Giải bất phương trình dạng tích thương nhiều nhị thức và tam thức
|
Bất phương trình bậc 2 là một trong những dạng toán khó thuộc chương trình Toán lớp 10 bởi tính đa dạng và phối hợp nhiều phương pháp giải của nó. Trong bài viết dưới đây, VUIHOC sẽ cùng các em học sinh ôn tập lý thuyết và tham khảo các dạng bài tập bất phương trình bậc 2 điển hình. Show
Bất phương trình bậc 2 ẩn x có dạng tổng quát là $ax^2+bx+c<0$ (hoặc $ax^2+bx+c\leq 0$, $ax^2+bx+c>0$, $ax^2+bx+c\geq 0$), trong đó a,b,c là những số thực cho trước, $a\neq 0$ Ví dụ về bất phương trình bậc 2: $x^2-2>0$, $2x^2+3x-5>0$,... Giải bất phương trình bậc 2 $ax^2+bx+c<0$ thực chất chính là quá trình tìm các khoảng thoả mãn $f(x)=ax^2+bx+c$ cùng dấu với a (a<0) hoặc trái dấu với a (a>0). 1.2. Tam thức bậc hai - dấu của tam thức bậc haiTa có định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau: Cho $f(x)=ax^2+bx+c, =b^2-4ac$
Bảng xét dấu của tam thức bậc 2:
Nhận xét:
2. Các dạng bài tập giải bất phương trình bậc 2 lớp 10Trong chương trình Đại số lớp 10 khi học về bất phương trình bậc 2, VUIHOC tổng hợp được 5 dạng bài tập điển hình thường gặp nhất. Các em học sinh nắm vững 5 dạng cơ bản này sẽ có thể giải hầu hết tất cả các bài tập bất phương trình bậc 2 trong chương trình học hay trong các đề kiểm tra. 2.1. Dạng 1: Giải bất phương trình bậc 2 lớp 10Phương pháp:
Ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK đại số 10): Giải các bất phương trình sau đây: a)$4x^2-x+1<0$ b)$-3x^2+x+40$ c)$x^2-x-60$ Hướng dẫn giải: a)$4x^2–x+1<0$ – Xét tam thức $f(x) = 4x^2 – x + 1$ – Ta có: Δ=-15<0; a=4>0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R ⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm. b)$-3x^2 + x + 4 ≥ 0$ – Xét tam thức $f(x) = -3x^2 + x + 4$ – Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm phân biệt là: x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0. ⇒ f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. (Trong trái dấu a, ngoài cùng dấui a) ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3] c)$x^2 – x – 6 ≤ 0$ – Xét tam thức $f(x)=x^2–x–6$ có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0 ⇒ f(x) ≤ 0 thỏa mãn khi -2 ≤ x ≤ 3. ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3]. Ví dụ 2 (trang 145 sgk Đại số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình bậc 2 sau: a) $-5x^2 + 4x + 12 < 0$ b) $16x^2 + 40x +25 < 0$ c) $3x^2 – 4x+4 ≥ 0$ Hướng dẫn giải:
b)Tam thức $16x^2 +40x + 25$ có: ∆’ = $20^2–16.25=0$ và hệ số a = 16 > 0 Do đó; $16x^2 +40x + 25$ ≥ 0; ∀ x ∈ R Suy ra, bất phương trình bậc 2 $16x^2 +40x + 25<0$ vô nghiệm Vậy S = ∅ c)Tam thức $3x^2 – 4x +4$ có ∆’ = (-2)2 – 4.3 = -10 < 0 Hệ số a= 3 > 0 Do đó, $3x^2 – 4x +4$ ≥ 0; ∀ x ∈ $\mathbb{R}$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đã cho là S = $\mathbb{R}$. 2.2. Dạng 2: Cách giải bất phương trình bậc 2 dạng tíchPhương pháp:
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình bậc 2 dạng tích sau đây:
Hướng dẫn giải: a) Lập bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu trên, ta có tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 dạng tích đề bài là:
b) Bất phương trình tương đương có dạng:
Ta có bảng xét dấu sau:
Dựa vào bảng xét dấu trên, ta có tập nghiệm bất phương trình bậc 2 đã cho là:
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình bậc 2 sau đây có nghiệm:
Hướng dẫn giải:
Bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đề bài là:
Do đó, bất phương trình bậc 2 đã có có nghiệm khi và chỉ khi: $m^2+m<2 => m^2+m-2<0 => -2 Kết luận: $-2 2.3. Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫuPhương pháp:
Lưu ý: Cần lưu ý tới các điều kiện xác định của bất phương trình khi giải bất phương trình bậc 2 có ẩn ở mẫu. Ví dụ 1 (trang 145 sgk Đại số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình bậc 2 sau đây:
Hướng dẫn giải: a)Ta có:
Ta có bảng xét dấu:
b)Ta có:
Lại có:$ -x^2+4x-3 = 0$ => $x=1; x=3$ Và: $x^2-3x-10=0$ => $x=5, x=-2$ Ta có bảng xét dấu sau đây:
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đã cho là: S = (-∞; -2) ∪ [1;3] ∪ (5; +∞) Ví dụ 2: Giải các bất phương trình bậc 2 sau:
Hướng dẫn giải: a)Bảng xét dấu có dạng:
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình bậc 2 đã cho là:
Ta có bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu trên, ta có tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đề bài là:
2.4. Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúngPhương pháp giải: Ta sử dụng một số tính chất sau:
Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại số 10): Tìm các giá trị tham số m để phương trình sau đây vô nghiệm: a)$(m – 2)x^2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0$ b)$(3 – m)x^2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0$
a)$(m – 2)x^2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0$ (*) • Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (*) biến đổi thành: 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 => phương trình (*) có một nghiệm ⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm. • Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có: $ Δ’ = b’^2 – ac = (2m – 3)^2 – (m – 2)(5m – 6)$ $= 4m^2 – 12m + 9 – 5m^2 + 6m + 10m – 12$ $= -m^2 + 4m – 3 = (-m + 3)(m – 1)$ Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ $(-m + 3)(m – 1) < 0$ ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm. b) $(3 – m)x^2 – 2(m + 3)x+m+2 = 0$ (*) • Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (*) biến đổi thành: -6x + 5 = 0 ⇔ x = ⅚ ⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm. • Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có: $ Δ’ = b’ – ac = (m + 3)^2 – (3 – m)(m + 2)$ $= m^2 + 6m + 9 – 3m – 6 + m^2 + 2m$ $= 2m^2 + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)$ Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1) Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2 (Trang 145 sgk Đại số lớp 10 nâng cao): Tìm các giá trị tham số m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm: a) $(m-5)x^2-4mx+m-2=0$ b) $(m+1)x^2+2(m-1)x+2m-3=0$ Hướng dẫn giải: a)$(m-5)x^2-4mx+m-2=0$ + Khi m – 5 = 0 ⇒ m=5 phương trình trở thành: -20x + 3 = 0⇒x = 3/20 + Khi m – 5 ≠ 0⇒m ≠ 5, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: Δ’ =(-2m)^2– (m – 2)( m – 5)≥0 ⇒$4m^2-(m^2-5m-2m+10)$≥0 ⇒ $4m^2-m^2+7m-10$≥0
Kết hợp 2 trường hợp trên, ta có tập hợp các giá trị m để phương trình có nghiệm là:
b)$(m+1)x^2+2(m-1)x+2m-3=0$
0.x^2+2(-1-1)x+2.(-1)-3=0 Hay -4x-5=0 khi và chỉ khi x=-5/4 Do đó, m=-1 thoả mãn đề bài.
2.5. Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc 2Phương pháp giải:
Ví dụ (Trang 145 sgk Đại số 10 nâng cao): Giải các hệ bất phương trình bậc 2 sau:
Hướng dẫn giải:
|
