Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa

Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa bài tập trắc nghiệm có đáp án

Phương pháp mũ hóa logarit

Phương trình ${{\log }_{a}}\left[ f\left[ x \right] \right]={{\log }_{b}}\left[ g\left[ x \right] \right]$ [với $a>0;a\ne 1$]

Ta đặt ${{\log }_{a}}\left[ f\left[ x \right] \right]={{\log }_{b}}\left[ g\left[ x \right] \right]=t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} f\left[ x \right]={{a}^{t}} \\{} g\left[ x \right]={{b}^{t}} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}$phương trình ẩn $t$.

Bài tập mũ hóa giải phương trình logarit có đáp án chi tiết

Lời giải:

a]Điều kiện: $x>0$. Đặt ${{\log }_{3}}\left[ x+1 \right]={{\log }_{2}}x=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x+1={{3}^{t}} \\{} x={{2}^{t}} \\ \end{array} \right.$

Khi đó ${{2}^{t}}+1={{3}^{t}}\Leftrightarrow f\left[ t \right]={{\left[ \frac{2}{3} \right]}^{t}}+{{\left[ \frac{1}{3} \right]}^{t}}=1$.

Xét $f\left[ t \right]={{\left[ \frac{2}{3} \right]}^{t}}+{{\left[ \frac{1}{3} \right]}^{t}}\left[ t\in \mathbb{R} \right]$ ta có $f'\left[ t \right]0$. Đặt ${{\log }_{5}}x={{\log }_{7}}\left[ x+2 \right]=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x={{5}^{t}} \\{} x+2={{7}^{t}} \\ \end{array} \right.$

Khi đó ${{5}^{t}}+2={{7}^{t}}\Leftrightarrow f\left[ t \right]={{\left[ \frac{5}{7} \right]}^{t}}+2{{\left[ \frac{1}{7} \right]}^{t}}=1$.

Xét hàm$f\left[ t \right]$ tương tự ta có: $t=1\Rightarrow x=5.$

Lời giải:

a]Điều kiện: $x>0$. Đặt ${{\log }_{7}}x={{\log }_{3}}\left[ \sqrt{x}+2 \right]=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x={{7}^{t}} \\{} \sqrt{x}+2={{3}^{t}} \\ \end{array} \right.$

Khi đó $\sqrt{{{7}^{t}}}+2={{3}^{t}}\Leftrightarrow f\left[ t \right]={{\left[ \frac{\sqrt{7}}{3} \right]}^{t}}+2{{\left[ \frac{1}{3} \right]}^{t}}=1$.

Hàm số $f\left[ t \right]$nghịch biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f\left[ t \right]=f\left[ 2 \right]\Leftrightarrow t=2\Rightarrow x=49.$

b]Điều kiện: $x>0$. Đặt ${{\log }_{\sqrt{6}}}\left[ x+\sqrt{x} \right]={{\log }_{2}}x=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x={{2}^{t}} \\{} x+\sqrt{x}={{\sqrt{6}}^{t}} \\ \end{array} \right.$

Khi đó ${{2}^{t}}+\sqrt{{{2}^{t}}}=\sqrt{{{6}^{t}}}\Leftrightarrow f\left[ t \right]={{\left[ \frac{2}{\sqrt{6}} \right]}^{t}}+{{\left[ \sqrt{\frac{2}{6}} \right]}^{t}}=1$.

Hàm số $f\left[ t \right]$nghịch biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f\left[ t \right]=f\left[ 2 \right]\Leftrightarrow t=2\Rightarrow x=4.$

Lời giải:

a]Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{} {{x}^{2}}-3x-13>0 \\{} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{3+\sqrt{61}}{2}$.

+] Đặt $t={{\log }_{2}}x={{\log }_{3}}\left[ {{x}^{2}}-3x-13 \right]\Rightarrow \left\{ \begin{array}

{} {{x}^{2}}-3x-13={{3}^{t}} \\{} x={{2}^{t}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{4}^{t}}-{{3.2}^{t}}-13={{3}^{t}}$

$\Leftrightarrow {{4}^{t}}={{3.2}^{t}}+13+{{3}^{t}}\Leftrightarrow g\left[ t \right]=3{{\left[ \frac{1}{2} \right]}^{t}}+13{{\left[ \frac{1}{4} \right]}^{t}}+{{\left[ \frac{3}{4} \right]}^{t}}=1$

+] Xét $g\left[ t \right]=3{{\left[ \frac{1}{2} \right]}^{t}}+13{{\left[ \frac{1}{4} \right]}^{t}}+{{\left[ \frac{3}{4} \right]}^{t}}=1$có $g'\left[ t \right]=3{{\left[ \frac{1}{2} \right]}^{t}}\ln \frac{1}{2}+13{{\left[ \frac{1}{4} \right]}^{t}}\ln \frac{1}{4}+{{\left[ \frac{3}{4} \right]}^{t}}\ln \frac{3}{4}0$. Đặt $u=2{{\log }_{2}}x={{\log }_{5}}\left[ {{x}^{3}}+3x+11 \right]$ ta có:$\left\{ \begin{array}{} {{x}^{3}}+3x+11={{5}^{u}} \\{} x={{2}^{\frac{u}{2}}}={{\left[ \sqrt{2} \right]}^{u}} \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow {{\left[ \sqrt{8} \right]}^{u}}+3{{\left[ \sqrt{2} \right]}^{u}}+11={{5}^{u}}\left[ 1 \right]$

$\left[ 1 \right]\Leftrightarrow f\left[ u \right]={{\left[ \frac{\sqrt{8}}{5} \right]}^{u}}+3{{\left[ \frac{\sqrt{2}}{5} \right]}^{u}}+11.{{\left[ \frac{1}{5} \right]}^{u}}=1,\,\,\,f'\left[ u \right]