Gọi là hai nghiệm của phương trình là tham số tìm để biểu thức đạt giá trị lớn nhất

Sáng kiến kinh nghiệm môn ToánDấu bằng xẩy ra khi m =5.4Năm học 2014 - 2015Vậy Amin =11khi4m=54Ví dụ 2:Cho phương trình x2 - mx + m - 1= 0 với m là tham số.Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất củabiểu thức:C=2 x1 x2 + 3x + x22 + 2[ x1 x2 + 1]21Giải:∆= m2 -4[m - 1] = [m - 2]2 ≥ 0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trịTa cócủa mTheo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = m và x1x2 = m - 1⇒ x12+x22 =[x1+x2]2 - 2x1x2 = m2 -2m + 2 . Thay vào ta cóC=Đặt t =2 x1 x2 + 3x + x22 + 2[ x1 x2 + 1]21=2m + 1m2 + 22m + 1ta có tm2 - 2m + 2t - 1 = 0 [1]m2 + 2Nếu t = 0 thì m = −12Nếu t ≠ 0 thì phương trình [1] là phương trình bậc hai đối với m. Ta có :∆' = 1 - t[2t - 1] ≥ 0 ⇔-2t2+ t + 1 ≥ 012⇔ [t - 1][-2t - 1] ≥ 0 ⇔ − ≤ t ≤ 1t=-1khi m = -2 ;2Vậy Cmin = −t =1 khi m = 11khi m = -2; Cmax= 1 khi m = 12Hoặc ta chứng minh C - 1 ≤ 0 và C +1≥ 02Ví dụ 3 : Cho Cho phương trình x2 – [2m-1]x + m – 1 = 0. Tìm GTLN cñax12 [ 1 − x 22 ] + x 22 [ 1 − 4x12 ]Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 129Sáng kiến kinh nghiệm môn ToánNăm học 2014 - 2015∆ = [ 2m − 1] − 4.1. [ m − 1] = 4m 2 − 4m + 1 − 4m + 4 = 4m 2 − 8m + 4 + 1 = [ 2m − 2 ] + 122Vì [ 2m − 1] ≥ 0 víi mäi m ⇒ ∆ = [ 2m − 1] + 1 ≥ 1 > 0 víi mäi m nên phương trình có hai22nghiệm phân biệt với mọi m.{ x + x = 2m − 1Theo định lý Viét có x 1.x =2 m − 11 2[1][2]2222222 2Ta có A = x1 [ 1 − x 2 ] + x 2 [ 1 − 4x1 ] = x1 + x 2 − 5x1 x 2 = [ x1 + x 2 ] − 2x1x 2 − 5 [ x1 x 2 ]22[3]Thay [1] và [2] vào [3] ta có:A = [ 2m − 1] − 5 [ m − 1] − 2 [ m − 1] = 4m 2 − 4m + 1 − 5m 2 + 10m − 5 − 2m + 22= − m 2 + 4m − 2 = 2 − m 2 − 4m + 4 = − [ m − 2 ] + 222[]Vì [ m − 2 ] ≥ 0 víi mäi m ⇒ A = − [ m − 2 ] + 2 ≤ 2 víi mäi m22Dấu bằng xảy ra khi [m – 2]2 = 0 hay m = 2. Vậy GTLN của[][A = x12 1 − x 22 + x 22 1 − 4x12]là 2 khi m = 2• Bài tập bổ sung:Bài 1: Cho x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 − 2[ m + 1] x + 2m + 10 = 0 . Tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức A = 10 x1 x 2 + x 21 + x 2 2m ≤ −3m ≥ 3'2Hướng dẫn: * ∆ = m − 9 ≥ 0 ⇔ * A = 4 [ m + 3] 2 + 48 ⇒ Amin = 48 ⇔ m = −3[t/m]Bài 2: Xác định a để tổng bình phương hai nghiệm của phương trìnhx 2 + ax + a − 2 = 0 là bé nhất.Hướng dẫn: * ∆ = [ a − 2] 2 + 4 > 02* x 21 + x 2 2 = [ a − 1] + 3 ≥ 3 ⇒ [ x 21 + x 2 2 ] min = 3 ⇔ a = 1 .Bài 3: Cho phương trình x 2 + [ 2m − 1] x − m = 0 . Tìm giá trị của m để A =x 21 + x 2 2 − 6 x1 x 2 có giá trị nhỏ nhất .Hướng dẫn: * ∆ = 4m 2 + 1 > 02* A = [ 2m + 1] ≥ 0 ⇒ Amin = 0 ⇔ m = −3012Sáng kiến kinh nghiệm môn ToánNăm học 2014 - 2015Bài 4: Cho phương trình x 2 − 2[ m − 1] x + m − 3 = 0 . Tìm giá trị của P =x 21 + x 2 2đểcó giá trị nhỏ nhất .2237Hướng dẫn: * ∆ =  m −  + > 0245  15 15155* P =  2m −  + ≥ ⇒ Pmin = ⇔ m =24444'Bài 5: Cho phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất A = x 21 + x 2 2 − 6 x1 x 2của và giá trị tương ứng của m.Hướng dẫn: * ∆ = [ m − 2 ] 2 ≥ 0* A = [ m − 4] 2 − 8 ≥ −8 ⇒ Amin = −8 ⇔ m = 4Bài 6: Cho phương trình x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0 . Tìm m sao cho A = 2[ x 21 + x 2 2 ] − 5 x1 x 2đạt giá trị nhỏ nhất.Hướng dẫn: * ∆' = [ m − 1] 2 ≥ 02* A = 8m 2 − 18m + 9 = 2 2m −  − ≥ − ⇒ Amin = − ⇔ m =9498989898Bài 7: Cho x1 , x 2 là nghiệm của phương trình sau, tìm giá trị của m để x1 − x2 có giátrị nhỏ nhấta. x 2 − [ m − 1] x − [ m + 1] = 0b. x 2 − 4mx + [ m + 1] 2 = 0Hướng dẫn:a. ∆ = [ m + 1] 2 + 4 > 0[ x1 − x 2 ] 2 = [ m + 1] 2 + 4⇒ [ x1 − x 2]⇒[ x1 − x2 ] 21m≤−3b. ∆ = 3m − 2m − 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ 1213* m ≤ − ⇒ x1 − x 2 ≥ 0Suy rax1 − x 2 =[ m + 1] 2 + 4 ≥ 2= 2 ⇔ m = −1min'[ m + 1] 2 + 4 ⇒=[x1− x2]min;x1 − x 2 = 12m 2 − 8m − 4* m ≥ 1 ⇒ x1 − x 2 ≥ 01m=−=0⇔3m = 1Bài 8: Cho phương trình x 2 + [m + 1] x + m = 0 . Gọi là nghiệm của phương trình. Tìmgiá trị của m để biểu thức B = = x 21 x 2 + x1 x 2 2 đạt giá trị lớn nhất.31Sáng kiến kinh nghiệm môn ToánNăm học 2014 - 2015Hướng dẫn: * ∆ = [ m − 1] 2 ≥ 0211 111* B = x1 x2 [ x1 + x 2 ] = −m − m = − m +  + ≤ ⇒ Bmax = ⇔ m = −24 4422Bài 9: Cho phương trình mx 2 − 2mx + 3m − 1 = 0 . Tìm giá trị của m để nghiệm củaphương trình trên có tích x1 , x 2 lớn nhất.m ≠ 0Hướng dẫn: * ∆ = m − 2 m ≥ 0* x1 x 2 =2

⇔0

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm min, max của biểu thức nghiệm

• I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
• II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
• III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

• Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
• Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án
• Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nghiệm", "Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 [thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0]

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

- Với mọi

- Bất đẳng thức Cauchy [Cô - Si]: với a, b là các số dương ta có:

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x2 + 2 [m+1] x + m2 - m + 1 = 0 [x là ẩn số, m là tham số]. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải:

Ta có:

∆' = b'2 - ac = [m + 1]2 - [m2 - m + 1] = m2 - 2m + 1 - m2 + m - 1 = -m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

Có

A = [-2 [m + 1]]2 - [m2 - m + 1]

A = 4 [m + 1]2 - m2 + m - 1

A = 4m2 + 8m + 4 - m2 + m - 1

A = 3m2 + 9m + 3

A = [m2 + 3m + 1]

Có

Dấu “=” xảy ra

Vậy min

Bài 2: Cho phương trình

[x là ẩn số, m là tham số]. Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất

Lời giải:

Ta có

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy với m > - 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

Có B = x1 + x2 - 3x1x2 = 2 [m + 4] - 3 [m2 - 8]

Dấu “=” xảy ra

Vậy max

Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2 [m + 1]x + m - 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x1 - x2|

Có ∆' = [m + 1]2 - [m - 4] = m2 + 2m + 1 + m + 4 = m2 + 3m + 5

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

Có

M2 = [x1 + x2]2 - 4x1x2 = [2[m + 1]]2 - 4 [m - 4]

= 4[m2 + 2m + 1] - 4m + 16

= 4m2 + 8m + 4 - 4m + 16

= 4m2 + 4m + 20 = 4 [m2 + m + 5]

Có

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy min

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trìnhx2 - 2[m + 4]x + m2 - 8 = 0 [m tham số]

a, Tìm m để biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức

đạt giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho phương trìnhx2 + mx - m - 2 = 0 [x là ẩn số, m là tham số]. Tìm m để biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho phương trìnhx2 - 2 [m + 2]x + 6m + 3 = 0 [x là ẩn, m là tham số]. Tìm giá trị của m để biểu thức

có giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho phương trìnhx2 - 2 [m + 4]x + m2 - 8 = 0 [x là ẩn, m là tham số]

a, Tìm m để biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: Cho phương trìnhx2 - mx + m - 1 [m là tham số]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 6: Goi x1, x2 là nghiệm của phương trình 2x2 - 2mx + m2 - 2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP = |2x1x2 + x1 + x2 - 4|

Bài 7: Cho phương trình bậc hai x2 - [2m + 1]x + m - 3 = 0. Tìm giá trị của m để biểu thức

đạt giá trị lớn nhất

-----------------

Ngoài chuyên đề tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 9 luyện thi vào lớp 10, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán hay các chuyên đề luyện thi vào lớp 10 như Rút gọn biểu thức, Hàm số đồ thị, Phương trình - Hệ Phương trình, Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, Hình học,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!