Đề bài
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \[y = {x^2}\] , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A[0 ; -1].
Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x0để tiếp tuyến đi qua điểm A [chú ý rằng điểm A không thuộc parabol].
Lời giải chi tiết
Đặt \[f\left[ x \right] = {x^2}\] và gọi M0là điểm thuộc [P] với hoành độ x0. Khi đó tọa độ của điểm M0là \[\left[ {{x_0};f\left[ {{x_0}} \right]} \right]\,hay\,\left[ {{x_0};x_0^2} \right]\]
Cách 1 : Ta có: \[y = 2x\]. Phương trình tiếp điểm của [P] tại điểm M0là
\[y = 2{x_0}\left[ {x - {x_0}} \right] + x_0^2 \Leftrightarrow y = 2{x_0}x - x_0^2\]
Tiếp tuyến đó đi qua điểm A[0 ; -1] nên ta có :
\[ - 1 = 2{x_0}.0 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1\]
+ Với x0= 1 thì f[x0] = 1, f [x0] = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
\[y = 2\left[ {x - 1} \right] + 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\]
+ Với x0= -1 thì f[x0] = 1, f [x0] = -2
và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
\[y = - 2\left[ {x + 1} \right] + 1 \Leftrightarrow y = - 2x - 1\]
Vậy có hai tiếp tuyến của [P] đi qua
A với các phương trình tương ứng là: \[y = ±2x 1\]
Cách 2 : Phương trình đường thẳng [d] đi qua A[0 ; -1] với hệ số góc k là :
\[y = kx - 1\]
Để [d] tiếp xúc [P] tại điểm M0điều kiện cần và đủ là:
\[\left\{ {\matrix{ {f\left[ {{x_0}} \right] = k{x_0} - 1} \cr {f'\left[ {{x_0}} \right] = k} \cr } } \right.\,hay\,\left\{ {\matrix{ {x_0^2 = k{x_0} - 1} \cr {2{x_0} = k} \cr } } \right.\]
Khử x0từ hệ này ta tìm được \[k = ±2\].
Vậy có hai tiếp tuyến của [P] đi qua điểm A[0 ; -1] với các phương trình là :
\[y = \pm 2x - 1\]