Đề bài
Câu 1. Không dùng bảng hay máy tính cầm tay, chứng minh rằng
\[\sin 15^\circ + \sin 75^\circ > 1\] .
Câu 2. Cho \[\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\] . Tính \[{\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \]
Lời giải chi tiết
Câu 1. Ta có:
\[{\left[ {\sin 15^\circ + sin75^\circ } \right]^2}\]
\[= {\left[ {\sin 15^\circ + \cos 15^\circ } \right]^2}\]
\[\begin{array}{l} = {\sin ^2}15^\circ + {\cos ^2}15^\circ + 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ \\ = 1 + \sin 30^\circ = \dfrac{3}{2} > 1\end{array}\]
Mà \[\sin 15^\circ + \sin 75^\circ > 0\] nên suy ra \[\sin 15^\circ + \sin 75^\circ > 1\].
Câu 2.
Ta có: \[\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{2} \]
\[\Rightarrow {\left[ {\sin \alpha + \cos \alpha } \right]^2} = \dfrac{1}{4}\]
\[ \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{1}{4}\]
\[ \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = - \dfrac{3}{8}\]
Do đó
\[\begin{array}{l}{\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \\= {\left[ {\sin \alpha + \cos \alpha } \right]^3} - 3\sin \alpha \cos \alpha \left[ {\sin \alpha + \cos \alpha } \right]\\ = \dfrac{1}{8} + \dfrac{9}{{16}} = \dfrac{{11}}{6}.\end{array}\]