Đề bài
Cho đường tròn [O] đường kính BC = 2R. Lấy điểm A thuộc đường tròn sao cho AB < AC. Tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tại E và F.
a] Chứng minh rằng EF = EB + FC.
b] Chứng minh rằng \[BE.CF = {R^2}\].
c] Gọi M là giao điểm của EC và BF. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC [ H thuộc BC]. Chứng minh rằng ba điểm A, M, H thẳng hàng.
d] Trường hợp cho AB = R, chứng minh rằng tam giác AFC đều, tính theo R diện tích tam giác AFC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau.
b] Chứng minh tam giác OEF vuông tại O. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
c] Áp dụng định lí Ta-lét đảo chứng mính AM // BE, suy ra \[AM \bot BC\]. Sử dụng tiên đề Ơ-clit chứng minh ba điểm A, M, H thẳng hàng.
d] Chứng minh tam giác ACF cân tại F và có một góc bằng 600. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao và cạnh tương ứng.
Lời giải chi tiết
a] Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: \[EA = EB,\,\,FA = FC\]
\[ \Rightarrow EF = EA + FA = EB + FC\].
b] Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[OE\] là phân giác của \[\angle AOB\]
\[OF\] là phân giác của \[\angle AOC\].
Mà \[\angle AOB\]và \[\angle AOC\] là 2 góc kề bù
\[ \Rightarrow OE \bot OF \Rightarrow \Delta OEF\] vuông tại O.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[OEF\] ta có: \[O{A^2} = EA.FA \Rightarrow {R^2} = BE.CF\].
c] Ta có: \[\dfrac{{FA}}{{EA}} = \dfrac{{FC}}{{EB}} = \dfrac{{FM}}{{BM}} \Rightarrow AM//BE\] [định lí Ta-lét đảo]
Mà \[BE \bot BC\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow AM \bot BC\]
Lại có \[AH \bot BC\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow A,M,H\] thẳng hàng [Tiên đề Ơ-clit].
d] Ta có \[OA = OB = AB = R \Rightarrow \Delta OAB\] đều \[ \Rightarrow \angle OBA = {60^0}\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\angle OBA + \angle ACB = {90^0}\\\angle ACF + \angle ACB = {90^0}\end{array} \right.\]
\[\Rightarrow \angle ACF = \angle OBA = {60^0}\]
Xét tam giác \[ACF\] có:
\[\left\{ \begin{array}{l}FA = FC\,\,\left[ {cmt} \right]\\\angle ACF = {60^0}\,\,\left[ {cmt} \right]\end{array} \right. \]
\[\Rightarrow \Delta ACF\] đều,
\[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {\left[ {2R} \right]^2} - {R^2}\]\[\, = 3{R^2}\]
\[\Rightarrow AC = R\sqrt 3 \].
\[ \Rightarrow FA = FC = AC = R\sqrt 3 \].
Gọi \[K = AC \cap OF\] ta có:
\[OA = OC = R \Rightarrow O\] thuộc trung trực của \[AC\].
\[FA = FC\,\,\left[ {cmt} \right] \Rightarrow F\] thuộc trung trực của \[AC\]
\[ \Rightarrow OF\] là trung trực của \[AC \Rightarrow OF \bot AC\] tại \[K\] là trung điểm của \[AC\].
\[ \Rightarrow AK = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \[FAK\] có:
\[F{K^2} = F{A^2} - A{K^2} \]\[\,= {\left[ {R\sqrt 3 } \right]^2} - {\left[ {\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right]^2} = \dfrac{{9{R^2}}}{4}\]
\[\Rightarrow FK = \dfrac{{3R}}{2}\]
Vậy \[{S_{\Delta ACF}} = \dfrac{1}{2}FK.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3R}}{2}.R\sqrt 3 \]\[\, = \dfrac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\].