Câu hỏi:
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đạo hàm \[y = f\left[ x \right] = [x 5][{x^2} 4],x \in R\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \[\left[ { 100;100} \right]\] để hàm số\[y = g[x] = f\left[ {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right]\] có ít nhất 3 điểm cực trị?
A. \[105\].
B. \[106\].
C. \[104\].
D. \[103\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có:
\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] = \left[ {x 5} \right]\left[ {{x^2} 4} \right] = 0 \Leftrightarrow x = 5;x = 2;x = 2\\g'[x] = \frac{{\left[ {{x^3} + 3x} \right]\left[ {3{x^2} + 3} \right]}}{{\left| {{x^3} + 3x} \right|}}.f\left[ {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right]\\ = \frac{{x\left[ {{x^2} + 3} \right]\left[ {3{x^2} + 3} \right]}}{{\left| {{x^3} + 3x} \right|}}.f\left[ {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right]\\g\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow f\left[ {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right] = 0\end{array}\]
Do đạo hàm không xác định tại \[x = 0\] nên để hàm số \[y = g\left[ x \right] = f\left[ {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right]\]có ít nhất 3 cực trị thì \[f'[\left| {{x^3} + 3x} \right| + m] = 0\]có ít nhất hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khác 0.
\[f\left[ {\left| {{x^3} + 3x} \right| + m} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 3x} \right| + m = 5 \Rightarrow \left| {{x^3} + 3x} \right| = 5 m\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + m = 2 \Rightarrow \left| {{x^3} + 3x} \right| = 2 m\\\left| {{x^3} + 3x} \right| + m = 2 \Rightarrow \left| {{x^3} + 3x} \right| = 2 m\end{array} \right.\]
Yêu cầu bài toán suy ra
\[\begin{array}{l}5 m > 0 \Rightarrow m < 5,m \in Z,m \in \left[ { 100;100} \right]\\ \Rightarrow m \in \left\{ { 100; 99;.4} \right\}\end{array}\]
Vậy có tất cả 105 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
=======