Đề bài
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm F=[1 ; 1] và d là đường trung trực của đoạn thẳng OF. Viết phương trình đường cônic có tiêu điểm F, đường chuẩn d và tâm sai lần lượt là :
a] \[e = \sqrt 2 \], b] e=1, c] \[e = {1 \over {\sqrt 2 }}\].
Lời giải chi tiết
Đường trung trực d của OF cố nhiên đi qua điểm [0 ; 1] và [1 ; 0] nên d có phương trình x+y-1=0. Với mọi điểm M[x; y], gọi MH là khoảng cách từ M đến d thì \[MH = {{|x + y - 1|} \over {\sqrt 2 }}\] và khoảng cách từ M đến F là \[MF = \sqrt {{{[x - 1]}^2} + {{[y - 1]}^2}} \].
a] Conic có tâm sai \[e = \sqrt 2 \] là một hypebol. Ta có:
\[{{MF} \over {MH}} = \sqrt 2 \, \Leftrightarrow \,\,\,M{F^2} = 2M{H^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{[x - 1]^2} + {[y - 1]^2} = {[x + y - 1]^2}\,\, \Leftrightarrow 2xy = 1\].
Vậy hypebol đó có phương trình 2xy=1, hay cũng có thể viết \[y = {1 \over {2x}}\]. Đó là hypebol đã biết ở cấp Trung học cơ sở.
b] Cônic có tâm sai e=1 là một parabol. Ta có:
\[\eqalign{ & {{MF} \over {MH}} = 1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,M{F^2} = M{H^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{[x - 1]^2} + {[y - 1]^2} = {1 \over 2}{[x + y - 1]^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{x^2} + {y^2} - 2xy - 2x - 2y + 3 = 0. \cr} \]
Parabol có phương trình \[{[x - y]^2} - 2[x + y] + 3 = 0\].
c] Cônic có tâm sai \[e = {1 \over {\sqrt 2 }}\] là đường elip. Ta có:
\[\eqalign{ & {{MF} \over {MH}} = {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2M{F^2} = M{H^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4{[x - 1]^2} + 4{[y - 1]^2} = {[x + y - 1]^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 3[{x^2} + {y^2}] - 2xy - 6[x + y] + 7 = 0. \cr} \]