- LG a
- LG b
- LG c
Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau:
LG a
Dãy số \[\left[ {{a_n}} \right]\] với \[{a_n} = 2{n^3} - 5n + 1\]
Lời giải chi tiết:
Với mỗi \[n \in N^*,\] ta có
\[\eqalign{
{a_{n + 1}} - {a_n} &= \left[ {2{{\left[ {n + 1} \right]}^3} - 5\left[ {n + 1} \right] + 1} \right] \cr&- \left[ {2{n^3} - 5n + 1} \right] \cr
& = 2\left[ {{{\left[ {n + 1} \right]}^3} - {n^3}} \right] - 5\left[ {n + 1 - n} \right] \cr
& = 2\left[ {{{\left[ {n + 1} \right]}^2} + \left[ {n + 1} \right].n + {n^2}} \right] - 5 \cr
& = 6{n^2} + 6n - 3\cr& = 3.\left[ {{n^2} - 1} \right] + 3{n^2} + 6n > 0\,\left[ {do\,\,n \ge 1} \right] \cr} \]
Vì thế, dãy số \[\left[ {{a_n}} \right]\]là một dãy số tăng.
LG b
Dãy số \[\left[ {{b_n}} \right]\] với \[{b_n} = {3^n} - n\]
Lời giải chi tiết:
Dãy số \[\left[ {{b_n}} \right]\] là một dãy số tăng.
Xét hiệu \[{b_{n + 1}} - {b_{n.}}\]
\[\eqalign{
& \left[ {{3^{n + 1}} - \left[ {n + 1} \right]} \right] - \left[ {{3^n} - n} \right] \cr
& = {3^{n + 1}} - 1 - {3^n} \cr
& = {2.3^n} - 1 > 0\,\,\forall n \ge 1 \cr} \]
LG c
Dãy số \[\left[ {{c_n}} \right]\] với \[{c_n} = {n \over {{n^2} + 1}}\]
Lời giải chi tiết:
Dãy số \[\left[ {{c_n}} \right]\] là một dãy số giảm.
Xét hiệu \[{c_{n + 1}} - {c_{n.}}\]
\[{{n + 1} \over {{{\left[ {n + 1} \right]}^2} + 1}} - {n \over {{n^2} + 1}} < 0\]