}\]

Giải

     Ta thấy phương trình thứ hai của hệ là dạng đẳng cấp bậc 2.

     - Xét trường hợp y = 0, thay vào hệ ta có: \[\begin{cases}x^2=9\\2x^2=0\end{cases}\], không tồn tại x. 

     - Xét trường hợp y khác 0, chia cả hai vế phương trình thứ hai cho y2, ta có:

           \[2\left[\frac{x}{y}\right]^2-13\frac{x}{y}+15=0\]

      Đặt t = x/y, thay vào ta có: \[2t^2-13t+15=0\], giải ra ta có t=5 hoặc t=3/2

     Với t = 5 => x = 5y, thay vào pt đầu của hệ ta được \[y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\]  \[\Rightarrow x=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

     Với t = 3/2 => x = 3/2 y, thay vào pt đầu ta được \[y^2=4\Rightarrow y=\pm2\]; \[\Rightarrow x=\pm3\]

    Vậy các nghiệm của hệ là: \[\left[\frac{5\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right];\left[\frac{-5\sqrt{2}}{2};\frac{-\sqrt{2}}{2}\right];\left[3;2\right];\left[-3;-2\right]\]

2] Ví dụ 2:

     Cho hệ pt: \[\begin{cases}3x^2+2xy+y^2=11\\x^2+2xy+3y^2=17+m\end{cases}\]

    a] Giai hệ khi m = 0

    b] Tìm m để hệ có nghiệm

Giải: Lấy pt thứ nhất nhân với 17 + m, phương trình thứ hai nhân với 11 thì ta được một phương trình đẳng cấp đối với x và y:

      \[\left[40+3m\right]x^2+2\left[6+m\right]xy+\left[m-16\right]y^2=0\]        [pt3]

  a] Với m = 0, giải tương tự ví dụ 1, từ [pt3] tìm được x/y = 1/2 hoặc x/y=-4/5, kết hợp với pt đầu của hệ ta tìm được 4 nghiệm là:

     \[\left[1,2\right];\left[-1,-2\right];\left[\frac{4\sqrt{3}}{3};\frac{-5\sqrt{3}}{3}\right];\left[\frac{-4\sqrt{3}}{3};\frac{5\sqrt{3}}{3}\right]\]

3] Ví dụ 3:

      Giải hệ: \[\begin{cases}x^3+y^3=1\\x^2y+2xy^2+y^3=2\end{cases}\]

    Lấy pt đầu nhân với 2, rồi trừ pt thứ hai cho pt thứ nhất ta được:

      \[x^2y+2xy^2+y^3-2\left[x^3+y^3\right]=0\]

   Hay là: \[-2x^3+x^2y+2xy^2-y^3=0\]    [*]

   pt [*] là đẳng cấp đối với x và y.

   Xet y = 0 thì pt thứ hai của hệ không thỏa mãn [vì 0 = 2]

   Với y khác 0, chia cả hai vế của [*] cho y3 và đặt t= x/y ta có:

             \[-2t^3+t^2+2t-1=0\]

    Hay là: \[-\left[2t-1\right]\left[t+1\right]\left[t-1\right]=0\] , Suy ra t = 1/2 hoặc t = 1 hoặc t = -1

   => x/y = 1/2 hoặc x/y = 1 hoặc x/y = -1

        Kết hợp với pt đầu của hệ, ta tìm được các nghiệm là:

         \[\left[\frac{1}{\sqrt[3]{2}};\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right];\left[\frac{\sqrt[3]{3}}{3};\frac{2\sqrt[3]{3}}{3}\right]\]

TÀI LIỆU THAM KHẢO

phương pháp giải hệ phương trình