MỤC LỤCPHẦN I: MỞ ĐẦU Trang 21/ Lí do chọn đề tài Trang 22/ Mục đích nghiên cứu Trang 23/ Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 34/ Pham vi và đối tượng nghiên cứu Trang 35/ Phương pháp nghiên cứuTrang 3PHẦN II: NỘI DUNG Trang 3CHƯƠNG I: Cơ sở lý luận và thực tiễn Trang 31/ Cơ sở lý luận Trang 32/ Cơ sở thực tiễn Trang 4CHƯƠNG II: Các biện pháp Trang 51/ Những giải pháp mới của đề tài. Trang 52/ Các phương trình thường gặp Trang 53/ Các dạng bất phương trình thường gặp Trang 15CHƯƠNG III: Thực nghiệm sư phạm Trang 221/ Mục đích thực nghiệm Trang 222/ Nội dung thực nghiệm Trang 223/ Kết quả thực nghiệm và một số chú ý Trang 31PHẦN III: KẾT LUẬN Trang 33Tài lệu tham khảo Trang 35Trang 1Chương II . Các biện pháp 1. Những giải pháp mới của đề tài Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:- Sắp xếp các dạng phương trình bất phương trình theo các mức độ. - Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình và bất phương trình.- Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.- Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình và bất phương trình.- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.a] Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản + Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0. + Phương pháp giải phương trình tích. + Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. +Bất phương trình dạng: [hoặc , , ]b] Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ năng giải phương trình và phương trình+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phương, khai thác bài toán.[nâng cao]+ Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phương trình và bất phương trình thường gặp 2. Các phương trình thường gặp a. Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 [hoặc ax = c]. Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:Phương pháp chung: - Thực hiện bỏ dấu ngoặc.- Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c. Chú ý: Nếu a ≠ 0, phương trình có nghiệm x = caNếu a = 0, c ≠ 0, phương trình vô nghiệmNếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệmVí dụ 1: Giải phương trình: 5 – [x – 6] = 4[3 – 2x] [BT-11c]-SGK-tr13]Trang 2Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.Giải: 5 – [x – 6] = 4[3 – 2x] ⇔ 5 – x + 6 = 12 – 8x ⇔ – x + 8x = 12 – 11 ⇔ 7x = 1 ⇔ x = 17 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 17Ví dụ 2: Giải phương trình: [x – 1] – [2x – 1] = 9 – x [2] [BT-17f]-SGK-tr14]Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.Lời giải sai: [x – 1] – [2x – 1] = 9 – x⇔ x – 1 – 2x – 1 = 9 – x [bỏ dấu ngoặc sai]⇔ x – 2x – x = 9 – 2 [chuyển vế không đổi dấu]⇔ –2x = 7 [sai từ trên]⇔ x = 7 – 2 = 5 [tìm nghiệm sai]Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là: Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặcThực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vếTìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế tráiLời giải đúng: [2] ⇔ x – 1 – 2x + 1 = 9 – x ⇔ x – 2x + x = 9 ⇔ 0x = 7 Vậy phương trình đã cho vô nghiệmQua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình. Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:Phương pháp chung: - Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1. - Thực hiện cách giải như dạng 1. Ví dụ 3: Giải phương trình: 1 1 122 3 6x x x− − −+ − = [3] [ví dụ 4 Sgk-tr12]Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.Lời giải sai: 1 1 122 3 6x x x− − −+ − = Trang 3⇔ 3[ 1] 2[ 1] 1 126 6x x x− + − − −= [sai ở hạng tử thứ ba]⇔ 3[ 1] 2[ 1] 1 12x x x− + − − − = [sai từ trên]⇔ 4 18x= [sai từ trên]⇔ 4,5x= [sai từ trên]Sai lầm của học ở đây là: Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.Lời giải đúng: 1 1 122 3 6x x x− − −+ − = ⇔ 3[ 1] 2[ 1] [ 1] 126 6x x x− + − − −= ⇔ 3 3 2 2 1 12x x x− + − − + = ⇔ 4 16x= ⇔ 4x= Vậy: S = { } 4 Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức. Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:Cách 1: [3] ⇔ 1 1 1[ 1] 22 3 6x − + − = ÷ ⇔ 4[ 1] 26x− = ⇔ 1 3x− = ⇔ x = 4 Vậy: S = { } 4 Cách 2: Đặt t = x -1 [3] ⇔ 22 3 6t t t+ − =⇔ 3 2 2.6t t t+ − =⇔ 3t=⇒ 1 3x− = ⇔ x = 4 Vậy: S = { } 4 Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 1 20,5 0,255 4x xx+ −− = + [4] [BT-18b]-SGK-tr14]Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.Cách giải 1: [4] ⇔ 4[2 ] 20 0,5 5[1 2 ] 20 0,25x x x+ − × = − + × ⇔ 8 4 10 5 10 5x x x+ − = − + ⇔ 4x = 2 ⇔ x = 0,5Vậy: S = { } 0,5 Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:Cách 2: Chuyển phương trình về phân sốTrang 4[4] ⇔ 2 1 2 15 2 4 4x x x+ −− = +⇔ 2 15 2 2x x x+ −− = ⇔ 2 15 2x+= Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân[4] ⇔ 0,2 [2 ] 0,5 0,25 [1 2 ] 0,25x x x× + − = × − +⇔0,4 0,2 0,5 0,5 0,5x x x+ − = −⇔0,2 0,1x= Phương trình tích Phương pháp chung:Dạng tổng quát A[x].B[x].C[x] … = 0, với A[x], B[x], C[x] là các biểu thức.Cách giải: A[x].B[x].C[x] … = 0 ⇔ A[x] = 0 hoặc B[x] = 0 hoặc C[x] = 0 Chú ý: Để có dạng A[x].B[x].C[x] … = 0. Ta thường biến đổi như sau:Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích. - Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.Ví dụ 5: Giải phương trình [3x – 2][4x + 5] = 0 [BT- 21a]-Sgk-tr17]Lời giải: [3x – 2][4x + 5] = 0⇔ 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 ⇔ 3x = 2 hoặc 4x = – 5⇔ x = 23 hoặc x = 54− Vậy S = 2 5 ; 3 4 − Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau: [3x – 2][4x + 5] = 0 ⇔3 2 04 5 0xx− =+ = 2354xx== −* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích.Ví dụ 6: Giải phương trình x2 – x = –2x + 2 [6] [BT-23b]-Sgk-tr17]- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: [6] ⇔ x2 – x + 2x – 2 = 0 ⇔ x2 + x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định hướng cho học sinh cách giải hợp lý.Trang 5Chuyển vế các hạng tử rồi nhómCách 1: [6] ⇔ x2 – x + 2x – 2 = 0 ⇔ x[x – 1] + 2[x – 1] = 0 ⇔ [x – 1][x + 2] = 0 ⇔ 1 0 12 0 2x xx x− = = ⇔ + = = − Vậy S = { } 1 ; 2 −Nhóm các hạng tử rồi chuyển vếCách 2: [6] ⇔ x[x – 1] = – 2[x – 1] ⇔ x[x – 1] + 2[x – 1] = 0⇔ [x – 1][x + 2] = 0⇔ 1 0 12 0 2x xx x− = = ⇔ + = = − Vậy S = { } 1 ; 2 −Ví dụ 7: Giải phương trình [x + 2][3 – 4x] = x2 + 4x + 4 [7] [BT-28f]-Sgk-tr7]- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình. [7] ⇔ –4x2 – 5x + 6 – x2 – 4x – 4 = 0⇔ –5x2 – 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình tích. Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý.Giải: [7] ⇔ [x + 2][3 – 4x] = [x + 2]2 ⇔ [x + 2][3 – 4x] – [x + 2]2 = 0 ⇔ [x + 2][3 – 4x – x – 2] = 0 ⇔ 22 015 1 05xxxx= −+ =⇔− + == Vậy S = 1 2 ; 5 − Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích:Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình và đặt ngay nhân tử chung ấy.Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử. Phương trình chứa ẩn ở mẫuPhương pháp chungBước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.Bước 4: [Kết luận]. Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.Ví dụ 8: Giải phương trình 2 1 22 [ 2]xx x x x+− =− − [8] [BT 52b]-Sgk-tr33]Trang 6Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:Lời giải sai: ĐKXĐ: x ≠ 2 ; x ≠ 0[8] ⇔ [ 2] 1[ 2] 2[ 2] [ 2]x x xx x x x+ − −=− −⇔ x[x + 2] – 1[x – 2] = 2 [dùng ký hiệu ⇔ là không chính xác]⇔ x2 + 2x – x + 2 = 2 ⇔ x2 + x = 0⇔ x[x + 1] = 0⇔ 0 0 1 0 1x xx x= = ⇔ + = = − Vậy S = { } 0 ; 1 − [kết luận dư nghiệm]Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “⇔”không chính xác Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiệnLời giải đúng: ĐKXĐ: x ≠ 2 ; x ≠ 0[8] ⇔ [ 2] 1[ 2] 2[ 2] [ 2]x x xx x x x+ − −=− −⇒ x[x + 2] – 1[x – 2] = 2 [8’]⇔ x2 + 2x – x + 2 = 2 ⇔ x2 + x = 0⇔ x[x + 1] = 0⇔ 0 0 1 0 1 x xx x= = ⇔ + = = − Vậy S = { } 1 − Giáo viên cần củng cố cho học sinh:Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, nên ta dùng ký hiệu “⇒” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình [8’] chưa chắc là tập nghiệm của phương trình [8]. Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận.Ví dụ 9: Giải phương trình 1 332 2xx x−+ =− − [9] [BT 30a]-Sgk-tr23]- Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chung của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ.- Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm.Giải: ĐKXĐ: x ≠ 2 [9] ⇔ 1 3[ 2] 32 2x xx x+ − −=− − Trang 7 ⇒ 1 + 3[x – 2] = 3 – x ⇔ 1 + 3x – 6 = 3 – x ⇔ 4x = 8 ⇔ x = 2 [không thỏa mãn điều kiện]Vậy phương trình vô nghiệm Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:- Tìm ĐKXĐ của phương trình:* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0. [Cho các mẫu thức khác 0]* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. [Cho các mẫu thức bằng 0] - Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung [MTC] và cho MTC khác 0, đây là điều kiện xác định [ĐKXĐ] của phương trình.- Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi dấu, quy tắc dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước.- Rèn ở học sinh về kỹ năng nhận dạng các phương trình có mẫu là các đa thức dạng x2 + 1; 3x2 + 2; x2 + x + 3;… hoặc là bình phương thiếu của một tổng, một hiệu luôn luôn dương với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp phải các mẫu thức có dạng này ta không cần phải đặt điều kiện cho mẫu thức đó khác 0.Ví dụ 10: Giải phương trình 23 21 2 5 41 1 1xx x x x−+ =− − + + [10] Lời giải: ĐKXĐ: x ≠ 1 ; x2 + x + 1 > 0 [10] ⇔ 2 22 21 2 5 4[ 1][ 1][ 1] [ 1][ 1]x x x xx x x x x x+ + + − −=− + + − + + ⇒ 3x2 + x – 4 = 4x – 4 ⇔ 3x2 – 3x = 0⇔ 3x[x – 1] = 0⇔ 3 0 0 1 0 1 x xx x= = ⇔ − = = Vậy S = { } 0 b. Phát triển tư duy và kỹ năng giải phương trìnhVí dụ 11: Giải phương trình 3 43552115 5xxxxx−−−−= − + [Sách Bổ trợ-Nâng cao]- Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần.Lần 1: Mẫu chung là 15Lần 2: Mẫu chung là 10Trang 8Hướng dẫn: [11] ⇔ 3 4 9 315 15 155 2x xx x x− −− = − − +⇔ 10 2[3 4] 5[9 3 ] 150x x x− − = − − + [học sinh giải tiếp]Ví dụ 12: Giải phương trình 1 2 3 49 8 7 6x x x x+ + + ++ = + [12] - Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu như sau:Cách 1: [12] ⇔ 56.[ 1] 63.[ 2] 72.[ 3] 84.[ 4]x x x x+ + + = + + + ⇔ 56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336 ⇔ 37x = –370 ⇔ x = –10Vậy S = { } 10 −- Với cách giải này thì ta không thể khai thác được gì ở bài toán này, đôi khi gặp phải bài toán có mẫu lớn thì học sinh sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn hơn. Do đó giáo viên cần định hướng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta có thể rút ra cách giải tổng quát cho các bài tập có dạng tương tự.Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau:x + 1 + 9 = x +10 Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đềux + 2 + 8 = x + 10 x + 3 + 7 = x + 10x + 4 + 6 = x + 10Khi đó ta có cách giải như sau: Phương pháp thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử:Cách 2: [12] ⇔ 1 2 3 41 1 1 19 8 7 6x x x x+ + + + + + + = + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ⇔ 10 10 10 109 8 7 6x x x x+ + + ++ = + ⇔ 1 1 1 1[ 10] 09 8 7 6x + + − − = ÷ ⇔ x + 10 = 0 ⇔ x = –10 Vậy S = { } 10 −- Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. Do đó giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta đề xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn.-Khai thác bài toán:* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau:1] 1 2 3 42009 2008 2007 2006x x x x+ + + ++ = +* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:Trang 92] 1 2 3 420062011 2012 2013 2014x x x xx− − − −+ + + = +3] 1 2 3 2009 2010 20102010 2009 2008 2 1x x x x x+ + + + ++ + + + + = −Hướng dẫn: 2] 1 2 3 41 1 1 1 2006 42011 2012 2013 2014x x x xx− − − −+ + + + + + + = + +⇔ 2010 2010 2010 2010 [ 2010]02011 2012 2013 2014 1x x x x x+ + + + ++ + + − =3] 1 2 3 2009 2010 20102010 2009 2008 2 1x x x x x+ + + + ++ + + + + = −⇔ 2011 2011 2011 2011 2011 02010 2009 2008 2 1x x x x x+ + + + ++ + + + + = Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:Ví dụ 13: Giải phương trình [x + 2][2x2 – 5x] – x3 = 8 [13] [Sách Bổ trợ-Nâng cao]Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x3 và 8 Hướng dẫn: [13] ⇔ [x + 2][2x2 – 5x] – [x3 + 8] = 0 ⇔ [x + 2][2x2 – 5x] – [x + 2][x2 – 2x + 4] = 0⇔ [x + 2][2x2 – 5x – x2 + 2x – 4] = 0⇔ [x + 2][x2 + x – 4x – 4] = 0⇔ [x + 2][x + 1][x – 4] = 0 [học sinh giải tiếp]- Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về “Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác” để đưa về dạng tích mà các em đã học.Bài tốn tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tìm tích ac.Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 Trang 10Ví dụ 14 Giải phương trình3 2 1[ 1][ 2] [ 3][ 1] [ 2][ 3]x x x x x x+ =− − − − − − [BT.31.b/23] Hướng dẫn: ĐKXĐ: x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 3[14] ⇒ 3[x – 3] + 2[x – 2] = x – 1 [học sinh giải tiếp]- Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn đề ở đây không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía cạnh khác thì việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.-Khai thác bài toán:* Bài toán [14] trên chính là bài toán phức tạp sau:1] Ta có: [14] ⇔ 2 2 23 2 13 2 4 3 6 5x x x x x x+ =− + − + − + * Ta có bài toán tương tự như sau:2] 4 3 2 10[ 1][ 2][ 3] [ 1][ 2][ 4] [ 1][ 3][ 4] [ 2][ 3][ 4]x x x x x x x x x x x x+ + + =− − − − − − − − − − − −3] 1 1 1 1 1 1[ 1][ 2] [ 2][ 3] [ 3][ 4] [ 4][ 5] [ 5][ 6] 10x x x x x x x x x x+ + + + =− − − − − − − − − − [*]Hướng dẫn: 1 1 1[ 1][ 2] 2 1x x x x= −− − − −; 1 1 1[ 2][ 3] 3 2x x x x= −− − − −; …[*]⇔1 1 16 1 10x x− =− − Phương pháp đặt ẩn phụ:Ví dụ 15: Giải phương trình 223 13 4 0x xx x− + − + = [15] [Sách Bổ trợ-Nâng cao]- Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải phương trình là vô cùng khó khăn [phương trình bậc 4]. Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn.Giải: ĐKXĐ: x ≠ 0[15] ⇔221 13[ ] 4 0x xx x+ − + + = Đặt 1x yx+ = ⇒ 2 2212x yx+ = −Phương trình trở thành y2 – 3y + 2 = 0 ⇔ [y – 1][y – 2] =0 ⇔ y = 1 hoặc y = 2Khi đó 11xx+ = ⇔ x2 – x + 1 = 0 [vô nghiệm] 12xx+ =⇔ x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ [x – 1]2 ⇔ x = 1 [nhận]Vậy S = { } 1 3. Các dạng bất phương trình thường gặpTrang 11Định nghĩa : Bất phương trình dạng: [hoặc , , ] trong đó a và b là hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Hoạt động 1Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất một ẩn: a] 2x - 3 < 0; b] 0.x + 5 > 0; c] 5x - 15 ≥ 0; d] x2 > 0. ĐA: Bất phương trình d]Hai quy tắc biến đổi bất phương trìnhQuy tắc chuyển vếTừ liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có quy tắc sau [gọi là quy tắc chuyển vế] để biến đổi tương đương bất phương trình: Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó. VÍ DỤ 1 Giải các bất phương trình sau: Lời giải a] Ta có: Hoạt động 2 Giải các bất phương trình sau: Quy tắc nhân với một sốTừ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân , ta có quy tắc sau [gọi là quy tắc nhân] để biến đổi tương đương bất phương trình: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: • Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương; • Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.• VÍ DỤ Giải các bất phương trình sau: a] 0,5x < 3; b] [có biểu diễn tập nghiệm trên trục số]. Trang 12Lời giải a] Ta có: 0,5x < 3 0,5x.2 < 3.2 [Nhân cả hai vế với 2] x < 6. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= . b] Ta có: [Nhân cả hai vế với -4 và đổi chiều] x > -12. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau: Hoạt động 3 Giải các bất phương trình sau [dùng quy tắc nhân]: a] 2x < 24; b] -3x < 27. Hoạt động 4 Giải thích sự tương đương: a] x + 3 < 7 x - 2 < 2; b] 2x < - 4 -3x > 6. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩnVÍ DỤ 3 Giải bất phương trình 2x - 3 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. Lời giải Ta có: Hoạt động 5 CHÚ Ý: Để cho gọn khi trình bày, ta có thể: • Không ghi câu giải thích; • Khi có kết quả x < 1,5 [ở ví dụ 3] thì coi là giải xong và viết đơn giản: Trang 13"Nghiệm của bất phương trình 2x - 3 < 0 là x < 1,5". VÍ DỤ 4 Giải bất phương trình -4x + 12 < 0. Lời giải Ta có: Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩnVÍ DỤ 5 Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x - 7. Lời giải Ta có: Hoạt động 6 Giải bất phương trình -0,2x - 0,2 > 0,4x - 2. Ta có -0,2x-0.4x > 0.2 – 2 -0.6x > -1,8 x < 1,830,6−=− => x < 3BÀI TẬP8. Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? [Kể ba bất phương trình có cùng tập nghiệm]. a] b] 9. Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không: a] b] Tập nghiệm của bất phương trìnhTập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. Trang 14VÍ DỤ 1. Tập nghiệm của bất phương trình x > 3 là tập hợp các số lớn hơn 3, tức là tập hợp Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ sau: [Trong hình vẽ trên, tất cả các điểm bên trái điểm 3 và cả điểm 3 bị gạch bỏ]. Hoạt động 2 Hãy cho biết vế trái, vế phải và tập nghiệm của bất phương trình x > 3, bất phương trình 3 < x và phương trình x = 3. VÍ DỤ 2. Bất phương trình x ≤ 7 có tập nghiệm là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc bằng 7, tức là tập hợp . Tập hợp này được biểu diễn trên trục số như sau: [Trong hình vẽ trên, các điểm bên phải điểm 7 bị gạch bỏ nhưng điểm 7 được giữ lại]. Hoạt động 3 Viết và biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình sau trên các trục số khác nhau: Bất phương trình tương đươngBất phương trình x > 3 và bất phương trình 3 < x có cùng tập nghiệm là . Người ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương đó. VÍ DỤ 3. . BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ1. Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau đây: a] 2x + 3 < 9; b] -4x > 2x + 5; c] 5 - x > 3x - 12. Trang 152. Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số của mỗi bất phương trình sau: a] x < 4; b] x ≤ -2; c] x > -3; d] x ≥ 1. 3. Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? [Chỉ cần nêu một bất phương trình]. a] b] c] d] Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những khúc mắc trong quá trình giải phương trình và bất phương trình. Vì thời gian có hạn nên không đi sâu vào một số phương trình và bất phương trình khác như phương trình và bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,vv………Bài tập kiểm traGiải các phương trình và bất phương trình sauBài 1a/ [x+5][x-1] = 2x[x-1]b/ 5[x+3][x-2] -3 [x+5][x-2] = 0c/ 2x3+ 5x2 -3x = 0.d/ [x-1] 2 +2 [x-1][x+2] +[x+2]2 =0e/ x2 +2x +1 =4[x2-2x+1]f/ 1 2 3 4.99 98 97 96x x x x+ + + ++ = +g/ 109 107 105 1034 0.91 93 95 97x x x x− − − −+ + + + =Bài 2a. Giải các bất phương trình [x - 2]2 < x2 + 5 và 4x + 1 < 0. Hãy biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số.b. Hai bất phương trình trên có tương đương với nhau không? Tại sao? Trang 16